精品解析：浙江省杭州高级中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

杭高2024学年第一学期期末考试高一 数学试题卷 命题：张琳 审题：郭振 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前务必将自己的班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的地方． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若角的终边经点，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A B. C. D. 4. 已知函数（，且），若点，都在图象上，则下列各点一定在的图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在区间上，函数与函数的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为，的横坐标为，则的值为 A. B. C. D. 7. 已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数满足：，，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得6分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若函数是上的奇函数，则 B. 函数与为同一个函数 C. 命题“”的否定是“” D. 若是第二象限角，则是第一象限角 10. 某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确有（ ） A. B. ，都有 C. 的值域为 D. ，，都有 11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 向右平移个单位得到图象关于对称 D. 若函数在上没有零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 13. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若，则_________. 14. 已知函数，若，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 16. 设函数． （1）求函数的定义域及单调递减区间； （2）若方程在上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 17. 某市每年春节前后，由于大量的烟花炮竹的燃放，空气污染较为严重．该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现，每天实时空气污染指数与时刻（时）变化的函数关系为，其中为空气治理调节参数，且． （1）若，求该市一天中实时空气污染指数最低的时刻； （2）若规定以实时空气污染指数的最大值作为当天的空气污染指数，并记为，求的表达式；要使该市每天的空气污染指数不超过5，则调节参数应控制在什么范围内？ 18. 已知函数是奇函数．（是自然对数的底） （1）求实数的值； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）设，对任意，若以为长度的线段可以构成三角形时，均有以为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值． 19. 已知函数，若关于方程在的定义域上有实数解，则称为函数的“平衡点”；若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“平衡函数”；有序数对称为函数的“平衡点对”． （1）若是“平衡函数”，求函数的“平衡点对”； （2）是否存在实数，使得为函数的“平衡点对”，若存在，求出的值；若不存在，则说明理由； （3）若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“平衡点”与“平衡点”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭高2024学年第一学期期末考试高一 数学试题卷 命题：张琳 审题：郭振 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前务必将自己的班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的地方． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若角的终边经点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数定义计算得解. 【详解】由角的终边经点，得， 所以. 故选：C 2. 命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求解出函数在区间上的最小值，然后根据恒成立条件得出结果. 【详解】解：因为命题“”为真命题， 所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以当时，， 所以只需. 故选：A． 3. 函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可知，，结合选项即可得出答案． 【详解】由图象可知，， 而，则排除选项A、B；，，选项C、D符合； 又，而，则排除选项C，，选项D符合． 故选：D． 4. 已知函数（，且），若点，都在的图象上，则下列各点一定在的图象上的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数幂的运算求解. 【详解】解：因为点，都在图象上， 所以，则， 即点在的图象上， 故选：D. 5. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把点代入幂函数的解析式求出的值，进而可得在上单调递减，再结合对数函数的性质可知，从而比较出，，的大小． 【详解】点在幂函数的图象上， ，， ，在上单调递减， ，，， ， ，即 故选：D. 6. 已知在区间上，函数与函数的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为，的横坐标为，则的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两个函数图像相交，交点的坐标相同列方程，化简后求得的值，再利用正切的二倍角公式求得的值. 【详解】依题意得，即. = .故选B. 【点睛】本小题主要考查两个函数交点的性质，考查同角三角函数的基本关系式，考查正切的二倍角公式，属于基础题. 7. 已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意首先得周期为4，由此结合对数运算即可进一步求解. 【详解】由是奇函数，∴， 又，∴，所以周期为4． ． 故选：D. 8. 已知正实数满足：，，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将两边取对数化为，将两边加1化为，构造函数，可知，研究的单调性即可得到答案. 【详解】由两边取对数可得：，即， 由，得，即， 构造函数，由和 等价于和，即， 由于在上单调递增，在上单调递增， 则在上单调递增，由，得，所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：变形给定等式，利用同构思想构造函数是求得正确答案的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得6分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若函数是上的奇函数，则 B. 函数与为同一个函数 C. 命题“”否定是“” D. 若是第二象限角，则是第一象限角 【答案】AC 【解析】 【分析】利用奇函数性质判断A；明智相同函数的定义判断B；利用全称量词命题的否定判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，函数是上的奇函数，则，A正确； 对于B，函数中，，函数中，，与不是同一函数，B错误； 对于C，命题“”的否定是“”，C正确； 对于D，是第二象限角，而是第三象限角，D错误. 