(18)立体几何的综合-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（小题量 A卷）

高三一轮复习0分钟周测卷/数学 如用，在因棱霍P一ACD中，PD⊥半面AD,底面ACD是平行四边形，E为C的中点， 《十八》立体几何的综合 PD=AD=BD=2,∠ADB=90°，则 (考试时间40分钟，分100分 APA∥平面BDE B.C与BP不可能柔直 一，透择题（木大题共8小题年小题5分，共0分，在每小题给出的四个这明中，只有一填是符 C:平直PCB平面PDB 合题目要求的) 【若一水平校置的正方形的周长为8：则其刑鲜二测新法得到的直观阴的面积是 D三棱级P-BDE的体积为号 号 货缓 姓名 我图 C.2 ,3 题号 1 2.已知xy∈N,点A41,5,-2),B(24.1,Cx,3,y十2)在间一第直线上.则r一y= 容紫 A,-1 I .2 ,5 三、填空露（木大题共2小道，每小避5分，共10分） a.第19漏最部运动会于023年9月23日一10月8甘在我间杭州成功举办，中国国裳队以201 9,如阴所示，在四棱脏P一ABCD中，PA上版直ABCD,且底面各边都相等，AC几D=O.M是 金，组，门阴的屁异成资控列奖降榜榜首.此次亚运会的强奖花桌一一侧果累果”，由花材 PC上一动点，当点M满足 时，平面MBD上平面PCD《填可一个正确的条件即可) 和花器两部分组成，如图L其中花器的造漫灵感来自中国南零时期官需花解，由属家极物量 文化遗产东用木避制作面成，可以五但看作是由大，小两个圆程接面成的组合体，如图，已知 大程安的两前直半径和商分别为2m,4曲，12，小图台的两感直半径和高分别为2四。 3cm,Gm,得该具封体的体积为 A.150x cm' 我180mm 第10题 C,200a.rm ]0,察子，古时北方虫称“角幸”，是由家叶包裹糯米，素米等俏料黛養断成的食品，是中国仅能传统 D.220 cm' 图2 节庆食物之一，端午食家的风丝，千自年素在中国临行不是，称子形状多样，销科种类紫多，南 4,已知，个正棱策核平行于您面的平面所蔬，若截得的靓面面积与成而直积的比为14，划北平面 生方风碳各有不可某四角置黄棕可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个 裁正控靠新得的棱策和俊台的体积之比为 等子里仅包裹一一个蛋黄，若棕千的棱长为田：则其内可包裹的蛋黄的最大体积为 A.12 14 C.17 D.18 cm'. i.在三棱靠P一AC中，PA,PB,PC丙两垂直，且PA元1.P0=2,PC=3,△ABC的重心为G 四、解答置《本大腿共3小题，共48分。解答应写出必餐的文字说明、正明过程或闲算步翼」 则点P到直线AG的距离为 11,〔本小题满分13分) A号 我 c兰 D 在棱长为a的正方体ACD一ABCD巾，E,F分别是BB,CC,的中点： 3 17 17 1)求证，AD∥平面AEFD: 6.已知长方体AD-AB,CD巾，A4=E,=AD=后，P为底面ACD上一动点，PE⊥ ()来直线AD到半国A,EFD的距离 A,C于点E且PA一E,议，AP与平童ABCD所成的角为，用9的量大值为 L哥 &晋 c u吾 二，选播嚣（木大避共2小题，每小题年分，共12分。在每小超哈出的建理中，有多明符合圈口警 求，全邵达对的得6分，溶分透磷的得部分分·有选情的得0分) ?.已如直线（的方向向量是：一(，一2,0），若(La期平面x的法向量可以是 Ag=1.2-01 n=一2,4,0) Ca-42.l-0) =3.一6,0 脑举第1直1共4直) 街水金林·先率置·喜三一兼直习修分钟圈测韩十八 曲学第2方（共4成） 可 12.(本小题害分15分》 1飞.（本小避离分20分） 如图，在三棱柱AC-A,BG中，侧面ACC⊥越面A以，靠面△A以是以C为斜边的 如周，在四校白A一A:B,CD,中，四边形AD和AB,CD,均为正方悬，四边形 等腰直角三角形，侧面AACC是边长为2的菱形，且∠A,4C一， A℃A,为直角佛形，AC⊥AM,已知4B-2,LB,-1,4,-DD. (1)求点A,到平面AC的丽离： 1)求T,平罪AAC,C1平面ABD: (2)求直线A:B与平面ABC所成角的余蕊值. (山若直线B与平面C℃，所减角约正独值为号，求读四战台的体积。 