(16)空间直线、平面的平行与垂直-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（小题量 A卷）

高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（十六） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力W.空间想象能力V,数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑤数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ④ G 档次 系数 1 选择题 5 等角定理 易 0.80 2 选择题 面面垂直的判定 易 0.72 选择题 求直线到平面的 5 中 0.65 距离 选择题 平行的传递性的 5 中 0.55 应用 求异面直线所成的 5 选择题 5 中 0.50 角（数学文化） 二面角问题（数学文 6 选择题 5 难 0.26 化) 7 选择题 6 平面性质的应用 易 0.72 几何体中平行、垂直 8 选择题 中 0.40 关系的判定 9 填空题 5 线面平行的性质 易 0.71 立体几何中的最值 10 填空题 中 问题（数学文化） 0.35 面面平行的判定，求 11 解答题 13 中 0.65 面与面之间的距离 12 解答题 15 线线垂直，线面平行 中 0.45 的判定 点的投影问题，求线 13 解答题 20 中 0.35 面角 香考管案及解析 一、选择题 互补，则cos∠ABC=ms要=一放选R 1.B【解析】因为E,F,G分别为A,C,BC1,BB,的 中点，所以EF∥A,B:∥AB,FG∥BC,所以∠EFG 2.C【解析】因为PA⊥平面ABCD,CDC平面AB 与∠ABC的两组对应边分别平行，一组对应边方向 CD,所以PA⊥CD,由四边形ABCD为矩形，得CD 相同，另一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC ⊥AD,因为PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD,所以 CD⊥平面PAD.又CDC平面PCD,所以平面PCD ·63· ·数学· 参考答案及解析 ⊥平面PAD.故选C. OB=OC= 3.C【解析】如图，连接B,D1交A,C,于点O,则AC 号a,0E=号BP=专vOB+P- ⊥BD,又AA,⊥平面ABCD,BD,C平面 V+在△0eC中，am∠0BC- A1BCD,所以AA:⊥BD1,又AA1∩A1C=A, AA:,AC:C平面AACC,所以B:D⊥平面 2a AA1CC,因为BB∥平面AAC,C,所以B,O的长即 为棱BB到平面AA,C,C的距离，面B,O=号 2W2a2+ V2+4a 2a…所 以所求距离为 a,故选C D C 6.D 【解析】如图，在正四棱台ABCD一ABCD, C 中，O为正方形ABCD的中心，O为正方形 ABCD的中心，F是边AB的中点，连接OF,过 A AB,的中点E作EG⊥OF,垂足为G,连接EF, 4.A【解析】由题得，FG∥BD,EH∥BD,HG∥AC, O,E,OO,则∠GFE即为漏壶的侧面与底面所成锐 EF∥AC,所以EH∥FG,HG∥EF,所以四边形EF 二面角的一个平面角，记为0，设漏壶上口宽为a,下 GH是平行四边形，又AC⊥BD,侧FG⊥HG,所以四 边形EFGH是矩形，又AC=BD=2,所以FG= 底宽为，高为A:在R△EFG中，GF-“2,an0 之BD=1,HG=之AC=1,所以四边形EFGH是边 。一b·因为自上而下三个漏壶的上口宽成等差数列， 2h 长为1的正方形，其面积为1.故选A. 下底宽也成等差数列，所以a一b为定值，又因为三个 漏壶的高h成等差数列，所以2tana=tana,十 tana.故选D. 01 C 5.C【解析】如图，连接BD,设O为BD的中点，连接 OE,:E为PD的中点，.OE∥BP,∴.异面直线PB 与CE所成的角为∠OEC(或其补角).连接OC,OP, 二、选择题 .OP为正四棱锥P-ABCD的高，.OP⊥平面AB 7.BD【解析】当四边形为空间四边形时，四个顶点不 CD,(OCC平面ABCD,.OP⊥(OC.四边形AB 共面，A错误：三条平行直线可以确定1个或3个平 CD为正方形，.BD⊥OC,又OP∩BD=O,DP,BD 面，B正确：若这三个点共线，则两个平面相交，C错 C平面PBD.∴.(OC⊥平面PBD,又OEC平面PBD, 误：若三条直线交于一点，可以确定3个平面，若三条 :0C1OB.设AB=a,OP=A:则由题意得号=名 直线交于三点，可以确定1个平面，D正确.故选BD. 8.ACD【解析】对于A,因为PB⊥平面AEF,AEC平 ·64 高三一轮复习A ·数学· 面AEF,所以PB⊥AE,又△PAB为等边三角形，所 以E为PB的中点，故A正确：对于B,连接BC,OC, 如子co吾+os子in吾-62.