(14)数列求和、数列的综合应用-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（小题量 A卷）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 8是丢斯·被得定律是关于太团系中行星轨道的个篇单的几句学绳图，它是在176年由德国 (十四)数列求和、数列的综合应用 的一位中学老弹戴推撕·提丢斯发现的，后素技柏林天文台的台长皱得日纳成一条定律，甲数 (考试时可40分钟，请分100分) 列“，104,0,7,1,1,6,2,8,5，.10,9,6，…表示的是太阳系第m颗行星与太用的平均距离 (以天文单位AU为单位》.现将数列，的各项乘以10后再减4，得到数列(，，可以爱现数列 一、选择缰（本大题共后小想.蜂小盟后分，共）分。在小题给出的四个选项中，只有一项是符 从1从第3项品，每角是削一明的2倍，周 合题月要求的) A.数列6，的第202项为3×公四 B数列1w.的通明公式为a.一0,3×2十0,4 L.已知数列a。是等比数列，函数（上)一产一x十9的零点分别是e,u,期， C,数列(4.1的情10瑰和为157.3 几数列动的前有项和T。=3(w一1)·2 人土丽 K士3 C.3 D.9 是级 性名 分数 2在数列w,中…=7 +0干可此前n项和5=7，期。 延可 A是 我83 C.70 0.75 3.数列1,1十2,1十2十2，“，1+2十要十“十2-，…的前0瑰和为 三，室器（本大思共2不赠，每小题5分，共10分） A2m-99 &2=一101 C2-9 D.29°-101 多已等差数列化的前元项和为S.,且十山，一等测5。一 4.在数列a.}中，1=3，d:=0,且.：一山.十2·（一1）”，期数列a,的就2024顶和为 ©，南宋数字家杨舞所著的（评解九章算法·食功》中情送了如周所乐的形状，后人移为°三角择” A2024 我3038 C4042 D.4048 三角操的最上层即第一员)有1个球，第二层有1个球，第三层有G个球，一，从第二层开始， 5.某人从223年起，每年1月1日到银行新存人2万元（一年定期），年利率为%保荐不变，且料 每层球数与上一层球数之差依次物成等差数列.观有0个魔球，把它门甲敏成一个三角绿，那 年到期存款均自动戟为新的，年定期，若到33年1月1日将之官所有存款及利电全部取同。 么剩余蓝球的个数量少为 侧他可取风的钱数钓为单位，万元) 参考数据：1.21.195,1.021.219,1.021≤1.243. A2.488 我19.9 C,28.3 D.24.3 6.已知数到一是公差为d的等差数列，是公比为2的等比数列，且从一一号苦集合M 四，解答盈（本大面共3小题，共8分。解答应写出色要的文字说明、证明过2或演算步规） 所点=十1,1区w01,期集合M中的无素个数为 11,本小题离分1a分) A.6 找7 4。十5，整为餐数， 已知数引山.)是等是数列，6一 尼T.为数列点门的截项和，且T=T C,8 山9 一d。+10,u为锡数， 二，选辉题（本大题其2小题。每小题日分，其12分，在每小题给出的过项中，有多明符合题日要 -24. 求。全部这对的得8分.部分透对的得部分分，有达情的得。分1 口)求数列引.的道瑰公式： 十过，为备数 (2)若丁.=T:(w≠15)，求m的值 7.已知数列1。，的前n境和为5.且5， 期 受山为钙数 Awh=一1 我当g为斋数时=一”一1 C,当n为数时，，=十1 D数列，的前n项和每于一2一西 a 数学，量1成1共1直) 街木舍存·先有·高三一轮面习的分钟圈测酵十因 轴学第方（共岗） 可 [2本小题满分15分) 1志.（本小题需分20分） 设数到：满是a)=1,=5,且对任意的neN”,都有0=知，1一a: 已每数列「4的通项公式为：。=4w十1，数列6是等比数刻，且布十向=30，体=反， ()从下面两个洁论中选静一个进行证明： +4. ①数列学品等差数列： (1)将致列[山.1和（的公共寅组域的数列记为，7，求{，》的通项公式： 3 2纪致列己的前：项和为$…正明：8<景 少数列如：一·？品等比数列 (2)求数列{u.的肩n项和S, 注：如果建择多个条作分别解著，龙第一个解答计分 数学，第2成共1直) 街木舍存·先有型·高三一轮面习的分钟圈测韩十因 轴学第4有（共黄） 国高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（十四） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力W.