故选：AC 10. 某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的有（ ） A. B. ，都有 C. 的值域为 D. ，，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用可判断A；分、求单调性值域可判断B；分、讨论可得的值域可判断C；作差利用基本不等式可判断D． 【详解】对于A：，A正确； 对于B：当时，，因为单调递减， 所以单调递减，且，， 当时，，因为单调递减， 所以单调递减，且， 所以，则在R上单调递减，故B正确； 对于C：当时，， 当时，，综上的值域为，故C不正确； 对于D：当，时， ，仅当等号成立， 故，，都有，故D正确． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据给定的函数解析式的特征判断函数单调性及值域. 11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 向右平移个单位得到的图象关于对称 D. 若函数在上没有零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象求出解析式，再结合正弦函数性质逐项判断即可. 【详解】观察图象，函数的周期，解得， 又，得，则，而，解得， 由，解得，因此， 对于A，，A正确； 对于B，，函数的图象关于点对称，B正确； 对于C，的图象关于不对称，C错误； 对于D，的图象是由的图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到的， 由函数在上没有零点，得 在上没有零点，则， ，D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 【答案】##0.5 【解析】 分析】由诱导公式可得答案. 【详解】由诱导公式，. 故答案为：. 13. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角的基本关系式，可得，代入所求，结合辅助角公式，即可求解． 【详解】因为，，所以， 所以，故答案为 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，辅助角公式，考查计算化简的能力，属基础题 14. 已知函数，若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】判断函数上单调递增，且有，结合已知得，再由基本不等式即可求得答案. 【详解】函数的定义域为，函数在上都是增函数， 则函数在上单调递增，且，， 而，因此， ，当且仅当时取等号， 所以所求的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）解指数不等式化简集合，求出函数定义域化简集合，再利用补集、交集的定义求解. （2）利用充分条件的定义，结合集合的包含关系求出范围即可. 【小问1详解】 由，得，解得，则， 函数有意义，得，解得或， 则，， 所以. 【小问2详解】 由，得，解得，则， 由“”是“”的充分条件，得，则，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 设函数． （1）求函数的定义域及单调递减区间； （2）若方程在上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 【答案】（1）定义域为，单调递减区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用对数函数性质及正弦函数的性质求出定义域及递减区间. （2）利用三角恒等变换化简函数，再结合正弦型函数的性质求出范围. 【小问1详解】 函数有意义，，解得， 函数在上单调递减，而函数在递增， 因此函数在上单调递减， 所以函数的定义域为，单调递减区间为. 【小问2详解】 ， 当时，，当，即时，函数取得最大值， 则函数在上单调递增，函数值由增大到， 在上单调递减，函数值由减小到， 当时，直线与函数在上的图象有2个交点， 所以实数的取值范围是. 17. 某市每年春节前后，由于大量的烟花炮竹的燃放，空气污染较为严重．该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现，每天实时空气污染指数与时刻（时）变化的函数关系为，其中为空气治理调节参数，且． （1）若，求该市一天中实时空气污染指数最低的时刻； （2）若规定以实时空气污染指数的最大值作为当天的空气污染指数，并记为，求的表达式；要使该市每天的空气污染指数不超过5，则调节参数应控制在什么范围内？ 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出取最小值时的值. （2）令，构造新函数并分段求出最大值表达式，再分段解不等式即得. 【小问1详解】 当时，，当且仅当时取等号， 由，得，解得， 所以该市一天中实时空气污染指数最低的时刻. 【小问2详解】 令，由，得，原函数化为， 而，当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以； 由该市每天的空气污染指数不超过5，得，则或，解得， 所以调节参数应控制的范围是. 18. 已知函数是奇函数．（是自然对数的底） （1）求实数的值； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）设，对任意，若以为长度的线段可以构成三角形时，均有以为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质求出，再验证即得答案. （2）探讨函数的单调性，再脱去不等式中法则“f”，利用与的关系，结合二次函数求出最值即可. （3）求出，借助单调性及三条线段能围成三角形的条件，结合基本不等式求出的最大值. 【小问1详解】 函数的定义域为R，由是奇函数，得，解得， 此时，， 则函数是奇函数，所以. 【小问2详解】 函数在R上单调递增，不等式， 化为，则， 即，依题意，对任意恒成立， 令，当时，，， ， ，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）得： 不妨设，则， 由，，为长度的线段可以构成三角形，则， 以，，为长度的线段也能构成三角形， 则恒成立，得恒成立， 即时，恒成立， 又，当且仅当时取等号， 因此，解得，所以的最大值为. 19. 已知函数，若关于的方程在的定义域上有实数解，则称为函数的“平衡点”；若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“平衡函数”；有序数对称为函数的“平衡点对”． （1）若是“平衡函数”，求函数的“平衡点对”； （2）是否存在实数，使得为函数的“平衡点对”，若存在，求出的值；若不存在，则说明理由； （3）若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“平衡点”与“平衡点”，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）存在，； （3） 【解析】 【分析】（1）利用“平衡函数”的定义，结合函数式列出恒成立的等式求出“平衡点对”. （2）利用给定的“平衡点对”，结合定义列出恒等式，整理求解即得. （3）利用给定的“平衡点对”，结合定义分别求出，进而求出范围. 【小问1详解】 由是“平衡函数”，得对任意，恒成立， 即对任意成立，因此， 所以函数的“平衡点对”为. 【小问2详解】 假定存在实数，使得为函数的“平衡点对”， 则对，恒成立， 即对，，因此，， 所以存在实数，使得为函数的“平衡点对”， . 【小问3详解】 存在实数，使得同时为该函数的“平衡点”与“平衡点”， 则，， 整理得，， 于是， 因此，由，得， 则，所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：利用新定义，根据新定义列出满足的恒等关系，根据等式恒成立求出参数满足关系，即可解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$