过A作AH 4 由PB⊥平面AEF,EFC平面AEF,所以PB⊥EF ⊥PC于点H,则AE+DE的最小值为AH 设△PAB的边长为2，则OB=OC=1,又C为AB的 PAsin∠APC=6x6+E_3+E 中点，所以OB⊥OC,则BC=√OB+OC=√2，由 余弦定理得cos∠BPC=BP+CP=BC=3 2BP·CP 4 票=序所以PF=青，C=PC-PF=2-青 号，所以PF=2FC,放B错误：对于C,由PB⊥平面 AEF,PBC平面PAB,所以平面AEF⊥平面PAB, 四、解答题 故C正确：对于D,由B知PF=2FC,又M为EB的 11,解：(1)在正六棱柱ABCDEF-一AB,CDEF中， 中点，所以PE=2EM,所以CM∥EF,义EFC平面 因为底面为正六边形， AEF,CM过平面AEF,所以CM∥平面AEF,故D正 所以AD∥BC 确.故选ACD. 因为AD寸平面ABC,BCC平面A,BC, 三、填空题 所以AD∥平面A,BC. (3分) 9.23+22【解析】如图，连接AC交BD于点O,连 因为CD∥A,F,CD=AF 接OM,因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC 所以四边形CDF,A为平行四边形， 的中点，因为SA∥平面MDB,平面SAC∩平面 所以DF,∥A:C. MDB=OM,SAC平面SAC,所以SA∥OM,所以M 因为DF,丈平面A1BC,ACC平面ABC, 为SC的中点，所以DM=BM=SDsin60°=√3，BD 所以DF,∥平面A:BC, =√AD+AB=2√2，故△BMD的周长为2√3+ 又AD∩DF=D,AD,DFC平面ADF1, 2w2. 所以平面ADF,∥平面ABC. (5分) (2)平面ADF,与平面A,BC间的距离等价于点A 到平面A1BC的距离，设为d. 连接AC, 则四面体A一ABC的体积V=专SW·AA= 3Sa4g·山. 10.3+3 则V=5m·A,=号×号×1X1×sm要× 2 【解析】因为PA⊥平面ABC,BCC平面 v3= 4· (9分) ABC.所以PA⊥BC,又AB⊥BC.AB∩PA=A. AB,PAC平面PAB,所以BC⊥平面PAB.又PBC 又AB=VAB+A=2,AC=2 ABsin号=8， 平面PAB,则BC⊥PB.因为PA⊥平面ABC,ABC 则AC=√AC+AA=√6， 平面ABC,所以PA⊥AB,则PB=√PA+AB区= 23,则PC=√PB+BC=4,所以∠APB=π 所以cos∠A,BC=1+2二（6)-1 2×X1X2 ∠BPC=石，如图，将△PBC沿着PB转动到P,A, 从而sin∠A:BC=国 B.C四点共面，此时sin∠APC=sin(于+若） 所以Sx=号×1X2x正=压 1 4 (11分) ·65. ·数学· 参考答案及解析 所以d=SA四 3V 取BC的中点F,连接AF,B,F,EF, 5 因为E为B,C的中点， 即平面ADF,与平面A,BC间的距离为西 所以EF∥AA1,EF=AA1, 51 所以四边形AA1EF是平行四边形， (13分) 所以AE∥AF 因为AF过平面AEC,A,EC平面A1EC, 所以AF∥平面A,EC. (12分) 因为CF∥BE,CF=BE, 所以四边形BECF是平行四边形， 所以EC∥BF, 因为B,F过平面A,EC,ECC平面AEC, 所以B,F∥平面A,EC, 因为AF∩BF=F,AF,B,FC平面AB,F, B 所以平面AB,F∥平面AEC. 12.解：(1)如图，连接AB, 因为AB,C平面AB,F, 因为ABC-A:B,C是直三棱柱， 所以AB∥平面AEC 所以BB,⊥平面ABC. 则当点E为B,C:的中点时，AB∥平面A,EC 因为BCC平面ABC, (15分) 所以BB⊥BC. 因为∠ABC=90°， 所以AB⊥BC, 因为AB门BB=B,AB,BB,C平面ABBA 所以BC⊥平面ABBA,· 因为AB,C平面ABBA1, 所以BC⊥AB,即BD⊥AB. (3分) 因为AA:=AB, 所以四边形ABB,A,是正方形. 13.解：(1)取线段BC,AC的中点M,N,连接AM, 所以AB⊥AB, MN.AM.AN. 因为AB∩BD=B,AB,BDC平面ABD, AA,∥BB,AA:⊥BC, 所以AB⊥平面A,BD, ∴BB,⊥BC 因为ADC平面ABD, 故BC=√BC-BB所=2. 