空间想象能力V,数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑤数据分析 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 分 值 (主题内容) ③④ 档次 系数 等比数列与函数零 1 选择题 5 易 0.78 点的综合 2 选择题 5 裂项相消法求和 易 0.72 3 选择题 5 并项求和法求和 中 0.65 4 选择题 5 奇偶项分组求和 中 0.55 6 数列在金融中的 选择题 5 中 0.50 应用 等差数列与函数、集 6 选择题 中 0.45 合的综合 S。与a,间关系的综 选择题 6 中 0.60 合应用 数列在天文学中的 选择题 6 0.25 应用 9 等差数列与三角函 填空题 易 0.78 数的综合 填空题 数列求和与古代数 10 5 0.35 学文化 分段数列问题，等差 11 解答题 13 中 0.60 数列的前项和 等比（差）数列的证 12 解答题 15 中 0.45 明，错位相减法求和 等比数列的公共项 13 解答题 20 问题，放缩法证明数 名 0.40 列型不等式 香者管案及解析 一、选择题 2.B 1.C【解析】由题意可得aa1y=9>0,a十aa=m≥ 【解析】依题意a,十行v一，所 0,则a5>0,as>0,所以{a.}的奇数项均为正数，所 以S.=√2-1十3-√2+…+√n+T-n=√m+可 以am>0,且ag=√a5a-V-3.故选C. -1,由S.=√m十T-1=7,解得n=63.故选B. ·55· ·数学· 参考答案及解析 3.B【解析】，1十2十2++21=2”+2+22+… 以数列 1 的前项和为T,=一（之- +2-1=1-2m -2=2”-1.心该数列为2-1，其前99 11 1 项和为21二2)-1×99=2m-101.故选B 3 4 1-2 4.B【解析】当n为奇数时，am+3=a.一2，a+:一an= n+2一2(n+2)·所以D正确.放选BCD. 一2，所以数列{a.}的奇数项是首项为3，公差为一2 8.CD【解析】数列(am)各项乘以10后再减4得到数 的等差数列，当n为偶数时，a+2=a,十2，a+2一a.= 列{6，}：0,3,6,12,24,48,96,192，…，故该数列从第 2,所以数列{a。}的偶数项是首项为0，公差为2的等 2项起构成公比为2的等比数列，所以b.= 差数列，所以数列{a,)的前2024项和为1012×3十 10,n=1 则=3×21，故A错误：从而 3×22,n≥2 1012×101×(-2) 2 012×0+1012×1011 2 4,-6十4/0.4，n=1 10 故B错误：设数 0.3×2-1+0.4,n≥2 ×2=3036.故选B. 列《a,}的前n项和为S,当n=1时，S=a1=0.4: 5.C【解析】由题意，2023年存的2万元共存了10年， 当n≥2时，S。=a1十a:+…十an=0.4+0.3(2°+2 本息和为2(1+0.02)"万元，2024年存的2万元共 ++2-)+0.4(m-1)=0.4m+0.3×1-2 存了9年，本息和为2(1十0.02)”万元，…，2032年 1-2 存的2万元共存了1年，本息和为2(1十0.02)万元， 0.4n十0.3×21-0.3，当n=1时，S,=0.4也符合 所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部 上式，所以S。=0.4n十0.3×2-1-0.3.所以Sa 取回，他可取回的钱数约为2(1+0.02)0+2(1+ 0.4×10+0.3×2-0.3=157.3,故C正确：因为b. 0.02)”+…+2(1+0.02)=2×L.02X(1.020-12 0,n=1 所以当n=1时.T,==0.当n 1.02-1 3n×2-2,n≥2 ≈2.04×(1.219-1D≈2.3万元.故选C ≥2时，T,=41+2b+3h+…+nb.=0+3(2×2+ 0.02 3×2+4×2+…十n×2).2T.=3(2×2+3×2 6.A【解析】由么=a=号，得=a十a中a,X +4×2十…+n×2-1),两式相减得-T,=0+ =a+(m一1)d+a1,因为a1≠0，所以m=2*∈ 3(2+2+2+…+2mx2)32+22 [1,50],即1≤21≤50，由2=16,25=32,26=64， 所以2”≤2-“≤2，即2≤k≤7，所以满足等式的解k 一n×2-1)=3(1-n)×2-1,所以T。=3(n-1)× =2,3,4,5,6,7,故集合M中的元素个数为6.故 2-,又当n=1时，T,=0也满足上式，所以T.=3(n 选A. 一1)×21，故D正确.故选CD 二、选择题 三、填空题 n十3，n为奇数 2 7.BCD【解析】由S. 