精品解析：江苏省天一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

江苏省天一中学2024-2025学年第一学期期末考试 高二数学学科 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 若圆C：与圆E：只有一个公共点，则r的值（ ） A. 3或6 B. 1或7 C. 1或9 D. 4或8 4. 已知是单调递增等比数列，且，则公比的值是（ ） A 3 B. －3 C. 2 D. －2 5. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 在数列中，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为4，点是底面内一动点，且，则当，两点间距离最小时，直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求10全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分， 9. 已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则（ ） A. 直线l过定点 B. 圆C的半径为3 C. 当时， D. 圆心C到直线l的最大距离是2 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，，则在上的投影向量为 B. 已知，，则点到直线的距离为 C. 若对空间中任意一点有，则，，，四点共面 D. 若直线方向向量为，平面的一个法向量为，则 11. 数列满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为7，则___________. 13. 已知实数x，y满足，则的取值范围为_________. 14. 已知数列满足，，则前20项和为__________. 四､解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，当直线垂直于轴时，． （1）求抛物线方程； （2）若，为坐标原点，求面积． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，分别在棱上，为线段的中点. （1）若是的中点，求与平面所成角的正弦值； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 设数列的首项为常数，且 （1）判断数列是否为等比数列，请说明理由； （2）是数列的前项的和，若是递增数列，求的取值范围. 19. 如图，已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上，为双曲线的左、右顶点，为双曲线右支上的动点，直线和直线交于点，直线交双曲线的右支于点. （1）求双曲线的方程； （2）若点在第一象限，且满足，求直线的方程； （3）探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省天一中学2024-2025学年第一学期期末考试 高二数学学科 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果. 【详解】因为空间向量，， 则， 因此，. 故选：C. 2. 已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得. 【详解】抛物线的准线方程为， 又点在抛物线上且纵坐标为，所以点到的焦点的距离为. 故选：B 3. 若圆C：与圆E：只有一个公共点，则r的值（ ） A. 3或6 B. 1或7 C. 1或9 D. 4或8 【答案】C 【解析】 【分析】由两圆的位置关系计算即可； 【详解】由题意可得，半径为；，半径为4， 因为两圆只有一个公共点， 所以当两圆外切时，，解得； 当两圆内切时，，解得； 所以r的值为1或9， 故选：C 4. 已知是单调递增的等比数列，且，则公比的值是（ ） A. 3 B. －3 C. 2 D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边数列的性质即可求解方程得，即可求解. 【详解】解：由是单调递增的等比数列且， 所以是的两个实数根，且， 得，故． 故选：C． 5. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线与椭圆的的公式求解即可. 【详解】双曲线中，焦点在轴， 故椭圆中有，解得， 故选：C. 6. 在数列中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由累加法求通项即可得出答案. 【详解】由可得： ， ．经验证，也适合上式. 故选：B. 7. 已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，由点差法求解离心率即可. 【详解】设，则， 则，两式相减可得， ，即， 即，，故. 故选：B 8. 在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为4，点是底面内一动点，且，则当，两点间距离最小时，直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出相应图形连接，交于点，连接，由四棱锥为正四棱锥，可得底面，从而可求得即点在以为圆心，1为半径的圆上，然后建立空间直角坐标系，再利用异面直线向量求法即可求解. 【详解】根据题意作图如图所示，连接，交于点，连接， 因为四棱锥为正四棱锥，可得底面． 由底面边长为，可得，所以， 在中，，，可得， 又由，在中，可得， 即点在以为圆心，1为半径的圆上， 所以当点为圆与的交点时，，两点间距离最小，最小值为． 以，，所在直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，， 则，，可得， 所以直线与直线所成角的余弦值为，故A正确. 故选：A. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求10全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分， 9. 已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则（ ） A. 直线l过定点 B. 圆C的半径为3 C. 当时， D. 圆心C到直线l的最大距离是2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线方程求恒过的定点求解选项A；根据圆的一般方程求圆的半径求解选项B；根据直线截圆所得的弦长公式求解选项C；根据垂直关系确定时，圆心C到直线l的距离最大，即可求解选项D. 【详解】 对A，由可得，， 所以直线l过定点，A错误； 对B，圆C：的圆心为 半径，B正确； 对C，时，直线l：， 圆心到直线的距离为2， 所以，C正确； 对D，设l过定点，则, 当时，圆心C到直线l的距离最大，最大为，D正确； 故选:BCD. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若空间向量，，则在上的投影向量为 B. 已知，，则点到直线的距离为 C. 若对空间中任意一点有，则，，，四点共面 D. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，应用求解即可；对于B，应用求解即可； 对于C，转化为即可判断；对于D，可证得，但线面关系可有两种情况. 