第6周 直线的方程-【周测必刷】2025-2026学年高二数学选择性必修1+2（人教A版2019）

—88 — -1,即b+1a-6 ·(-3)=-1.解得 a=125 , b=-115 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 故A 125,- 11 5 . 综上所述,A 点坐标为(1,-1)或 125 ,-115 . 【探究·一举突破】 探究路径 解 设所求点D 的坐标为(x,y), 如图所示,由于kAB=3, kBC=0, ∴kAB·kBC=0≠-1, 即AB 与BC 不垂直, 故AB,BC都不可作为直角梯形的直角腰. (1)若 CD 是 直 角 梯 形 的 直 角 腰,则 BC⊥ CD, AD⊥CD, ∵kBC=0, ∴CD 的斜率不存在,从而有x=3. 又kAD =kBC, ∴y-3x =0 ,即y=3,此时AB 与CD 不平行, 故所求点D 的坐标为(3,3). (2)若AD 是直角梯形的直角腰, 则AD⊥AB,AD⊥CD, ∵kAD =y -3 x ,kCD = yx-3 , ∴ y-3 x ·3=-1, y-3 x · y x-3=-1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得x=185 ,y=95 , ∴D 点坐标为 185 ,9 5 . 综上,D 点坐标为(3,3)或 185 ,9 5 . 【综合·一练到底】 1.3+2 2 [由题得kl1·kl2= a-2 3 · 3 b+1=-1 , 所以a+b=1,又a>0,b>0, 所以2 a+ 1 b= 2 a+ 1 b (a+b) =3+2ba + a b ≥3+2 2b a ·a b =3+2 2, 当且仅当2b a = a b , 即a=2- 2,b= 2-1时等号成立. 所以2 a+ 1 b 的最小值为3+2 2.] 2.解 在菱形OBCD 中,OD∥BC,∠BOD=60°, 所以直线OD,BC的倾斜角相等,都为60°, 所以kOD =kBC=tan60°= 3. 因为CD∥OB,且OB 在x 轴上, 所以直线OB,CD 的倾斜角相等,都为0°, 所以kOB=kCD =0, 由菱形的性质,知∠COB=30°,∠OBD=60°, 所以直线OC,BD 的倾斜角分别为30°,120°, 所以kOC=tan30°= 3 3 ,kBD =tan120°=- 3. 3.解 (1)直线l1 的斜率不存在,直线l2 的斜率为0,所以l1⊥l2. (2)由题意,知直线l2 的斜率k2 一定存在, 直线l1 的斜率可能不存在. 当直线l1 的斜率不存在时,3=a-2, 即a=5,此时k2=0, 则l1⊥l2,满足题意. 当直线l1 的斜率k1 存在时,a≠5, 由斜率公式,得k1= 3-a a-2-3= 3-a a-5 , k2= a-2-3 -1-2= a-5 -3. 由l1⊥l2,知k1k2=-1, 即3-a a-5 · a-5 -3 =-1,解得a=0. 综上所述,a的值为0或5. 【选做·一飞冲天】 解 (1)设Q(x,y),由已知得kMN =3, 由PQ⊥MN,可得kPQ·kMN =-1, 即 y x-3×3=-1.① 由已知得kPN =-2, 由PN∥MQ,可得kPN =kMQ, 即y+1 x-1=-2.② 联立①②求解得x=0,y=1,即Q(0,1). (2)设Q(x,0), ∵∠NQP=∠NPQ, ∴kNQ=-kNP. 又∵kNQ= 2 2-x ,kNP=-2, ∴ 22-x=2 ,即x=1, ∴Q(1,0). 又∵M(1,-1), ∴MQ⊥x轴, 故直线 MQ 的倾斜角为90°. 第六周 直线的方程 【考点·一应俱全】 1.解 (1)∵直线y= 33x 的斜率为 3 3 , ∴直线y= 33x 的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°,故其斜率为 3. ∴所求直线方程为y+3= 3(x-2), 即 3x-y-2 3-3=0. (2)与y轴平行的直线,其斜率k不存在,不能用点斜式方程表示. 但直线上点的横坐标均为5, 故直线方程可记为x=5. (3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点的直线斜率 kPQ= -4-3 5-(-2)= -7 7 =-1. ∵直线过点P(-2,3), ∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2),即x+ y-1=0. 【易错提醒】 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤:定点(x0,y0)→定斜率k→写出 方程y-y0=k(x-x0). (2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0,y0)的所有直 线,但x=x0 除外. 2.解 由斜截式方程知,直线l1 的斜率k1=-2, 又因为l∥l1,所以kl=-2. 由题意知,l2 在y轴上的截距为-2, 所以直线l在y 轴上的截距b=-2. 由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2. 3.