(12)正弦定理余弦定理解三角形-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（小题量 A卷）

高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（十二） 品题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ，应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算 ⑥数据分析 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 值 (主题内容) ⅢN ① ② ③① 档次 系数 1 选择题 5 由三边求角 易 0.78 2 选择题 5 面积公式的应用 易 0.72 利用余弦定理判断 3 选择题 5 公 0.65 三角形的形状 利用正弦定理测量 4 选择题 5 高度 J 中 0.55 利用正，余弦定理解 决三角形的中线长 5 选择题 5 中 0.45 问题，与平面向量的 综合 利用正，余弦定理测 6 选择题 量两点不可直达的 5 √ √ 中 0.40 距离问题（解多个三 角形) 7 选择题 正弦定理中的两解 6 中 0.60 问题 测量高度的方案设 8 选择题 6 中 0.35 计问题 测量距离问题（解单 9 填空题 5 中 0.45 个三角形) 三角恒等变换，利用 10 填空题 5 基本不等式求面积， √ 难 0.25 周长的最值 利用正、余弦定理解 11 解答题 13 中 0.65 决三角形存在问题 解三角形与平面向 12 解答题 15 中 0.50 量的综合 ·47· ·数学· 参考答案及解析 利用正，余弦定理证 13 解答题 20 明恒等式及解多个 中 0.35 三角形 香考答案及解析 一、选择题 45°，∠CBD=180°-45°-30°-45°=60°，由正弦定理 1,B【解析】由a=3,b=4,c=√I3及余弦定理，得 n∠CBDsin之D·即0S-BD BD 得 CD 0c-+二+-支因为0 sin 60 sin45,解得 2ab 2×3×4 BD=10√E,在△ABD中，由余弦定理得AB=30+ <C<180°，所以C=60°，故选B. (10√/2)-2×30×10√/2×c0s45°=500，所以AB= 2.B【解析】因为△ABC的面积为25，所以号csm60 10√5.故选D. 二、选择题 -号。-2厅，解得c=4,由余弦定理得。 7.ABD【解析】易知A,B,C∈(0°，180°)，A+B十C= √+e-2xcos60=2/5,故选B. 18,对于A,曲正弦定理可知s如A=会如B= 3 3.A【解析】因为1十0sA=中S,所以由余弦定理得 ∈（号），由正弦函数的图象与性质可得行<A 1++之一Q=+c,整理得2=6十a,则∠C 2bc <60或120°<A<135°，又a>b,则A>B,则A有两 90°，则△ABC的形状为直角三角形.故选A 个解，即A正确：对于B,同上mB=合inA=号∈ 4.A【解析】在Rt△ABC中，AC=sn∠AC西 AB (分，号).则30<B<45或135<B<150,又a< m3D=7A,∠ACM=180°-∠ACB-∠MCN= 37 b,则A<B,则B有两个解，即B正确：对于C,同上得 105°，∠CAM=15°+30°=45°，在△ACM中，∠CMA =180°-∠MAC-∠ACM=30°，由正弦定理得 sinC=云inB=得n50<如50，且c<b,则C< S=品放McC=S·m6=74E, B,则C<50°，故C只有一解，即C错误：对于D,同上 得如B=名nC-得n23>血2g,又6>，则B 在Rt△MNC中，MN=MC·sin45°=74.故选A 5.B【解析】由正弦定理及3cosC十3cosB=2b,得 >C,则B>23°，故此时有两解，即D正确.故 3sin Bcos C+3sin Ccos B=2sin B,3sin A 选ABD, 2sinB,所以3a=2b,设a=2k,b=3k,k>0,由面积公 8.ACD【解析】对于A,由m,∠BCD,∠BDC可以解 △BCD,又AB=BC·tn∠ACB,可求塔高度AB,A 式5r=含absin C.