精品解析：江苏省天一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（领军班）

江苏省天一中学2024—2025学年秋学期 高一数学期末试卷（领军班） 2025年1月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】关于这几个命题真假的判断，真命题可以根据集合的运算和运算法则证明，如果命题是假命题，则可以举反例． 【详解】对于A， ，当时，结论不成立，则A错误； 对于B, ，当时，结论不成立，则B错误； 对于C，因为，，所以， 又，所以，则，则C正确； 对于D，，当时，结论不成立，则D错误； 故选：C 2. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】由扇形面积公式计算（大扇形面积减去小扇形面积）． 【详解】由已知，， 扇面面积为 故选：B． 3. 下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】, ， ， ， 故③④正确，①②错误， 故选：B 4. 已知为锐角且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式和两角差的正弦可求的值. 【详解】为锐角，故，而，故， 又 . 故选：C. 5. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式逐项分析计算判断. 【详解】正实数a，b满足， 对于A，，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：D 6. 若，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式、二倍角公式，结合诱导公式、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】， ， 故选：D 7. 设函数定义域为，满足，且，若在上单调递增，则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到为奇函数，根据奇函数的性质得出上的单调性，然后分类讨论解不等式. 【详解】由和定义域可得，为奇函数， 由在上单调递增，由奇函数的性质得在上是增函数，且， 显然不满足， 又， 于是由，可得或，解得， 类似的，的解集为， 所以不等式等价为，解得， 或，解得， 综上所述，的解为. 故选：B. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求证，结合作商法和倍角公式即可求解判断的大小； 【详解】如图，设圆为单位圆，，， 点B在x轴上的射影点为T，过点A作x轴的垂线角射影于点P， 则， 由图知，故， 所以， 所以，即， ，即， 所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：是比较三角函数值大小的一个有力工具. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 若是第二象限角，则 C. “”是“幂函数在上递减”的一个充分不必要条件 D. 命题：，的否定是：， 【答案】BC 【解析】 【分析】利用相同函数的定义判断A；确定正切值符号判断B；利用幂函数定义及性质判断C；利用全称量词命题的否定判断D. 【详解】对于A，函数中，，函数中，，A错误； 对于B，由是第二象限角，得，则， 当为偶数时，为第一象限角；当为奇数时，为第三象限角，因此，B正确； 对于C，由幂函数在上递减，得，解得或， 则“”是“幂函数在上递减”的一个充分不必要条件，C正确； 对于D，命题：，的否定是：，，D错误. 故选：BC 10. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在单调递减 B. 函数图象关于中心对称 C. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D. 若在区间上的值域为，则实数a的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象可得函数的解析式，再根据整体法或代入法可判AB的正误，利用图像变换可判断C的正误，根据正弦函数的性质可判断D的正误. 【详解】由图象可得，且，故即， 而，故， 因为，故，故， 对于A，当，， 而在上为减函数，故在为减函数，故A正确. 对于B，，故为函数图象的对称轴，故B错误. 对于C，将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故C正确. 对于D，当时，， 因为函数的值域为，故， 故，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，赋值求出，再结合、单调性逐项判断即可. 【详解】对任意实数x，y均有， 令，则，解得或， 当时，取，则与已知矛盾； 当时，取，则与已知矛盾， 因此，A错误； 对于B，，取，，则， 函数为奇函数，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号， 当时，与已知矛盾；当时，与已知矛盾， 因此，C正确； 对于D，，，由当时，，得， 因此，而， 则，即，函数在上单调递增，D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，函数的图象恒过点P，若P在指数函数图象上，则______. 【答案】8 【解析】 【分析】利用对数函数图象性质求出点的坐标，进而求出函数及函数值. 【详解】函数，当，即时，恒有，则点， 设，由，得，， 所以. 故答案为：8 13. 若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式将等式整理成，再根据同角三角函数的基本关系可写出，根据三角恒等变换化简即可求得结果. 【详解】由可得， ，将等式两边同时除以可得， ，所以； 所以. 故答案为： 14. 已知函数，，若的图象与的图象的交点分别为，则______. 【答案】10 【解析】 【分析】分析函数的性质，再确定交点个数，进而求得答案. 【详解】函数在上单调递减，当时，， ，则的图象关于点对称， 的最小正周期为2，，的图象关于点对称， 因此函数与的图象有相同的对称中心，它们的交点关于点对称， 当时，，即当时，函数与的图象没有交点， 根据对称性，时两者没有交点， 当时，在上递增，在上递减，， ，， 当时，，因此当时，函数与的图象有2个交点， 根据对称性，时，两图像也有交点. 所以函数与的图象共有5个交点，. 故答案为：10 【点睛】关键点点睛：探讨函数性质，确定交点个数是求得正确答案的关键. 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若的解集为，求不等式的解集； （2）若，且，求的最小值. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）先判断出，，，把不等式化为，即可解得； （2）构造基本不等式，求出的最小值. 【小问1详解】 由题设知且的两根为， 所以，，可得：， 可化为：，解得：， 所以不等式的解集为 【小问2详解】 ，且 所以 当且仅当即，取“=” 所以的最小值为6. 