解 当m=0时,l1:4y-5=0;l2:x-4=0,l1 与l2 垂直; 当m≠0时,l2 的方程可化为y=- 1 6mx+ 2 3m. 由-3m8=- 1 6m ,得m=±23 ; 由10-3m 8 ≠ 2 3m ,得m≠23 且m≠83 , 所以当m=-23 时,l1 与l2 平行; 又-3m8 · -16m =-1无解. 故当m=-23 时,l1 与l2 平行; 当m=0时,l1 与l2 垂直. 4.解 (1)由题意可知,kl1=-1,kl2=a 2-2, ∵l1∥l2, ∴ a 2-2=-1, 2a≠2, 解得a=-1, 故当a=-1时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2 平行. (2)由题意可知,kl1=2a-1,kl2=4, ∵l1⊥l2, ∴4(2a-1)=-1,解得a=38. 故当a=38 时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直. 5.解 (1)BC边过两点B(5,-4),C(0,-2), 由两点式,得 y-(-4) -2-(-4)= x-5 0-5 ,即2x+5y+10=0, 故BC边所在的直线方程为2x+5y+10=0. (2)设BC的中点为M(a,b), 则a=5+02 = 5 2 ,b=-4+ (-2) 2 =-3 , 所以 M 52 ,-3 , 又BC边的中线过点A(-3,2), 所以 y-2 -3-2= x-(-3) 5 2- (-3) ,即10x+11y+8=0, 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x+11y+8=0. 6.解 由直线经过点 A(1,0),B(m,1),因此该直线斜率不可能为 零,但有可能不存在. (1)当直线斜率不存在,即m=1时,直线方程为x=1; (2)当直线斜率存在,即 m≠1时,利用两点式,可得直线方程为 y-0 1-0= x-1 m-1 , 即x-(m-1)y-1=0. 综上可得,当m=1时,直线方程为x=1; 当m≠1时,直线方程为x-(m-1)y-1=0. 7.解 (1)当截距不为0时, 设直线l的方程为xa + y a =1 , 又l过点(3,4),所以3a+ 4 a=1 ,解得a=7, 所以直线l的方程为x+y-7=0. (2)当截距为0时,设直线l的方程为y=kx, 又l过点(3,4),所以4=k·3,解得k=43 , 所以直线l的方程为y=43x ,即4x-3y=0. 综上,直线l的方程为x+y-7=0或4x-3y=0. 8.解 (1)设A(a,0),B(0,b), ∵P(3,2)为AB 的中点,∴A(6,0),B(0,4), ∴由截距式得直线l的方程为x6+ y 4=1 ,即2x+3y-12=0. (2)由题意,设直线的截距式方程为xa + y b =1 (a,b>0), ∵直线过P(3,2),∴3a+ 2 b=1 , ∴1=3a+ 2 b≥2 3 a ·2 b ,∴ab≥24, 当且仅当3 a= 2 b ,即a=6,b=4时,等号成立, ∴△AOB 的面积S=12ab≥12 , ∴△AOB 面积的最小值为12,此时直线l的方程为x6+ y 4=1 , 即直线l的方程为2x+3y-12=0. 9.解 (1)由两点式方程得y-73-7= x-5 1-5 ,即x-y+2=0, (2)由点斜式方程得y-3=-3(x+4), 即3x+y+9=0. (3)由题意知x=2,即x-2=0. (4)由点斜式得y=2(x-1), 即2x-y-2=0. 【方法技巧】 求直线一般式方程的策略 在求直线方程时,通常不设直线的一般式方程,而是根据给定条 件,选出四种特殊形式之一求方程,然后转化为一般式. 10.B [由题意,所求直线的斜率k=-2,且过P(2,1),所以直线方 程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.] 11.解 方法一 l的方程可化为y=-34x+3 , ∴l的斜率为-34. (1)∵l'与l平行,∴l'的斜率为-34. 又∵l'过点(-1,3), ∴由点斜式知l'的方程为y-3=-34 (x+1), 即3x+4y-9=0. (2)∵l'与l垂直, ∴l'的斜率为43 ,又l'过点(-1,3), ∴由点斜式可得l'的方程为y-3=43 (x+1), 即4x-3y+13=0. 方法二 (1)由l'与l平行,可设l'的方程为3x+4y+m=0.将点 (-1,3)代入上式得m=-9. ∴所求直线的方程为3x+4y-9=0. (2)由l'与l垂直,可设l'的方程为4x-3y+n=0. 将(-1,3)代入上式得n=13. ∴所求直线的方程为4x-3y+13=0. 12.解 (1)由题意知m2-2m-3≠0,即 m≠3且 m≠-1,令y=0, 得x= 2m-6 m2-2m-3 , ∴ 2m-6 m2-2m-3 =-3,解得m=-53. (2)由题意知,2m2+m-1≠0,即m≠12 且m≠-1. 由直线l化为斜截式方程 得y=m 2-2m-3 2m2+m-1 x+ 6-2m 2m2+m-1 , 则m 2-2m-3 2m2+m-1 =1,解得m=-2. 【探究·一举突破】 探究路径 解 (1)当直线l过原点时,直线l在x 轴和y 轴上的截距均为0, ∴a=2,此时直线l的方程为3x+y=0; 当直线l不过原点时,a≠2,直线l在x 轴和y 轴上的截距分别为 a-2 a+1 ,a-2, ∴a-2a+1=a-2 ,解得a=0或a=2(舍去), ∴直线l的方程为x+y+2=0. 综上所述,直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0. (2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2, ∵l不经过第二象限, ∴ - (a+1)≥0, a-2≤0,) 解得a≤-1. 综上可知,实数a的取值范围是(-∞,-1]. 【综合·一练到底】 1.y=-13x+ 4 3 [因为AB=AC,所以△ABC 外心,重心,垂心都 位于线段BC的垂直平分线上,设线段BC的垂直平分线的斜率为 k,则k·kBC=-1,因为kBC= 3-0 0-(-1)=3 ,所以k=-13 ,又因为 BC的中点坐标为 -12 ,3 2 ,所以△ABC 的欧拉线方程为y- 3 2=- 1 3 x+ 1 2 ,化成斜截式为y=-13x+43.] 2.解 设AB,AC边上的中线分别为CD,BE,其中D,E 分别为AB, AC的中点, ∵点B 在中线BE:y-1=0上, ∴设B 点坐标为(x,1). 又∵A 点坐标为(1,3),D 为AB 的中点, ∴由中点坐标公式得D 点坐标为 x+12 ,2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 87 — —90 — 又∵点D 在中线CD:x-2y+1=0上, ∴x+12 -2×2+1=0 ,解得x=5, ∴B 点坐标为(5,1). 同理可求出C点的坐标是(-3,-1). 故可求出△ABC三边AB,BC,AC所在直线的方程分别为x+2y- 7=0,x-4y-1=0和x-y+2=0. 3.解 ∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形, ∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0. 若l在两坐标轴上的截距相等,且设为a(a≠0), 则直线方程为x a + y a =1 ,即x+y-a=0. ∵12|a| ·|a|=18,即a2=36, ∴a=±6, ∴直线l的方程为x+y±6=0. 若l在两坐标轴上的截距互为相反数,不妨设在x 轴上的截距为 a,则在y轴上的截距为-a(a≠0), 故直线方程为x a + y -a=1 ,即x-y-a=0. ∵12|-a| ·|a|=18,即a2=36, ∴a=±6, ∴直线的方程为x-y±6=0. 综上所述,直线l的方程为x+y±6=0或x-y±6=0. 【选做·一飞冲天】 (1)解 由题意,当直线PQ 的斜率不存在时, t=10-t,故t=5,此时P(5,5),Q(5,0), 直线PQ 不经过点M(6,1); 当直线PQ 的斜率存在时,t≠5, kPQ= t 2t-10 , 直线PQ 的方程为(2t-10)y=t(x+t-10). 假设直线PQ 过点M(6,1), 则2t-10=t(6+t-10),即t2-6t+10=0, Δ=-4<0,方程无实根,故直线PQ 不经过点M(6,1). 综上,直线PQ 不经过点M(6,1). (2)①证明 由题意设点A(a,0),B(2a,0),C(2a,a),D(a,a), 点C(2a,a)满足y=12x , 故顶点C一定在直线y=12x 上. ②解 直线PQ 的方程为(2t-10)y=t(x+t-10), 因为P(t,t),Q(0,10-t), 设阴影部分的面积为S, 则S=S△OPQ-S正方形ABCD = 1 2t (10-t)-a2(0<t<10). 因为点C(2a,a)在直线PQ 上, 则(2t-10)a=t(2a+t-10), 所以a=110t (10-t). 所以S=5a-a2=- a-52 2 +254. 所以当a=52 ,即t=5时, 图中阴影部分的面积取得最大值,Smax= 25 4 , 此时点A 52 ,0 ,B(5,0),C 5,52 ,D 52,52 . 第七周 直线的交点坐标与距离公式 【考点·一应俱全】 1.解 (1)由题意得 x-2y+4=0 , x+y-2=0, 解得 x=0, y=2, 则P(0,2). (2)方法一 ∵所求直线与直线l3: 3x-4y+5=0平行, ∴所求直线的斜率为34 , 又直线过点P(0,2), 故所求直线方程为y-2=34 (x-0), 即3x-4y+8=0. 方法二 设所求直线的方程为(x-2y+4)+λ(x+y-2)=0, 即(λ+1)x+(λ-2)y+4-2λ=0,① ∵所求直线与直线l3:3x-4y+5=0平行, ∴-λ+1λ-2= 3 4 , 解得λ=27 ,代入①式并整理可得, 所求直线方程为3x-4y+8=0. (3)方法一 设所求直线为l, ∵直线l与直线l3 垂直且直线l3 的斜率为 3 4 , ∴直线l的斜率为-43. 又直线过点P(0,2), ∴直线l的方程为y-2=-43 (x-0), 即4x+3y-6=0. 方法二 设所求直线l的方程为 (x-2y+4)+λ(x+y-2)=0, 即(λ+1)x+(λ-2)y+4-2λ=0, ∵直线l与直线l3 垂直且直线l3 的斜率为 3 4 , ∴-λ+1λ-2× 3 4=-1 ,解得λ=11. ∴直线l的方程为x-2y+4+11(x+y-2)=0,即4x+3y- 6=0. 【方法技巧】 求过两条直线交点的直线方程的两种方法 (1)先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程. (2)利用过两条直线交点的直线系方程,通过待定系数法求解. 2.A [方程mx-3y+2m+3=0可化为 m(x+2)-3y+3=0,令 x+2=0, 3-3y=0, 得 x=-2,y=1, 即直线mx-3y+2m+3=0过定点(-2, 1),故选A.] 3.证明 将直线方程整理为 a(3x-y)+(-x+2y-1)=0, 因为直线3x-y=0与x-2y+1=0的交点为 15 ,3 5 , 即直线系恒过第一象限内的定点 1 5 ,3 5 , 所以无论a为何值,直线总经过第一象限. 4.A [由 两 点 间 的 距 离 公 式 及 |AB| = |AC| 得, (a+2)2+(2+3)2= (a-1)2+(2-6)2,解得a=-2.] 5.解 方法一 ∵|AB|= (3+3)2+(-3-1)2= 52=2 13, |AC|= (1+3)2+(7-1)2= 52=2 13, 又|BC|= (1-3)2+(7+3)2= 104=2 26, ∴|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|, ∴△ABC是等腰直角三角形. 方法二 ∵kAC= 7-1 1-(-3)= 3 2 , kAB= -3-1 3-(-3)=- 2 3 , ∴kAC·kAB=-1, ∴AC⊥AB. 又|AC|= (1+3)2+(7-1)2= 52=2 13, |AB|= (3+3)2+(-3-1)2= 52=2 13, ∴|AC|=|AB|, ∴△ABC是等腰直角三角形. 【方法技巧】 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2), |P1P2|= (x2-x1)2+(y2-y1)2. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况,可直接利用距离公 式的特殊情况|y2-y1|或|x2-x1|求解. 6.证明 如图,以A 为原点,边 AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,其中D,E 分别为边AC 和BC的中点. 设A(0,0),B(c,0),C(m,n), 则|AB|=|c|. 由中点坐标公式,得D m2 ,n 2 ,E c+m2 ,n2 , ∴|DE|= c+m2 - m 2 = c 2 , ∴|DE|=12|AB| , 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 7.证明 如图所示,以AC所在的直线为x 轴,点 D 为坐标原点,建 立平面直角坐标系xDy. 设B(b,c),C(a,0),依题意得A(-a,0). |AB|2+|BC|2-12|AC| 2 =(a+b)2+c2+(a-b)2+c2-12 (2a)2 =2a2+2b2+2c2-2a2=2b2+2c2, 2|BD|2=2(b2+c2)=2b2+2c2, 所以|AB|2+|BC|2-12|AC| 2=2|BD|2. 8.5 [d= |-5| 12+22 = 5.] 9.解 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,符合题意; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-2),即 kx-y-2k-1=0, 由点到直线的距离公式得|-2k-1| 1+k2 =2, 解得k=34 , 所以直线l的方程为3x-4y-10=0. 故直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0. 10.解 l1:2x-4y+7=0即x-2y+ 7 2=0 , 所以l1,l2 间的距离为 d= 5-72 12+22 = 3 2 5 =3 510. 11.解 当直线l1,l2 斜率存在时,设直线l1,l2 的斜率为k,由斜截式 得l1 的方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,由点斜式得l2 的方程 为y=k(x-5),即kx-y-5k=0,在直线l1 上取一点A(0,1), 则点A 到直线l2 的 距 离d= |1+5k| 1+k2 =5,∴25k2+10k+1= 25k2+25,∴k=125 , ∴l1 的方程为12x-5y+5=0,l2 的方程为12x-5y-60=0. 若直线l1,l2 的斜率不存在,则l1 的 方 程 为x=0,l2 的 方 程 为 x=5,它们之间的距离为5,同样满足条件. 综上可知,满足条件的直线方程有两组,即l1:12x-5y+5=0, l2:12x-5y-60=0或l1:x=0,l2:x=5. 【方法技巧】 求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法:将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到 另一条直线的距离,即化线线距为点线距来求. (2)公式法:设直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则 两条平行直线间的距离d=|C1-C2| A2+B2 . 12.x+2y-3=0 [当两条平行直线与A,B 两点的连线垂直时,两 条平行直线间的距离最大.因为A(1,1),B(0,-1).所以kAB = -1-1 0-1 =2 ,所以两条平行直线的斜率为-12 ,所以直线l1 的方 程为y-1=-12 (x-1),即x+2y-3=0.] 13.解 (1)如图,显然有0<d≤|AB|. 而|AB|= (6+3)2+(2+1)2 = 3 10. 故所求的d的变化范围为(0,3 10]. (2)由图可知,当d 取最大值时,两直线 与AB 垂直. 而kAB= 2-(-1) 6-(-3)= 1 3 , 所以所求直线的斜率为-3. 故所求的直线方程分别为 y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3), 即3x+y-20=0和3x+y+10=0. 【方法技巧】 通过数形结合,运用运动变化的方法,把握住题中 的已知点不动,而两条平行线可以绕点转动,我们很容易直观感 受到两平行线间距离的变化情况,从而求出两平行线间的距离的 取值范围. 【探究·一举突破】 探究路径 解 (1)设点P 关于直线l的对称点为P'(x',y'),则线段PP'的 中点在直线l上,且直线PP'垂直于直线l, 即 y'+5 2 =3× x'+4 2 +3 , y'-5 x'-4×3=-1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x'=-2 , y'=7. ∴P'点坐标为(-2,7). (2)解方程组 y=3x+3 , y=x-2, 得 x=-52 , y=-92 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 则点 -52 ,-92 在所求直线上. 在直线y=x-2上任取一点 M(2,0), 设点 M 关于直线l的对称点为M'(x0,y0), 则 y0 2=3× x0+2 2 +3 , y0 x0-2 ×3=-1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x0=- 17 5 , y0= 9 5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 点 M' -175 ,9 5 也在所求直线上. 由两点式得直线方程为 y+92 9 5+ 9 2 = x+52 -175+ 5 2 , 化简得7x+y+22=0,即为所求直线方程. (3)在直线l上取两点E(0,3),F(-1,0), 则E,F 关于点A(3,2)的对称点分别为E'(6,1),F'(7,4). 因为点E',F'在所求直线上, 所以由两点式得所求直线方程为y-1 4-1= x-6 7-6 , 即3x-y-17=0. 【综合·一练到底】 1.ABC [直线y=3x+3与x轴的交点为A(-1,0),与y轴的交点 为B(0,3),而C(3,0),故抛物线的对称轴为x=1.设Q(1,a),当 AB=AQ 时, (-1-0)2+(0-3)2= (-1-1)2+(0-a)2,解 得a=± 6,所以 Q(1,- 6)或 Q(1,6),所以 A选项正 确;当 BA=BQ 时, (-1-0)2+(0-3)2= (0-1)2+(3-a)2,解得 a=0或a=6,由 于 点(1,6)在 直 线y=3x+3上,故 舍 去,所 以 Q(1,0),所 以 B 选 项 正 确,D 选 项 错 误;当 QA =QB 时, (-1-1)2+(0-a)2= (0-1)2+(3-a)2,解 得a=1,所 以 Q(1,1),所以C选项正确.] 2.3 2+2 [点P(3,3)到直线l:xcosθ+ysinθ-2=0的距离d= |3cosθ+3sinθ-2| cos2θ+sin2θ = 3 2sinθ+π4 -2 ,当sin θ+π4 = -1,即θ=2kπ+5π4 ,k∈Z时,d有最大值3 2+2.] 3.解 (1)若l1∥l2,则m≠0, ∴12=- 3-m m ,∴m=6, ∴l1:x-2y-1=0,l2:x-2y-6=0, ∴l1,l2 之间的距离d= 5 1+4 = 5. (2)由题意,得 m>0 , 3-m>0, ∴0<m<3, 直线l2 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积 S=12m (3-m)=-12 m- 3 2 2 +98 , ∴当m=32 时,S的最大值为98 , 此时直线l2 的方程为2x+2y-3=0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 89 — — 22 — 第六周 直线的方程 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第8题.该题主要考查截距式方程的应用,考查考生利用截距式方程结合基本不等 式求面积的最值 ,提高学生的理解应用能力,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共60分) 考点一 求直线的点斜式方程 1.