脑学第3直1共4直) 崔水金林·先存量·喜三一轮直习设分钟圈测韩十八 曲学第4方（共4成） 可高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（十八） 品题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力N,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ，应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) 档次 系数 斜二测画法求直观 1 选择题 易 0.78 图的面积 由空间三点共线 2 选择题 S 0.72 求参 易 圆台体积的实际 3 选择题 5 中 0.65 应用 4 选择题 5 棱锥与棱台的体积 中 0.55 5 选择题 求点到直线的距离 中 0.50 6 选择题 求线面角的最值 中 0.45 7 选择题 6 求平面的法向量 易 0.72 6 空间位置关系与棱 选择题 6 中 0.40 锥体积的综合 与面面垂直有关的 9 填空题 易 0.71 开放型题目 几何体的内切球问 10 填空题 5 中 0.35 题（数学文化） 11 线面平行的判定，求 解答题 13 中 0.60 直线到平面的距离 12 解答题 15 求点面距，求线面角 中 0.55 证明面面垂直，线面 13 解答题 20 角的大小与棱台体 中 0.35 积的综合 香考答案及解析 一、选择题 1,B【解析】由正方形的周长为8，可得正方形的边长 Sm-×2x2=厅.放选B 为2且Sm=S,所以其直观图的面积是 2.B【解析】由已知可得AB=(1,-1,3),AC=(x 4 1,一2，y十4).因为A,B,C三点共线，所以存在实数 ·75· ·数学· 参考答案及解析 /x-1=A 1=2 D 9 A,使得AC=入AB,所以{-2=一1，解得{x=3,所以 y十4=3入 y=2 x一y=1,故选B B 3A【解折】根据圆台的体积公式V-子（十十 D h:可得V=方·(2+2X+)X12+合x (2十2×3十32)×6=150π(cm).枚选A. B 4,C【解析】设正棱锥被平行于底面的平面所截得的 二、选择题 小棱锥与原正棱锥的体积分别为V1,V:,则由已知可 7.BD【解析】因为1⊥a,故直线I的方向向量与平面a 得V,:V:=1:8,所以此平面截正棱锥所得的棱维和 的法向量平行，对于A,n=(1,2,0)与a=(1,一2,0) 棱台的体积之比为1：7.故选C, 不平行，A错误：对于B,n=一2a,故n与a平行，B正 5.D【解析】如图所示，以P为坐标原点，PA,PB,PC 确：对于C,a·n=0,故n与a垂直，C错误：对于D,n 所在直线分别为x,y:轴建立空间直角坐标系，则 =3a,故n与a平行，D正确.故选BD. P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),则 8.AC【解析】连接AC交BD于点O,连接OE,过点 6(3,号1)pi=(1,0.0),aG=(-号，号， E作EF⊥CD于点F,在平行四边形ABCD中，AO 2 =C0=AC,点O为AC的中点，在△ACP中，E为 故PA在A亡上的投影为 A.AG 217 17 PC的中点，OE=合AP,OE∥AP,:AP亡平面 3 BDE,OEC平面BDE,∴.PA∥平面BDE,A正确：在 则点P到直线AG的距离为V( 四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,BCC平面 ABCD,.PD⊥BC,又∠ADB=90°，∴.BC⊥BD, 22 BD,PDC平面PDB,BD∩PD=D,∴.BC⊥平面 17 ,故选D. PDB,,BPC平面PDB,.BC⊥PB,B错误：，BC C平面PCB,∴平面PCB⊥平面PDB,C正确；在平 行四边形ABCD中，AD=BD=2,∠ADB=90°，： △ABD,△BCD是等腰直角三角形，AB=CD=2√反， PDC平面PCD,.平面PCD⊥平面ABCD,:平 面PCD∩平面ABCD=CD,EF⊥CD,EFC平面 G PCD,EF⊥平面ABCD.E为PC的中点，.三 棱锥P-BDE的体积为V,-t=专V,m=合× 号×2×合×2×2=号，D错误，放选AC 6.B【解析】因为AA,⊥平面ABCD,PAC平面AB CD,所以AA⊥PA,又PE⊥AC,PA=PE,所以 △PAA1≌△PEA1,AE=AA1=√2，A1C= √2+3+3=22，所以EC=AC-AE=√E,所以P 点轨迹是对角线A,C的中垂面与底面ABCD的交 线，为一条线段.由AA1⊥平面ABCD,知∠APA是 A,P与平面ABCD所成的角，即8=∠A1PA,不妨设 D PA=PE=x,则AP=√2+x,PC=2+x,PA +PC=x十V2牛7≥AC=5.得≥9则m0= 三、填空题 巨<5，故长受，即9的最大值为号，故选B 9,DM⊥PC(或BM⊥PC,OM⊥PC等都可)【解析】 可填DM⊥PC,由四边形ABCD为菱形，得AC⊥ BD,,PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,.PA⊥ BD,又PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,.BD⊥平 面PAC,又PCC平面PAC,∴.BD⊥PC,又DM⊥ PC,BD∩DM=D,BD,DMC平面MBD,∴，PC⊥平 ·76. 高三一轮复习A ·数学· 面MBD,又PCC平面PCD,.平面MBD⊥平面 PCD.故可填DMPC 所以D下=(0a,-号）.D求=(0，a,号)，DA (a.0,0) (7分) 设平面AEFD的一个法向量为n=(x,y,z), 则 n,Di=ay-受=0， (n·D1A=ax=0 令y=1,可得n=(0,1,2), (10分) 所以点D到平面A,EFD,的距离为d=D萨：n n 2a_25 10.√6π【解析】蛋黄体积最大时可近似看成一个棱长 /5 a, 为6cm的正四面体ABCD的内切球，设其球心为 O,球的半径为r,正四面体的表面积为S,体积为V, 即直线AD到平面A1EFD,的距离是25 a 因为正四面体ABCD的棱长为6，所以正四面体的 (13分) 高h=√6-（号×号×6）=26，正四面体的表 12.解：(1)如图，取AC的中点D,连接AC,AD, 因为侧面AA1C,C为菱形.且∠A:AC=60°， 所以△AAC为等边三角形， 面积为S=4××6=36，因为号Sr=S 所以AD⊥AC. ·h,所以号X36r=××6X26,解得r= 又因为平面ABC⊥平面AACC,ADC平面 AACC,平面AA,CC∩平面ABC=AC, 所以A:D⊥平面ABC. (3分) ，所以蛋黄的体积为x×(）=后x(cm) 所以AD的长即为点A,到平面ABC的距离. 而A1D=AA1sin∠AAC=AA1$in60°=√5， 即点A,到平面ABC的距离为√3. (5分) 四、解答题 11.解：(1)因为在正方体ABCD-A,BCD,中，四边 形ADDA1为正方形， 所以AD∥AD,, (2)连接DB,依题知DB,DC,DA两两垂直， 因为AD丈平面A,EFD,ADC平面A:EFD, 以D为坐标原点，以DB,DC,DA:所在直线分别为 所以AD∥平面AEFD, (5分) x,y,:轴建立空间直角坐标系Dxy. 2. 由题可知D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A(0, -1,0).A(0,0/).A,B=(1,0,-5),D0 =(0,1,0), B 由AB=AB=(1,1,0), 可得B(1,13),CB=(1,03) (8分) D 设平面AB:C的一个法向量为n=(x,y,之)， 则有nC可-x+v2=0 n·DC=y=0 (2)如图，以点D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线 取z=3,得n=(-3,0,3) (10分) 分别为x轴，y轴，：轴建立空间直角坐标系Dxy 设直线AB与平面AB:C所成的角为0， 则D(0,0,0)D(0,0a)A(a,0,a),F(0.a号)） 则如9=1eos(Ai.m1=店·nL AB·nl ·77· ·数学· 参考答案及解析 =-3-3-E (2)由(1)知AA,⊥平面ABCD,AB⊥AD. 2X√122 (13分) 故AA1,AB,AD两两垂直， 所以cas=一s可=子， 以点A为坐标原点，AB,AD,AA:所在直线分别为 x,y,之轴建立空间直角坐标系，如图， 即直线A,B与平面AB,C所成角的余弦值为 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0), 设AA:=h(h>0),则C(1,1,h), (15分) 故BC=(0,2,0),CC=(-1,-1,h),AB= 13.解：(1)连接BD1,BD分别与AC1,AC交于点 (2.0,0), (12分) 01.0. 设平面BCC的一个法向量为m=(x1y,), 易得OO分别为B:D与BD的中点， 又BB,=DD1, 则 BC·m=2y=0 所以OO⊥BD. cC·m=-x-y+h,=0 因为在正方形ABCD中，ACLBD, 取=1，则m=(h,0,1), (14分) 又Acnoo=O0,AC,OOC平面ACCA, 设直线AB与平面BCC,所成的角为B, 所以BD⊥平面ACC:A· 则sin0=|cos(m,Ai1=2h ③ 又AAC平面ACCA, 2√+万31 则BD⊥AA· (4分) 又AC⊥AA,BD∩AC=O,BD,ACC平面ABCD, 解得=9。 (16分) 所以AA⊥平面ABCD 而四边形ABCD的面积S:=2X2=4, 又AAC平面AACC, 四边形AB:CD的面积S=1×1=1, 所以平面AACC⊥平面ABCD. (8分) 所以该四棱台的体积为V=吉(S,十S十√SS) h= ×(4+1+x)×=@ 2 6 即该四俊合的体积为吗 (20分) 78