16. 已知的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过一点. （1）若，求的值； （2）若且，设函数.求的单调递增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据三角函数的定义即可求和的值，再根据化简即可求值； (2)利用三角恒等变换化简解析式，再根据正弦型函数单调性求解即可. 【小问1详解】 当，，， 【小问2详解】 当，则，， . 所以函数的增区间为：， 解得. 故增区间为. 17. 如图，已知一块足球场地的球门宽米，底线上有一点，且长米．现有球员带球沿垂直于底线的线路向底线直线运球，假设球员射门时足球运动线路均为直线． （1）当球员运动到距离点为米的点时，求该球员射门角度的正切值； （2）若该球员将球直接带到点，然后选择沿其左后方向（即）的线路将球回传给点处的队友．已知长米，若该队友沿着线路向点直线运球，并计划在线路上选择某个位置进行射门，求的长度多大时，射门角度最大． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用两角差的正切公式可求得的值； （2）作，垂足为，设，计算出、，利用两角差的正切公式可得出关于的表达式，利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 解：由题知，，，则， 在中，， 在中，， 所以 ． 【小问2详解】 解：如图，作，垂足为， 设，则，， 因为，所以，， 在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，最大， 所以当米时，射门角度最大． 18. 已知函数，. （1）若，使得不等式成立，求实数的取值范围； （2）记，若函数在单调递增，求实数的取值范围； （3）当时，若关于的方程无实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分离参数，即可根据基本不等式求解最值得解， （2）对进行讨论，即可结合二次函数的性质求解， （3）根据， 整体换元则，结合二次函数的最值即可求解. 【小问1详解】 由可得，成立， 当时，显然不能使成立， 当时，由可得，进而可得，使得，故， 当且仅当时取等号，故 【小问2详解】 ， 当时，即时，此时， 由于函数在单调递增，故，解得， 当时，此时， 要使函数在单调递增，则或 解得， 综上可得 【小问3详解】 当时，，， 此时， 令则， 故， 由于，故， 故的最小值为，即， 要使无实数根，只需要， 19. 对于两个定义域相同函数，，若存在实数，，使得，则称函数是由“基底函数”和生成的. （1）以，为“基底函数”生成一个函数，同时满足：①定义域为，②，③.求函数的解析式； （2）以，为“基底函数”生成一个函数，同时满足：①定义域为，②为偶函数，③. （Ⅰ）求函数解析式； （Ⅱ）已知，记，试求的最大值. 【答案】（1）或 （2）（Ⅰ），（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用给定的定义列式，借助，则，结合二次函数的性质即可求解最值得解， （2）（Ⅰ）利用偶函数的定义可得，再利用，联立即得解析式；（Ⅱ）利用对勾函数单调性以及复合函数的单调性可得函数的单调性，根据单调性化简求和表达式即可求出最大值. 【小问1详解】 依题意，， 令，则， 故， 当时，此时，解得， 此时 当时，此时，解得， 此时 【小问2详解】 （Ⅰ）设， 由为偶函数，得， 由于， 则， 整理得，对任意恒成立，则， 又，则，解得以， 所以函数的解析式为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 令则， 故对勾函数在单调递减，在单调递增， 由于单调递增，因此函数在上单调递增，在上单调递减. 设， 由于 则， 所以 ， 当且仅当或时，有最大值， 所以的最大值为. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省天一中学2024—2025学年秋学期 高一数学期末试卷（领军班） 2025年1月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知为锐角且，则值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. 3 B. C. D. 7. 设函数定义域为，满足，且，若在上单调递增，则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 8 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 若是第二象限角，则 C. “”是“幂函数在上递减”的一个充分不必要条件 D. 命题：，的否定是：， 10. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数单调递减 B. 函数图象关于中心对称 C. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D. 若在区间上的值域为，则实数a的取值范围为 11. 已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 在上单调递增 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，函数的图象恒过点P，若P在指数函数图象上，则______. 13 若，则_________. 14. 已知函数，，若的图象与的图象的交点分别为，则______. 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若的解集为，求不等式的解集； （2）若，且，求的最小值. 16. 已知的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过一点. （1）若，求的值； （2）若且，设函数.求的单调递增区间. 17. 如图，已知一块足球场地的球门宽米，底线上有一点，且长米．现有球员带球沿垂直于底线的线路向底线直线运球，假设球员射门时足球运动线路均为直线． （1）当球员运动到距离点为米的点时，求该球员射门角度的正切值； （2）若该球员将球直接带到点，然后选择沿其左后方向（即）的线路将球回传给点处的队友．已知长米，若该队友沿着线路向点直线运球，并计划在线路上选择某个位置进行射门，求的长度多大时，射门角度最大． 18. 已知函数，. （1）若，使得不等式成立，求实数的取值范围； （2）记，若函数在单调递增，求实数的取值范围； （3）当时，若关于的方程无实数根，求实数的取值范围. 19. 对于两个定义域相同的函数，，若存在实数，，使得，则称函数是由“基底函数”和生成的. （1）以，为“基底函数”生成一个函数，同时满足：①定义域为，②，③.求函数的解析式； （2）以，“基底函数”生成一个函数，同时满足：①定义域为，②为偶函数，③. （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）已知，记，试求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $