(17)空间向量及其应用-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（小题量 A卷）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 二，进拆鉴（本大题共2个避，帮小题4分，共12分，在每小赠给出的选用中，有多项符合题日要 (十七]空间向量及其应用 求。全部这对的得年分，部分这对的得事分分，有透情的得0分 (考试时间40分钟，请分100分 7.已复显=1，=1，-11，b=4一2,2,0).e=2,1.=31,圆 A,a-=10 且(@-b)·e=6 C.e+28)Le D,a∥(2e-b) 一，远择题（本大思共6小题，蜂小览5分，共动分。在每小题给出的国个选璃中，只有一项是存 &已每在三棱柱4以一AB,G中，护为空到内一点，若币=人BB十公以，其中A∈0,1门.则 合题月要求的 A.若1=1，点P在棱BG上 B若A=公，爆点P在线段BC上 1,若点A(1,0,一31，B3,1,21在直找1上，期直线1的个方向向量为 C者1一”一多则P为棱℃，的中点 D.若+n-,期点P在找段BC上 A2,1,-5) (4.-2,10)二-2，一1，-5)u(3,一2，一10 2.我国古代数学名著九章算术》中，将底面为炬形丑一幅棱重直于底置的四棱使称为园马.如图 姓名 分数 回棱维P一ABD为阳马，PA⊥半面ABCD,且EBC一3PE.若DE-rAB一yA亡-A产，则 延号 6 」十y+x 有室 A-1 三，精空题（木大思共2小题，#小愿5分，共10分） 且1 9,如图，在四棱策A一CDE中，密面拟OE为正方形，ABm4,A出，C.E两两套直且相等.点 ,2 卡为楼批C:的中点，点G在棱AE上，且A=E,侧点C到平面DFG；的电离为 D.3 3.在空可直角坐标录中，点A(1,一2，一3.B一1，一1.一1)，C0.,一5)，则△AC的面积为 A.2 4 c 105 4已知某空间直角坐标系2xz中，一只到叙从点P(1,1,0出发，在：￥和以±平而上爬行，则 这只斟蚊爬到点Q2,0:2)的最知距商为 第酯 第10部 A,3 丝a 信丙 D2+,@ 1Q.上图显位于上海市泰督区南桥工离银行和大菜场南面的一个正方体隆塑，其六个面楼空别满了大美 5.如眉，在三棱雏0-ABC中，∠A0B-∠B0-∠A0C-号，0A-20B-2,若CB104,期 奉哥的多个范标.可以将其钱为，某正方体的霸点A在平面a内。一条棱AB,AC,AD眉在平面：的 - 同侧.石顶点，C,D到平面。的距离分调为区3,2，，该正方体外核球的表而积为 AI 因、解若竖（本大题共3小题，其48分.解答应写出必要的文字说明、止明过程成演算步程 B 11.(奉小题滨分13分) C./3 如图，三棱柱AC一A,B,的底面是边长为2的正三角形，侧楼CCG⊥感到AC,CC=5, ,2 D是CB延长线上一点，且BD一BC G。为体现市见参与域市建设，共建共享公同被市的热情，闻时搭建城市共建共享半台，彰显城市的 (1)求直议EC列平面A队D的i离： 发展温度，某市在中心公月开放长椅酷送点位，接登声民赠送的体用长榜。其中观景草坪上一果 (2)在线段AA,上是否存在一点P,使得CP⊥BD?若存在，求出点P的位置：若不存在，请说 长所刊北意型膏单别段，领受人们喜众如图1.如图2，正加AB和CD是风()的两第万相垂直 明理由， 的直径，将平面AC骨AB群折至平面A,使得平面ACL平面AD,期此时直线AB与 平面CBD所成角的正弦氧为 c号 数学，量1成1共1直) 街木舍存·先有·高三一轮题习的分钟圈韩十七 轴学第方（共岗） 国 [2本小题满分15分》 1意.（本小题需分20分） 在如图所示的五面体ABCDFE中，底面ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ACD,DF 已道在△ABC中，∠A-阳，AB-BC-6,D为边AB上一点，AD-2,E为AC上一点，DE AE.且DF=AE=1,N为BE的中点为CPD的中点. ∥C',将△ADE沿DE折，使点A罚A'处，且∠DA'B-0. (1E明：AB⊥平面ADE: (1)求纯二而角V一MF一D韵余兹值： (2)若线段以的中.点为H,试判断点H是睿在平面NF内？并说明里由， ()若射线DE上存在一点M,使-aDE,庄A与平面A'EC所域角的正弦值为三，求玉 的慎， 数学，第2成共1直) 街木舍存·先有·高三一轮题习的分钟圈韩十七 轴学第4有（共黄） 国高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（十七） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V,数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑤数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ③④ G 档次 系数 1 选择题 6 求直线的方向向量 易 0.80 2 向量的运算（不涉及 选择题 5 易 0.72 坐标) 利用坐标运算求三 选择题 中 0.65 角形的面积 4 选择题 求两点间的最短 5 中 0.55 距离 5 选择题 利用空间向量求线 5 中 0.50 段长 利用空间向量求线 6 选择题 5 中 0.45 面角（数学文化） 选择题 空间向量的坐标 J 易 0.72 运算 8 选择题 利用空间向量解决 中 0.40 含参问题 利用空间向量求点 9 填空题 中 0.45 面距 填空题 利用空间向量求解 10 5 中 外接球问题 0.35 利用空间向量求线 11 解答题 13 面距，解决线线垂直 中 0.60 的存在性问题 利用空间向量求二 12 解答题 15 面角的大小及判断 中 0.55 点是否在平面内 利用空间向量证明 13 解答题 20 线面垂直，由线面角 中 0.35 的大小求参 ·69· ·数学· 参考答案及解析 医考苔案及解折 一、选择题 1.C【解析】依题意，直线1的一个方向向量为AB 20d·os号=0，解得10心=1，即0C=1.故 (2,1,5)=-(-2,-1,-5).故选C. 选A. 2.B【解析】在四棱锥P一ABCD中，由EC=3PE,得 6,B【解析】依题意，OC⊥AB,OD⊥AB,而平面 ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB, 成=上心，所以D成=D苏+成=A市-A+市 OCC平面ABC,则OC⊥平面ABD,又(ODC平面 A市-BC+1P心=AP-(AC-AB)+AC-A) ABD,则OD⊥OC',因此直线OD,OB,OC两两垂直， 以点O为原点，直线OD,OB,OC分别为x,y,x轴建 -A庙-AC+是A立所以x=1y-是=-是 立空间直角坐标系，令圆的半径OD=1,则O(0,0, 所以x十y十x=1.故选B. 0),D(1,0,0),B(0,1,0),C(0.0,1),OB=(0,1,0). 3.C【解析】由A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0, BC=(0,-1,1),BD=(1,-1,0),设平面CBD的 -5),可得AB1=√(1+1)+(-2+1)+(-3+1)= 一个法向量为n=(x,y,:),则 n·BC=-y十x=0 3,|AC=√/(1-0)+(-2-0)+(-3+5) 令y=1,得n=(1,1.1),设直 n:BD=r-y=0 3,|CB|=√/(-1-0)+(-1-0)+(-1+5)7 线AB与平面C'BD所成的角为9.则sin0=|cosn, =3√2，故|AB|2+|AC2=BC2,|AB= |AC,因此△ABC是等腰直角三角形，其面积为S O)1=n·Oi 13 n1OB1×3 3 ,所以直线AB与平面 =AB=号.故选C C'BD所成角的正弦值为气，故选B 4,C【解析】如图，在棱长为2的正方体ABCD一 ABCD中，P(1,1,0)为正方形ABCD的中心， Q(2,0,2)为点A,将正方体的面ABCD,ADDA 展开，所以这只蚂蚊爬到点Q(2,0,2)的最短距离为 展开图中的PA,,PA=√3+1下=√10.故选C. D 4(Q 5 二、选择题 D 7.BC【解析】由题得a-b=(3,一3，一1)，所以 P |a-b=√19，A错误：(a-b)·c=6-3+3=6,B 正确：a+2b=(-3,3,-1),(a+2b)·c=-6+3+ D 3=0,所以(a+2b)⊥c,C正确：对于D,2e-b= (6,0,一6)，不存在实数A,使得a=入(2c-b),故a 与2c-b不平行，D错误.故选BC. 8.ABD【解析】作出三棱柱ABC-ABC,如图，对 于A,当A=1时，B驴-BB+:BC,则B户=B驴 5.A【解析】由题意可知C=O-O心，而CB⊥OA, 故C第⊥Oi,所以CB.OA=0,即(Oi-O心)·Oi BB=BC-:B,C,所以点P在棱BC上，故A 正确：对于B,当A=:时，B萨=入(BC+BB)=ABC, ,所以0i.0i-0元.0i=0,则1×2×cos等 A∈(0,1门，所以点P在线段BC1上，故B正确：对于 ·70· 高三一轮复习A ·数学· C,当X==号时，由B知B币=2BC,所以P为线 号，=号.从面a=WE店+5衣+2，由 2 段BC,的中点，故C错误：对于D,当A十=1时，以 1-X,所以B币=aBB+(1-a)BC,则B驴-BC n=1,得7v0+30+证=1，即是·3a=1, aBB-XBC,即C市=ACB,所以点P在线段B,C 上，故D正确.故选ABD. 解得。3，所以正方体的外接球半径为3，外接球 的表面积为红(3） =27x 四、解答题 11.解：(1)取BC.BC的中点O,O,连接OA,(O), 因为CC⊥底面ABC,CC∥OO, 所以OO⊥底面ABC, 因为OA.OBC平面ABC, 三、填空题 所以O)⊥OA,O)⊥OB. 92v6 又因为△ABC为等边三角形，O为BC的中点， 9 【解析】以点B为原点，以BC,BE,BA所在直 所以AO LBC. 线分别为x,y,轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则以O为原点，OA,OD,OO所在直线分别为x,y, 则C(4,0,0),F(2.0,0),D(4,4.0),G(0,3.1), :轴建立空间直角坐标系，如图所示： CF=(-2,0,0),FD=(24,0).FG=(-2,3,1). 设平面DFG的一个法向量为n=(x,y,x),则 n·FD=2x+4y=0 令x=2,则n=(2,-1, n.Fd=-2.x+3y+g=0 7),所以点C到平面DFG的距离为C,ml n 1(-2,00)·(2,-17)-2 √4+1+49 9 故B(0.1w5)A(3,0,0),D(0,3,0) Bi=(0,2、-3),Ai=(-33,0). 设平面AB,D的一个法向量为n=(x,y,之)， [n·BD=2y-V3z=0 则 n·AD=-3x+3y=0 令y=1,则n=（5,1,2y3） 3/ (3分) 10,27x【解析】设正方体的棱长为a,取空间的一个基 因为BD∥B,C,BD=B,C, 底A店，AC,AD,设n是平面a的一个方向向上的 所以四边形BDB:C为平行四边形， 单位法向量.由空间向量基本定理，存在唯一的有序 所以BC,∥B,D 实数组(xy,),使得n=xA言+yAC十：A方.由题 因为BC1亡平面ABD,B,DC平面AB:D, 意，A店，AC,AD在n方向上的投影向量的长度分别 所以BC∥平面ABD, 为23,2，于是n·AB=√2，即(xAB+yAC+ 即直线BC到平面AB,D的距离等于点B到平面 (5分)】 市·A成=区，即a=2,即r=.同理，y= AB:D的距离， 又B(0,1.0) ·71· ·数学· 参考答案及解析 则Bd=(0.2,0), m·n 设直线BC到平面AB,D的距离为d, 则cos0=-|cos(m,m|=-Tm·m=一3 则d=B筋·nl 3 “饨二面角N-MF-D的余弦值为-子.(7分) n 2 √3+1+ 即直线BC,到平面AB,D的距离为 2 (7分) (2)设P(,0,t)(t∈[03]) 又C(0,-1,0), 则C节=(w3,1t) 因为B,D=(0.2.-√5)，CP⊥BD, 所以CP.B,D=2-3=0, 解得1=2∈[0v]符合题意 (2)连接AC,,H为CE的中点，且A(0,0,0),E(0, 0,2),C(2,2,0),N(1,0,1),F(0,2,1) 故P(0,2) (10分) Ai-aC+2a证-2,2.0)+ z(0,0,2) 23 (1,1,1), 因为后 2 即H(1,1,1), .Ni=(0,1.0). (11分) 所以存在点P为靠近A,的三等分点，使得CP⊥ 由(1)得平面MNF的一个法向量为m=(2,1,2), B D. (13分) ,m·NH=1≠0， 12.解：(1)，AE⊥平面ABCD,且AB,ADC平面AB ∴Ni与m不垂直， CD. 故点H不在平面NMF内. (15分) AE⊥AB,AE⊥AD, 13.解：(1)由题意知DE⊥A'D,DE⊥BD, 又AB⊥AD,即AE,AB,AD两两垂直， 又A'D∩BD=D,A'D,BDC平面A'BD, 以A为原点，AB,AD,AE所在直线分别为x,y,之 所以DE⊥平面A'BD, 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 又A'BC平面A'BD. 则E(0,0,2),F(0,2,1),M(1,2,0),N(1,0,1), 所以DE⊥A'B, (4分) NF=(-1,2,0),MF=(-1,0,1), 又A'D⊥A'B,DE∩A'D=D,DE,A'DC平面 设平面MNF的一个法向量为m=(x,y,), A'DE. m·N求=-x+2y=0 则 所以A'B⊥平面A'DE. (6分) m.Mi=-r+=0 (2)作A'Q⊥BD,垂足为Q, 令y=1,则m=(2,1,2), (3分) 由(1)知DE⊥平面A'BD, :AE⊥平面ABCD,DF∥AE, 又A'QC平面A'BD, .DF⊥平面ABCD. 所以DE⊥A'Q, :ADC平面ABCD, 又BD∩DE=D,BD,DEC平面BDE. DF⊥AD, 所以A'Q⊥平面BDE, :AD⊥DC.DCn DF=D,DC,DFC平面MFD. 故以B为原点，C方，DB,QA的方向分别为x,y, ∴.AD⊥平面MFD, 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， ∴.平面MFD的法向量可以为n=(0,1,0),(5分) 设纯二面角N-MF-D为0， ·72· 高三一轮复习A ·数学· 则M(-2a,一4.0)，M心=(2x-6,4,0),(12分) 设平面AEC的一个法向量为m=(x,y,) 1m·CE=0, 则 m·CA=0, B 4红-4y=0, 即 6r-3y+3:=0, C(-6,0,0),A'(0,-3√3)，E(-2,-4,0), 令x=1,则m=(1,1,一√3) (16分) D(0,-4,0), 设MC与平面AEC所成的角为0， 设M(xo·) 则Di=(-2,0,0),Di=(xy十4，)，C定-=(4， 则sn0=cos(MC,m1=m·M0 m·1M -4.0),CA=(6,-35). 12x-6+41 1 因为DM=aD正. √(2-6)+16·V5 5 r=-2n 解得A=2或A=一1， 所以y十4=0， 由题意知λ>0，故A=2. (20分) o=0 ·73·