(17)空间向量及其应用-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（广东专版）

高三一轮复习G ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（十七） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V,数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑤数据分析 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 分 值 (主题内容) ④ G 档次 系数 1 选择题 5 由向量共而求参 易 0.78 2 选择题 点到面的距高 易 0.72 空间向量基木定理 选择题 中 0.65 的应用 选择题 由空间向量解决两 5 中 0.55 点间最短距离问题 5 利用空间向量求点 选择题 5 中 0.45 到直线的距离 利用空间向量求线 6 选择题 难 0.26 面角（数学文化） 空间向量有关概念 选择题 中 0.60 的辨析 8 利用空间向量解决 选择题 6 含参问题 公 0.40 9 利用平面的法向量 填空题 求参 易 0.71 利用空间向量求线 10 填空题 5 中 0.45 段长 利用空间向量求线 11 解答题 13 面距，由线线垂直 V 中 0.60 求参 利用空间向量求二 12 解答题 15 面角的大小及判断 % 0.55 点在平面内 利用空间向量证明 13 解答題 20 线面垂直，求线而角 中 0.35 的大小 ·67· ·数学· 参考答案及解析 医者苔案及解折 一、选择题 1.A【解析】由题意知，存在实数A,,使(2,3，m)=入(1， 的距肉为，所以血瓦之豆成一前一号解 A=2 2,0)+(0,一1,1)=(a,2λ一以，)，所以2一=3. 得dy6 ,故选B u=m 1=2 B 解得4=1.故选A. m=1 2B【解折】点P(3,11)到平面a的距离为市，n =(21)·1.2,2)-12+?+2=2.故选B √/1+22+2 3 B 3.D【解析】由题意知A正=子A花，A花=A+A它. A店=AC.AC=A+Ad,AB=A, 6.B【解析】依题意，OC⊥AB.OD⊥AB,面平面 ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB, AD=Ai.所以A=AA+专AC=专AA+ OCC平面ABC,则OC⊥平面ABD,又ODC平面 ABD,则OD⊥OC,因此直线OD,OB,OC两两垂直， 名+A成.故选D. 以点O为原点，直线OD,OB,OC分别为x,y,轴建 4.C【解析】如图，在棱长为2的正方体ABCD- 立空间直角坐标系，令圆的半径OD=1,则O(0,0, AB,CD,中，P(1,1,0)为正方形ABCD的中心， 0),D(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),Oi=(0,1,0), Q(2,0,2)为点A1,将正方体的面ABCD,ADDA B=(0,-1,1D,BD=(1,-1,0),设平面CBD的 展开，所以这只蚂蚊爬到点Q(2,0,2)的最短距离为 一 个法向量为n=(,y,。,则 展开图中的PA,PA=√3+下=√⑥.故选C n·B=-y+x=0 n·心=x一y=0·令y=1,得n=,lD,设直 D 线AB与平面C'BD所成的角为0，则sin0=|cos〈n, A() B Oi1=1n·O -又5=号，所以直线AB与平面 CBD所成角的正弦值为停故选B .P 5.B【解析】根据堑堵的定义，以点B为原点建立空间 直角坐标系，则B(0,0,0),A(2,0,2),B1(0,0,2) 二、选择题 C0,2,0).P(1,0.1),故BC=(0,2,-2),Bp=(1,0. 7.AD【解析】对于A,由题意，当n⊥m时，l∥a或lC -1),所以cos(BC,B户)=1(0,2，-2)·(1.0，-1) 22×√2 a:故A错误：对于B,由图可得，∠CAD=行，则 =之，所以n(BC,B户-号，设点P到直线片C ∠DAB=等 ·68· 高三一轮复习G ·数学· 程卡C G 所以∠ADB=无，根据线面角的定义可得，l与a所 因为G为△ABC的重心，则Gi+G+G式=0，可得 成角为，故B正确：对于C,因为“=(1,2，一2) Pi-P心+P弦-P心+P心-P心=0，则3p心-pi+ -（-2,-4,)=-宁.所以u/故a/g故C P克+P心，所以9P心=(PA+PB+PC)=PA+ PB:+PC+2(PA.PB+PB.PC+PC.PA)= 正确：对于D,只有当空间的三个向量a,b,c不共面 时，对于空间的任意一个向量p,才存在实数x·y, 4+4+9+2×(2co5号+2×300s号+3× 使得p=a+b十c,故D错误.故选AD. 8.ABD【解析】作出三棱柱ABC-A:B,C,如图，对 20s）=33,故1P心= 3 于A,当A=1时，B驴-BB,+:BC,则B,户=B驴 四、解答题 BB=:BC=:B,C,所以点P在棱B,C上，故A 11.解：(1)取BC,B,C的中点O,O,连接OA,OO, 正确：对于B,当入=以时，B=A(BC+BB)=ABC, 因为CC⊥底面ABC,CC∥OO, 入∈(0,1门，所以点P在线段BC,上，故B正确：对于 所以(OO⊥底面ABC, C,当A=一时，由B知B丽=专C所以P为线 因为OA,OBC平面ABC, 所以OO⊥OA,OO⊥OB, 段BC,的中点，故C错误：对于D,当入十以=1时，= 又因为△ABC为等边三角形，O为BC的中点， 1-X,所以BP=ABB十(1-A)BC,则B驴-BC 所以AO⊥BC ABB-ABC,即CP-ACB,所以点P在线段B,C 则以O为原点，OA,OD.O)所在直线分别为x,y, 上，故D正确.故选ABD. :轴建立空间直角坐标系，如图所示： C B B 三、填空题 9.3√2【解析】由点A(-1,0,1),B(2,3,c),可得 故B(0,1w5),A(5,0.0).D(0.3,0) AB=(3,3,c一1)，因为平面a的一个法向量为n= BD=(0,2.-3),AD=(-3,3,0) (1,-1,2),点A(-1,0,1),B(2,3.c)均在a内，所 设平面AB,D的一个法向量为n=(x,y,x): 以AB·n=0,则3×1+3×(-1)+(c-1)×2=0, n·BD=2y-V3x=0 解得c=1.则1A1=√3+3+(c-1)=32. 则 n·AD=-√3x+3y=0 10.☒ 3 【解析】如图， 令y=1.则n=（3,1,2y)》 3 (3分) 因为BD∥BC,BD=B:C, 所以四边形BDB,C为平行四边形， 所以BC∥BD. ·69 ·数学· 参考答案及解析 因为BC丈平面ABD,BDC平面ABD, 则cos0=-|cos(m,n|=-Tm·73 m·n =-1 所以BC∥平面AB,D, 即直线BC到平面ABD的距离等于点B到平面 :钝二面角N-MF-D的余弦值为-子，(8分) AB,D的距离. (5分) 又B(0,1,0), 则Bd=(0,2,0) 设直线BC:到平面ABD的距离为d, 则4=B成.n 2 n V8+1+号 2 即直线BC,到平面ABD的距离为， (7分) (2)设P(3,0,t)(1[03]), 又C(0,-1,0), 则Cp=(5,1t) (2)连接AC,H为CE的中点，且A(0,0.0),E(0, 因为BD=(0,2,-3),CP⊥BD, 0,2),C(2,2,0),N(1.0,1),F(0,2,1), 所以Cp.BD=2-31=0, Ai=4C+2证=(2,2.0+200,2)= 解得1=23∈[0W5],符合题意。 (1,1.1). 3 即H1.1,1), 故Pg.o,29) (11分) Ni=(0.1.0) (12分) 由(1)得平面MNF的一个法向量为m=(2,1,2), 2☒ 因为后 2 :m·Ni=1≠0， 3 N方与m不垂直， 所以存在点P为靠近A:的三等分点，使得CP⊥ 故点H不在平面NMF内. (15分) BD. (13分) 13.解：(1)因为AB∥CD.DC=2AB=2. 12.解：(1)：AE⊥平面ABCD,且AB,ADC平面AB 所以四边形ABCM为平行四边形，则AM∥BC. CD. 又因为BC⊥CD, .AE⊥AB,AE⊥AD 所以AM⊥CD, (3分) 又AB⊥AD,即AE,AB,AD两两垂直， 因为△PCD为等边三角形，CD的中点为M, 以A为原点，AB,AD,AE所在直线分别为x,y,≈ 所以PM⊥CD, 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 由AM∩PM=M,AMC平面PAM,PMC平 则E(0,0,2),F(0,2,1),M1,2,0),N(1,0.1), 面PAM, NF=(-1,2,0).M亦=(-1,0,1). 可得CD⊥平面PAM. (6分)》 设平面MNF的一个法向量为m=(x,y,), (2)由(1)可知PM⊥CD, 则m·N方=-x+2y=0 因为平面ABCD⊥平面PCD,平面ABCD∩平面 m·M亦=一x+=0 PCD=CD,PMC平面PCD, 令y=1,则m=(2,1,2), (3分) 所以PM⊥平面ABCD,即PM为四棱锥P-ABCD AE⊥平面ABCD,DF∥AE 的高。 .DF⊥平面ABCD, 又因为梯形ABCD的面积S=号×1+2)×BC ,ADC平面ABCD, 3 DF⊥AD, BC.PM=3. :AD⊥DC,DCNDF=D,DC,DFC平面MFD AD⊥平面MFD, 所以四棱锥P一ABCD的体积VP-D= 3 ∴.平面MFD的法向量可以为n=(0,1,0),(5分) 设钝二面角N-MF-D为0， 号CX=C=是，解得C=后. 2 (9分) ·70 高三一轮复习G ·数学· 由AM⊥CD,平面ABCD⊥平面PCD,平面ABCD 则P(0,3,0),B(1,0,V3),A(0.03),D(-1,0, ∩平面PCD=CD,AMC平面ABCD. 0). 可得AM⊥平面PCD, 所以Pi=(1,-33),Pi=(0,-33),Pi 所以AM,CD,PM两两垂直， (12分) (-1,-√3,0) 以M为坐标原点，以MC,MP,MA的方向分别为x、 设平面PAD的一个法向量为n=(x,y,z), y、:轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 n…pA=0 Mryz. -√5y+V3:=0 m·P防-0卿 则 -x-√3y=0 取y=1,则x=一√3，=1， 即n=(-V5,1,1), (16分) 设直线PB与平面PAD所成角为0， 则im0=1os(P克m1=P·m=区=15】 D 1PB11nV35351 所以直线PB与平面PAD所成角的正弦值为 /105 35 (20分) ·71高三一轮复习40分钟周测卷/数学 4.已短某空间直角坐标暴)xyg中，一只妈蚁从点P(1,1,0)出发，在xy和0左平面上底行，题 (十七)空间向量及其应用 这只蚂蚁爬到点Q(?02)的最划能离为 (考试时司40分钟，请分100分 A./5 且3 C.To D.2+2 5在（九章算术）中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于能图的三装柱称为至堵，在至峰AC 条形码粘贴处 A,(中，若AB=C=AA=,且P为线段BA,的中点，期点P别直线HC的是离为 A. R雪 一，法择题 c n号 ItA1日ED &(A CHt C国 多AD 《为体说市见参与城市建设，共建共享公园城市的热情，间同时搭建城布共建共享平台，彰暴域市的 4tA好[用9国 ECA[PD网 6T发口D网 二选择题 发展型度，某市在中心公同开敛长培赠送点位，接受市见鼎送的体闲长椅，其中观景章坪王一契 T1A3【间 8A7[aI可 长因兆造垠简单料致，领受人门喜欢（如周1），如图2，已知A书和CD是属0的两条互相纸宜 的直径，将平罪AC沿AB韩折至平面ABC,使得平面AC⊥平面ABD,,此时直线AB与 三、填空题 1 平面CBD所成角的正蕊植为 一，选挥夏（本大惠共8小想，好小题5分，共0分。在每小题价出的四个选瑰中，只有一明是算 A号 合题日要来的 1.已年空科向量e三(1,2.0)，b=《0,一1,1).e三g.3.m).若向量，b,e共面.划实数m三 R AI 线2 C.3 c .4 2.若平面的一个法向量为n=〔1.2,21，A(1,0,0)为内的一点.刚点P3,1,L)到平面a的图离 号 为 二、进择赠（本大通共2小愿，每小面6分，共1？分，在句小给出的法所中，有多项符合题目限 A I 我2 录。全部进对的得年分，部分远对的得常分分，有选情的得1分》 C.8 D./IT 7.给下列奇想：其中为很命题的是 a.如周，在正方体ACD-A:B,C,D中点E是A:C,的中点，点F在线段AE上，且AF一EF A已知n为平面✉的一个法向量，四为直级（的一个方向向量，若⊥m,期（▣ 则A子= 且已如n为平面。的一个法向量m为直线1的一个方向向量，者烟m一警，则1与。所角为爱 仁若两个不列的平面的法向量分别为，且u=1,2。一2)，=一县，一440，则a成 D已知空可的三个向量a,,,则对于空同的任意一个向量P,总存在实数上x使得厚一虚 十就 点已每在三棱柱A-4,B,G中，P为空创内一点，若B萨=人BB十x以，其中A60,1.则 A若1-1，期点P在棱BG上 且若A一地，则点P在线夏BC上 4M+号4+号 号不++应 C若1=4=多·期P为棱℃，的中点 若A十n=,则点P在线段B:C上 C+店+而 n.试++日a而 数学，第11共1直) 衡木金春·先享型·高三一轮夏习的分钟圈圆韩十七 轴学第方（共岗） 回 三、填空■（本大题共2小题，每小避5分，共10分》 1志.（本小题需分20分） 及，已知平面x的一个法向量为n=(1,一1,2，若点A(一10.11，B(2.3)均在a内，则 在四棱银P一AD中，△P力为等边三角彩，四边地AD为直角标形，A#∥CD, A CD,平省ABCD平面CD,D'=2AB=2,M为CD的中点 10已知空间向量P,P店.P的模长分料为2.3,3，且构两交角均为，点G为△A8(的重心，则 (1)证明，CD⊥平面PAM: PGI- (2若膜棱作P-A以D的体积为兰，求直线PI与平面PAD所成角的正弦氧。 四、解答赠（本大题共3小超，共移分，解容应写出必要的文学说明.正用过程成演算步翼） 1北（本小题请分13分》 如周，三校柱ABC一A,BC的亲面是边长为2的正三角形，侧棱C⊥联面ABC,CC一京， D是CB延长线上一点，且BD-BC. (1)求直线风C到平雀ABD的距离： (2)在线段AA上是否存在一点P,使得P⊥出D性若存在，求出点P的位置：若不存在，语说 明理由. 12.(本小题满分1指分) 在如图所示的五面体AB以DFE中，襄面ACD是边长为2的正方形，AE⊥平直AD,DF E,且DF一之AE-1,N为BE的中点M为CD韵中点 (1)求纯二面角N-F一D的余兹值： (2)若线夏C的中点为H,试判断点H是否在平面N下内？并说明理由. 数学，第2成共1直) 街木舍存·先有·高三一轮题习的分钟圈韩十七 轴学第4有（共黄） 回