【详解】解：对于A项：在上的投影向量为，故A正确； 对于B项：，故B错误； 对于C项：因为，所以， 所以，即， 所以，，，四点共面，故C正确； 对于D项：因为， 所以，则或，故D错误； 故选：AC 11. 数列满足，则下列选项正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由数列各项不为两边同除以得，构造等比数列，进而求出通项，求出相应项可判断AB；再结合不等式性质与二项式定理求范围，进而放缩求解和范围判断CD. 【详解】首先证明数列中任意一项不为. 证明：假设数列中存在某项， 由， 得，将代入得 则有，即，同理依次递推可知，这与矛盾. 故假设错误，即数列中从第2项起均不为. 又已知，故数列中任意一项不，得证. 由证明结论可得，由， 两边同除以得，即， 两边同加上整理得，，又， 所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，所以. A项，，故A正确； B项，，则，故B错误； C项，，其中，， 则，所以，故C正确； D项，当时，；当时，，； 当时，， 所以，此时. 综上，，故D正确 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过构造法得是以为首项，为公比的等比数列，再求出，再一一分析即可. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为7，则___________. 【答案】22 【解析】 【分析】先利用三角形的中位线的性质，可得，再利用双曲线的定义，，即可求得． 【详解】解：设双曲线的左焦点为，连接，则是的中位线， 到坐标原点的距离为7， 又由双曲线的定义， 得 故答案为22． 【点睛】本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的定义，考查三角形中位线的性质，属于基础题． 13. 已知实数x，y满足，则的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，将问题转化为直线与半圆上点与点连接的直线的斜率.，数形结合分析即可. 【详解】因为， 所以，其表示为圆的上半部分. 设半圆上一动点， 表示的几何意义为点与点连接的直线的斜率， 当直线和半圆相切时，直线的斜率取最大值， 设直线的方程为，即， 所以，解得或（舍去）， 则直线的斜率的最大值为； 当点为时，则直线的斜率取最小值，为， 综上，的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知数列满足，，则的前20项和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推公式分别计算各项求解前20项和即可. 【详解】数列满足，， 则 . 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与求和公式列式，求和即可. （2）利用裂项求和法求. 小问1详解】 解法一：设等差数列的首项为，公差为， 由已知， 解得， 所以． 解法二：因为，所以． 因为，所以. 所以， 所以. 【小问2详解】 因为． 所以数列的前项和 16. 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，当直线垂直于轴时，． （1）求抛物线方程； （2）若，为坐标原点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设抛物线方程为,由题意求出其焦点坐标，进而可求出结果； （2）先由题意得出直线方程，联立直线与抛物线方程，求出，即可求出结果. 【小问1详解】 抛物线的焦点为， 令，解得：，，解得：，∴． 抛物线的方程为：； 【小问2详解】 依题意.设直线方程为 ， 设，，则， 得， 恒成立. ， ． 得， 则直线方程为.点到直线的距离为， 得的面积. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，分别在棱上，为线段的中点. （1）若是的中点，求与平面所成角的正弦值； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量坐标公式计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量坐标公式计算即可. 【小问1详解】 因为底面是正方形，为线段的中点，侧棱底面， 以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系； 则， 由题意，是的中点，则， 故， 设平面的法向量为，则， 令，得； 记与平面所成角为，则， 故与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 ，故， 故；又平面， 平面，故平面， 故平面的法向量， 平面的法向量， 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 设数列的首项为常数，且 （1）判断数列是否为等比数列，请说明理由； （2）是数列的前项的和，若是递增数列，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由，当时，，即可得出结论． （2）由（1）可得：，可得，，可得，，即可得出． 【详解】（1）， 当时，， 时，为等比数列，公比为； 当时，，不是等比数列； （2）由（1）可得：， 只需，（） 当为奇数时，恒成立，又单减， ∴ 当为偶数时，恒成立，又单增， ∴ ． 【点睛】本题考查等比数列的定义通项公式与求和公式及其单调性，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 19. 如图，已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上，为双曲线的左、右顶点，为双曲线右支上的动点，直线和直线交于点，直线交双曲线的右支于点. （1）求双曲线的方程； （2）若点在第一象限，且满足，求直线的方程； （3）探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）过定点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，解出，即得双曲线方程； （2）设点,由题设条件依次求得点，，再求直线的方程； （3）设，直线PQ的方程为，联立双曲线的方程，结合韦达定理可得，写出直线AP的方程，进而可得N点的坐标，又N，B，Q三点共线，则，解得，即可求得定点． 【小问1详解】 依题意，可得，解得， 故双曲线C的方程为； 【小问2详解】 如图，设点，由可得点是的中点， 又，，则， 依题意，点在直线上，则，解得， 将其代入，解得，因点P在第一象限，故. 于是直线的方程为：， 代入，整理得，解得或，故得， 所以直线的方程为 【小问3详解】 直线经过点，理由如下： 易知直线斜率不为0，设直线的方程为：， 代入，整理得：， 由可得. 设，则 故有.（*） 直线的方程为：，令，代入解得，即, 因三点共线，故,又， 则得，即， 将代入，化简得：， 由（*），可得， 代入整理得：， 即得：，也即， 因点是双曲线右支上的动点，故不能恒为0，故. 此时直线的方程为：，故直线必过定点. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与双曲线位置关系的应用，关键是在解决第2问时，利用韦达定理实现非对称代换，整理方程后推得直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $