(15)基本立体图形、立体图形的直观图、简单几何体的表面积与体积-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（小题量 B卷）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 《中国有整久的金石文化，印信是会石文化的代表之一，印信的形状多为长方体，正方体或圆柱 (十五)基本立体图形，立体出形的直观图、简单几何体的表面积与体积 体，们南北朝时期的官员单熏信的印值思状是“半王多面体“（用1），半正多面体是由两种或两种 (试时司40分钟，高分100分) 以上的正多边形用成的多面袜，半正多面体体现了数学的对称美，图2是一个棱数为州的半正 多面体，它的所有面点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，期该半正多宝体共 一，远择题（本大思共6小题，蜂小览5分，共动分。在每小题给出的国个选璃中，只有一项是存 有面的个数及棱长分料为 合道目要求的 A.262-1 1,已知“个直三棱柱的底面是舰长为2的等能直角三角形，高为3，，度三棱柱的表自积为 且.212-四 A12+N 2w2+16 C.262-2 C12,2十6 D.16+8,2 D24E-1 2.一个近似圆台形款的水缸.若它的上，下底直圆的半径分别为5m有15m,￥度为8©m,则 二、器择槛（本大题共2小题，小题6分，共12分，在每小增给出的速项中，有多项符合邀目要 核本[前满水时的蓄术量为 求。全那选对韵得8分，部分过对的得常分分，有选错的得0分) A.I 225x em 不.下列说法错误的是 B.4 900=cm A.棱柱的钢棱都相等，侧面都是平行四边形 C.7 350x cm' B,用一个单置去截技锥，控雄盛面与截直之间的溶分是校名 12200开m C,所有儿何体韵表面都能展开成平而图形 3如图，某四边形AD的直戏图是正方形A'BCD',且A1:0,(一1,0).谢原四边形ACD D棱台的所有侧棱延长后交于一点，侧面是等樱梯形 的周长等于 发已短属管的刻面堰形图是等径为2的半圆，期下列关于该图维的结论正确的是 A.2 62,2+2,8 人体积李于受 戊过点的黄面面积量大催等于 ,4 C外接球的性积等于号 )内切球的表面积等于2舞 D.42+43 L下面的四个长方体中，是由左边的平面留形围成的墨 班缓 性名 分数 题与 容紫 三，填空盟（本大题共2小题.每小题5分共10分） 9,已每某属台销载面的面积为5，且轴截面有一个角为10”，则该具台的侧面职为 C D 10如图所示，己知正三棱货ABC一A:B,C的病面边长为艺，高为5，一线点自点A出发，沿看兰截 ,占看精数学家做几里得在（儿柯原本）里提店：”球的体积(V)与它的直径(D)修这方成正论“，即Y 柱的侧面饶行两周到达A点的最短路线的长为 一D,默几里得末给出业的值1？世纪日本数学家们到求球的体积方法还不了解，他们将体积公 式V一D”中的食数卡称为“京同术”或“玉积率”，创用了求“王积率”的鞋特方法“会美术”，其中， D为直径，类似地，对干等边慨柱（结靓面是正方慰的调柱叫作等边圆性）.正方体业有类似的体积 公式V=),其中，在等边网在中，D表示能面调的直径：在正方体中，D表示棱长，假设运用此 “会玉术"，求得的球，等边阴柱，正方体的玉积米”分州为点心，，娣 k:2 C3 ,1,4 节 数学，量1成1共1直) 衡木舍存·先有·高三一轮面习的分钟圈测酵十五 轴学第当（共黄） 回 四、解答丽（本大共3小题，共8分。解答应写出必壁的文字说明，正明过程或演算步霞） 1意.（本小题需分20分） 11.(本小题满分13分》 为了更直戏墟让学生认识校维的儿解特任，某教峰计划利作一个正四棱维教学模型，形有一个 我国吉北数学名著《九章算术)中，将感直为矩形且有一条制极垂直于依面的世棱锥称为”用 无盖的长方体硬承盒，其感雨是边长为20m的正方那，高为1目m,将其侧棱剪开，叙到限开 马”.如图所示，在长方体ABCD-ALCD,中，已知AD-C-2,AA一3. 图，图1断示.严：P,PP,分划是所在边的中点，勇去司影那分，再铅退线折起，般得P, (1)米证：因较康D一ACD是一个“阳马”，并求该“阳马”的体积： P,P,P国个点重合于点P,正好形或一个正国校维P一ACD,如图2新不，2AB=(单 (2)求废用马“一ACD的外接球的表宜积 位：m, (1)若F=10,求正四棱推P一ACD的表面积： (2)当￥取何值时，正四棱锥P一ABCD韵体积最大， 12〔本小题请分1后分》 如附，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C-是AB-?,2.CD-冠，风C-2,将ACD(是其内廊) 绕AB所在的直线管较一周，形成一个几问体 (1)表该几何体的体积和表面积： 〔2)设直角梯思A以D旋AB所在的直线能转角《∠CBC=E(0x)至ABCD,若A了⊥ AD,求角9的值. 数学，第2成共1直) 衡木舍存·先有型·高三一轮题习的分钟圈测酵十五 轴学第4方（共岗） 回高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（十五） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力W.空间想象能力V,数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑤数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ③④ G⑤ 档次 系数 1 选择题 棱柱的表面积 易 0.78 2 圆台的体积（数学文 选择题 0.75 化) 选择题 5 由直观图求原图形 中 0.65 的周长 4 选择题 5 长方体展开图 中 0.60 正方体，圆柱与球的 5 选择题 5 中 0.45 综合（数学文化） 6 选择题 5 半正多面体 难 0.26 7 选择题 6 几何体的结构特征 易 0.72 8 选择题 6 圆锥的结构特征 中 0.40 圆台的轴截面、侧面 填空题 易 0.71 积问题 10 填空题 5 多面体的展开问题 中 0.45 棱锥的体积，补形法 11 解答题 13 求几何体外接球的 中 0.65 表面积 旋转体的表面积与 12 解答题 15 中 0.50 体积问题 锥体的表面积，导数 13 解答题 20 法求锥体体积的 难 0.30 最值 香者管案及解析 一、选择题 2.C 【解析】由题意得V=号x·(25十15十 1.D【解析】由题意可知，该三棱柱的表面积为S表 (4+2v2)×3+2×号×2×2=16+6vE.故迹D √25×15)×18=7350元(cm).故选C. 3.D【解析】因为A'(1,0),C(一1,0)，所以直观图 ·59· ·数学· 参考答案及解析 中正方形的边长为√2，结合直观图的特征，可得原图 如下： --G 二、选择题 7BCD【解析】棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四 边形，故A正确：用一个平行于棱锥底面的平面去截 棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故B错：球 体展开后就是一个曲面，而不是平面图形，故C错：棱 因为直观图中BC=√2，且B'C与y轴平行，所以原 台的所有侧棱延长后交于一点，侧面都是梯形，不一 图中BC=2√2且BC与y轴平行，因为AC=2,所以 定是等腰梯形，故D错.故选BCD. AB=√2+(2√2)=2V3.由直观图的性质可知， 8.AC【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为1，则 11=2 原图中四边形ABCD为平行四边形，所以四边形 1=2 ,解得{，所以圆维的高h= ABCD的周长等于4v2十4.故选D. 2πr= 2 ·2π×2 r=1 4.B【解析】由长方体的展开图可得符合的长方体为 √一子=3，则圆锥的体积V= 3rh= 3,放A B.故选B. 5.D【解析】在球中.V=青R=子x(号)'=晋D 正确：设过顶点的截面三角形顶角为0，则0<≤子， 则截面面积S-之fsn0-2sn2sn音-厅，放B =D,解得=吾：在等边圆柱中，V:=x(号)广· 错误：记圆锥的轴截面为△ABC,则△ABC是边长为 D=平D=k:D,解得=子：在正方体中，V=D 2的等边三角形，圆锥外接球和内切球的半径分别是 =名D,解得k=1.kk=天：天1=1： △ABC外接圆和内切圆的半径，依次为2X号×着 64 2 23 会故法D 3 2x ×有一停，所以外接球作积为号× 6A【解析】可以将该多面体分为三层，上层8个面， (2)-号，故心正确：内切球的表面积为红 中层8个面，下层8个面，上下底各1个面，所以共有 ×(停）-誓，故D错误，故选AC 8+8十8+1+1=26个面，设正多面体的棱长为a,作 出该几何体的截面如图，截面图为正八边形，由图可 得CD=,‘,CE=a,因为△CDE为等腰直角三角 2 形，所以CB=ECD,即a=厄×22，解得a 1=V2-1,所以该多面体的棱长为巨-1.故 w2+1 选A. ·60· 高三一轮复习B ·数学· 三、填空题 所以该“阳马”外接球的表面积为S=4R=4x× 9,43x【解析】如下图所示，设圆台上底面半径CE (）=17x (13分) r,下底面半径FB=R.设∠BCD=120°，则∠ABC 60°，在平面ABCD内，过点C作CM⊥AB,垂足为 12.解：(1)过点D作DE⊥AB,如图所示， M,则圆台的高CM=方=√3(R-r),圆台轴截面的 面积为2+2R.3(R-r)=6,所以R-r=23, 2 所以圆台侧面积为2·2xR·2R-号·2xr·2r- 2π(R-r)=2x×2V3=4V3元 则DE=BC=2,BE=CD=√2， 所以AE=AB-BE=√Z, ----8--- 在Rt△DEA中，DE⊥AE,DE=2,AE=2. 则AD=AD=√6， 10.13【解析】此题相当于把两个正三棱柱都沿AA 所以该几何体的体积V=了xX2×V2+rX2:× 剪开拼接后得到的线段AA,的长，即最短路线为 √12+5=13. V2-162x (5分) 3 B. C 该几何体的表面积S=r×22+2π×2×√2+r×2× V6=(42+4+2V6)π (8分) (2)连接DE,DD,CC,如图所示， 四、解答题 11.解：(1)因为长方体ABCD-一ABCD,中，DD,⊥ 平面ABCD,且四边形ABCD是矩形， 所以四棱锥D,一ABCD中，底面ABCD是矩形，且 侧棱DD⊥底面ABCD, 所以四棱锥D,一ABCD是一个“阳马”， (4分) 在△DED'中，由余弦定理得DD=CC=DE+ 体积V=号SupXDD,=子×2X2X3=4.(7分) 1 DE-2·DE·DE·cos0, (2)长方体的外接球即为四棱锥的外接球， 即DD=8-8cos0, 因为AB=BC=2,AA1=3. 所以在R△DAD中，AD+AD:=DD, 所以长方体的体对角线长为√2+2+3=√17， 即8-80os0=12.解得co0s0=-号 (13分) 则长方体的外接球半径R= 2 (10分) 又0e0,x所以0= (15分) ·61· ·数学· 参考答案及解析 13.解：(1)在正四棱锥P一ABCD中，连接AC,BD交 P0=V(20-)-(受) =25×√20-x 于点O,设BC的中点为E,连接PE,EO),PO. AB=10,∴OE=5,PE=15, (0<x<20), (12分) .正四棱锥P一ABCD的表面积为S表=SD十 ∴.正四棱锥P一ABCD的体积为 45am=10X10+4×合×10X15=40, v()=g产×25×v207-2xrV20- 3 ∴.正四棱锥P一ABCD的表面积为400cm°.(8分) -25×√(20-x(0<x<20). 3 (15分) 令t(x)=x(20-x)(0<x<20), 则t(x)=5x3(16-x), 当0<x<16时，1(x)>0,t(x)单调递增： D 当16<x<20时，(x)<0,t(x)单调递减， E ∴t(x)m.=t(16)..V(r)x=V(16), ∴.当x=16时，正四棱锥P-ABCD的体积最大. (2)AB=x, (20分) ∴0E=号，PE=20-号(0<<20) ·62·