可得a1= 9.v3【解析】由题得S0=10(a,+a=5(a,十a) 2 2,n为偶数 19x,所以tan S=an 3 10x=8, 3 S=一2，a:=3,当n为奇数且n≥3时，aw=Sn 10.4【解析】设第n层有a。个球，则a,=1,a:一a= 5-4=-”士3_”号=一1-1，其中@，符合，所以当 2 2 2,a一ag=3,…,a,一a1=n(n≥2)，所以当n≥2 n为奇数时，a.=一n一1，所以B正确：当n为偶数 时，an=a1十a2-a十ay一ag十a,一a:+…十a。 时a.=5-S1=召-（”}3)=n+1,所以 a1=1+2+3+4+…十n=n1,当n=1时， 2 A错误，C正确：又由aa1=一(n十1)(n十2)，则 a=1也适合上式，故a,=am时=若[m+IDm 2 1 1 +2)一(n一1)n(n十1)，所以这n层三角垛的球数 ·56. 高三一轮复习A ·数学· 之和为S,=a+a,十a+…+a.=[1X2X3-0 等比数列， 6 于是，a+1-2a.=3×2-1(￥). (4分) ×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+ …+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)门= 2=3.4 证明：①别-会-“220=32 20 2 4·2 1)(n+2),因为= (m+1)(n+2)(n+3) 5. 6n+1)(n+2) 故数列学}是等差数列，其首项为子，公差为子 十3>1，所以(S单调递增，当1=6时.5，=× (6分) 6 ②由(")可知，a+1=2a.十3×21， 6×7×8=56,剩余球数为60-56=4个，当n=7 又4=1.a-是×1x2=-0, 4 时，S-言×7X8X9=84>60,所以剩余球数的最 3 小值为4个 aw+t一 (n+1)·2+1 3 四、解答题 d.- n·2 11.解：(1)设数列{a,}的公差为d, 2a.+3×2-1-4(n十1)·2+1 因为T=++b=a1+5+(-a±+10)十a+5 -=2, 3 =a1+d+20, a,-n…2 由T-24,得a+d=4. (2分) 故数列a,一子…2是等比数列，其首项为-之 又因为T,=b+b+b+h=a1+5+ (-d:+10)+a+5+(-a4+10)=30-2d, 公比为2. (6分) 由T=24,得d=3, (2)由①可知号=立+a-1D×是-子。一子 所以a1=1, 即a,=(3n-1)·2-, (8分) 故a.=3n-2. (5分) (2)当n=2k,k∈N时， 由@可知a,-子…2=-号×2， T。=T4=bM十bh+…十b-十b 即a.=(3m-1)·22, (8分) =a1+5十(-a+10)+…+a4-1十5+(-a2十10) 则S.=a1+a2+…+a=2·2-1+5·2"+…+(3n =15k-3k=12k, -1)·2"-2, 所以T。=6n: (7分) 2Sn=2·2°+5·21+…+(3n-1)·2-1. 当n=2k一1，k∈N时， 两式相减得S.=一2·2一3·(2十2…+2-) T.=Tz-1=6+h十…十b-1=Tz4-t=12k +(3n-1)·2-1, (12分) (12-6k)=18k-12. 所以T。=9n一3. (10分) 故8=1-3x7+3n-Dg 由T=Ts(m≠15)，得m为偶数， =-1+3-3·2"-1+(3n-1)·21 所以6m=9×15-3,解得m=22. (13分) =2+(3n-4)·2-1 (15分) 12.解：(1)a.+2=4a+1-4a., 13.解：(1)设等比数列(6.)的公比为9 ∴.aw+2-2u+1=2(an+1-2an）, 由6br1=b.+2+9b., 又a1=1,a:=5, 可得6gb.=gh.十9b. .a1-2a1=3≠0， 易知b.≠0. .a+1-2an≠0， 所以q-6g十9=0，解得qg=3. 又b+b=30, 从而2一22士=2. am+1-2a. 可得(1+g)=30,可得6=3： 因此，数列{a.+1一2a.)是以3为首项，2为公比的 所以数列{h.}的通项公式为b.=3”, (5分) ·57· ·数学· 参考答案及解析 数列(am}和{6，)的公共项需满足4m1十1=3，n1, nz∈N, c,-8 可得-”，，即3一1是4的整数信， =1+1 可知3%-1=97-1=(8+1)宁-1. 由二项式定理可知(8+1)宁一1若是4的倍数，则 -() 受为正整数，即%=2∈N, 1+ 1-日 所以可得c,=3=9, -=1+8-(号)”] 即{c.》的通项公式为c,=9. (10分) (2)易知1。=1 "c.-89"-81 -農-（哈）厂<景 显然9”一8>9-对于Hn≥2都成立， 即可得5<号 (20分) 所以88，品对于V≥2都成立， (14分) ·58·