所以AB⊥AD. (7分) 则BC=AC+AB, C 于是AB⊥AC, ,M,N为BC,AC的中点， .MN∥AB. ∴.MN⊥AC, :△AA:C为等边三角形且N为AC的中点， ∴.AN⊥AC (4分】 D :MN∩AN=N,且MN,ANC平面AMN, 则AC⊥平面A,MV, (2)当点E为B,C的中点时，AB∥平面AEC 又A:MC平面AMN, (9分) ∴.AM⊥AC ·66· 高三一轮复习A ·数学· AB=AC且M为BC的中点， .AM⊥BC 由1)得SA5=号×E×反=1，AP-, 又AA,⊥BC,AM∩AA=A,且AM,AA:C平 CP-AP 面AAM, 2 .BC⊥平面AAM, 在R△ABC中，AM=之BC=1, 又AMC平面AAM, ∴A:M=AA-AF=1, 则A:MLBC, (8分) 平面ABC与A:BC:之间的距离为1， 又AC∩BC=C,且AC,BCC平面ABC, ∴AM⊥平面ABC, 由Ve-A8,5=V6-A马c· 即点A,在底面ABC上的投影是线段BC的中点 得号1X1-××GH M. (10分) (2)设AC∩AC=P,作C1H⊥平面A,B,C,连 解得CH= 51 (17分) 接PH, 2 A 在R1△GPH中，sim∠C,PH=SH-E_22 C.P6 3 “ ∴os∠GPH= 即直线AC与平面ABC所成角的余弦值为子 (20分) 则∠CPH即为直线AC与平面ABC所成的角， 在△ABC中，AB:=AB=V2,AC=2,B,C =√6， 54两e=号×6×Vw2)-(）=号 (13分) ·67·高三一轮复习40分钟周测卷/数学 《刻围是中古代用米计时的仅器，利用阳有刻度的浮言随看受水素的水面上丹来指示时间.为 (十六)空间直线，平面的平行与垂直 了使受水壶得到均匀水流，古代的科学家门发明了一种三最需壶：童据都为正耳棱台，自上面 (试时司40分钟，请分100分 下，三个壶的上口宽依次通减1寸（约3,3厘米），下底宽和深度也然次谨减1寸，设三个福速 的侧面与底面所成的投二面角依次为从，从，则 一，远择题（本大思共6小题，蜂小览5分，共动分。在每小题给出的国个选璃中，只有一项是存 A.品+马=2队 合道目要来的) B,im4+in4=2i物 L如周，在=校柱ABC一A,BC中，E,F,G分别为板A:C,6C,B的中点，若∠EG-.则 C.008十0o8-2og Inn高+1an风可2nn负 cm∠ABC 二、进择盖（本大逝共2小题，辞小面8分，共12分。在每小道给出的选项中，有多境符合题日要 人-9 求。全那这利的得4分，部分这对材的得军分分，有透情的得0分) 7,下刘说法正确的是 c司 D. A.四边形的四个膜点共面 2如周，PA平直于矩形A以D所在的平而，则周中与平菲D垂直的平而是 且三条平行直线可以翰定1个或3个平童 A.平面ABD 仁，有三个公共点的内个平值重 B平面PBC D三条直线周两相交，可以确定1个或3个平面 平面PAD &如图，在腾维PO中，轴藏面△PAH为等边三角形，C是AB的中点，E,M是母线PB上的点，F D.平面P4B 是线PC上的点，若PBL平面AEF,M为EB的中点，周 3.已如正方体ABCD一A:BCD的楼长为a,期棱BB到平面AA,CC的离为 A,E为PB的中点 停 B.PF-SFC Ba D.Za C平而AEF⊥平面PAB 4.已知点E.F,G.H分别为室国边形A》中AB.拟，CD,AD修中点，若AC=BD=名，且 ACM∥平值AEF ACLD,则四边形FG日的面积为 烧饭 性名 AI R2 C4 ).6 想明 司.措实是我国古代建筑中层原的一种结售思式，道含有慨形增尖。三角授尖，因角增尖，多见于率 答業 倒式建筑，同林建筑，下面以四角尖为制，如图1，它的星原部分的轮床可以近似看作闭：所示 三，填空票（本大共2不题，排小邀5分，共10分） 的正四校维P一议D,其中底道边长和惜实高的比值为是，若在龙是棱PD的中点，则异童在 9.在正国棱靠S4CD中，各棱长均为2，点M为棱SC上一点.石SAN平面DB,期△BD 的周长为 线PB与CE所成角的正切值判 L R号 c 第 第n题 0(九拿算术)中将四个面都为直角三角卷的四面体将为餐居，如摆，在繁围P一AC中，PAL平 面AC,AB⊥BC,PA-AB-6,C-2,D,E分别为棱PC,FB上一点，则AE+DE的最小 值为 数学，第11共1直) 衡木金春·先享型·高三一轮复习的分钟圈韩十六 轴学第2直（共岗） 国 四、解答丽（本大共3小题，共8分。解答应写出必壁的文字说明，正明过程或演算步霞） 1志.（本小题需分20分） 11.(本小题满分1a分) 在斜三棱柱AC=AB,C中，AA:⊥BC,AB=A一AA:=AC=区，品C=. 如周所示，正大棱柱AEF一A甚C:F,的底面边长为1，高为3 (1)证明：点A,在底自AC上的段影是线段B文的中点： (1)证明：平面ADF∥平童ABC: (2)求直线AC与平面A,品C所成角的余弦值， (2)求平面ADF:与平面A:BC间的距离 12.(有小道满分15分》 如图，在直三棱柱ABC-A:B,C中∠ABC-0,AA一AB. (1)若点D为棱C上一点，匠明：AAD: (2)在棱BC,上是否存在一点E,佳得AB∥平面A,?若存在，求出点E的位置，若不存 在，请说明理由， 数学，第2成共1直) 街木余春·先有·高三一轮数习的分钟圈测弹十六 轴学第4有（共黄）