求满足下列条件的直线方程: (1)经过点(2,-3),倾斜角是直线y= 33x 的倾斜角的2倍; (2)经过点P(5,-2),且与y轴平行; (3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点. 考点二 直线的斜截式方程 2.已知直线l1 的方程为y=-2x+3,l2 的方程为y=4x-2,直线l与l1 平行且与l2 在y轴上的截 距相同,求直线l的方程. 考点三 根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直 3.(2025·暨南·阶段练习)已知直线l1:y=- 3m 8x+ 10-3m 8 和l2:6my=-x+4,问m 为何值时, l1 与l2 平行或垂直? 4.(1)当a为何值时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行? (2)当a为何值时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直? 考点四 直线的两点式方程 5.已知A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2),在△ABC中: (1)求BC边所在的直线方程; (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 6.已知直线经过点A(1,0),B(m,1),求这条直线的方程. 考点五 直线的截距式方程 7.求过点(3,4),且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程. 考点六 截距式方程的应用 8.(2025·大庆·阶段练习)过点P(3,2)的直线l与x 轴和y 轴正半轴分别交于A,B 两点. (1)当P 为AB 的中点时,求直线l的方程; (2)当△AOB 的面积S 最小时,求直线l的方程. 考点七 直线的一般式方程 9.根据下列条件分别写出直线的一般式方程. (1)经过两点A(5,7),B(1,3); (2)经过点(-4,3),斜率为-3; (3)经过点(2,1),平行于y轴; (4)斜率为2,在x轴上的截距为1. — 21 — — 24 — 考点八 利用一般式解决直线的平行与垂直问题 10.过点P(2,1)且与直线x-2y+1=0垂直的直线方程为 ( ) A.2x+y+5=0 B.2x+y-5=0 C.x+2y-5=0 D.x-2y+5=0 11.(2025·泰州·阶段练习)已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线l'的 方程: (1)过点(-1,3),且与l平行; (2)过点(-1,3),且与l垂直. 考点九 直线的一般式方程的应用 12.设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0. (1)已知直线l在x 轴上的截距为-3,求m 的值; (2)已知直线l的斜率为1,求m 的值. 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 截距式与一般式的转化 设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). 探究问题: (1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程; (2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围. 【综合·一练到底】(共25分) 1.数学家欧拉在1765年提出定理,三角形的外心,重心,垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点, 重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心 的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中, 已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,3),AB=AC,则△ABC的欧拉线的斜截式方程为 . 2.已知在△ABC中,点A 的坐标为(1,3),AB,AC边上的中线所在直线的方程分别为x-2y+1=0 和y-1=0,求△ABC各边所在直线的方程. 3.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,且此三角形的面积为18,求直线l的方程. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·全国·专题练习)已知t∈R,且t∈(0,10),由t确定两个任意点P(t, t),Q(10-t,0). (1)直线PQ 是否经过点M(6,1)? (2)在△OPQ 内作内接正方形ABCD,顶点A,B 在边OQ 上,顶点D 在边OP 上. ①求证:顶点C一定在直线y=12x 上; ②求图中阴影部分面积的最大值,并求此时顶点A,B,C,D 的坐标. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 23 —