得号×2k×3k×号=3= 2 2 正确：对于B,在△BCD中，由CD=m,∠BCD无法 6√3，解得k=2,则a=4,b=6,设AB边上的中线为 解三角形，在△ACD中，由CD=m,∠ACD无法解三 CD,则C市=Ci+成，可得C市=Ci+ 角形，在△BCA中，已知两角∠ACB,∠ABC无法解 三角形，所以无法解出任意三角形，故不能求塔高度 2Ci.Ci+=十×36+2×6××号+ AB,B错误：对于C,由CD=m,∠ACD,∠ADC可以 解△ACD,可求AC,又AB=AC·sin∠ACB,即可 ×16=19,即CD1=√/19.故选B. 求塔高度AB,C正确：对于D,由∠CBD,∠BCD可 6.D【解析】在△ACD中，∠ACD=120°，∠ADC 求∠BDC,在△BCD中，由正弦定理可求BC,在 30°，则∠CAD=30°，则AC=CD=10V3,AD= △ABC中，由BC,∠ACB可求塔高度AB,D正确.故 2CDco530°=30，在△BCD中，∠BCD=120°-75°= 选ACD. ·48· 高三一轮复习A ·数学· 三、填空题 =c=2, (9分) 9.20√13【解析】记着陆点为点C,如图，AB=80公 则b=c=2,a=2√2，则三角形存在且b=2.(13分) 里，AC=60公里，a=60°，3=30°，所以∠BAC=60°， 若选择条件②： 在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC= ASAC=解得BC=20V压公里 因为6=c,C=平， 2AB·AC 所以B=平A=受 北 则△ABC为等腰直角三角形， (9分) 故Sc==2,即c=4, 东 所以c=b=2, 则a=2√厄，此时三角形存在且b=2. (13分) 若选择条件③： 10.[6,8)√5【解析】由3sinC+ccos B=a+b及 由c=b,a=26=Ec,得A=受， (9分) 正弦定理，得3 sin Bsin C十sin Ceos B=sinA十 由asin A=c,得a=c,矛盾， sinB,所以√3 sin Bsin C+sin Ceos B=sin(B+C)+ 所以三角形不存在， (13分) sinB,即√3 sin Bsin C=sin Beos C+sinB,因为0 12.解：(1)因为(2b-c)cosA=acos C, 由正弦定理得(2sinB一sinC)cosA=sin Acos C, B<π，所以sinB≠0，所以5sinC=cosC+1,即 (3分) 5sinC-cosC=1,于是有2sim(C-5)=1,因为 则有2 sin Bcos A=sin Ceos A十sin Acos C=sin(A 0<C<,所以-吾<C-吾<晋，所以C一君 十C)=sinB. 因为B∈(0，r),sinB≠0， 若，即C=子.由余弦定理得2=(a+b)一2ab 所以20sA=1,得c0sA=, (6分) 2 abcos C,即c2=(a+b)-3ab≥(a+b)- a 因为A∈(0x),所以A=受 (7分) 十b)°=4，解得c≥2，当且仅当a=b=2时等号成 立，又c<a十b=4,所以2≤c<4,所以6≤a十b十c (2)由耐，0i=是得o号-名 2 <8,即△ABC周长的取值范围为[6,8).因为a十b 所以x=3, (9分) =4,所以ab()-(分)广'=4，当且仅当a=b 由1)知A=受 故由余弦定理得a2=6十c2一2 occos A=(b十c)一 =2时等号成立，则5aw=号bsin C≤合×4×号 2 3x=(b+c)2-9, =√3，所以当a=b=2时，△ABC面积的最大值 因为a=2√5， 为√5 所以(b十c)2-9=12,解得b十c=√2T,(12分) 四、解答题 由SAMc=SAABD十SAD: 1l,解：由sinA=√2sinB,可得a=√2b, (3分) 得cs号=b:ADsn吾+·ADsn吾 则2=a+6-2 abeos C=b,故b=c, (6分) 若选择条件①： besin 因为acos B+bcos A=2, 所以AD= 3 (b+c)sin晋 7 所以由余弦定理得a·+-上十b.金十@ 2ac 2bc (15分) ·49· ·数学· 参考答案及解析 13.解：(1)在△BAD中，由正弦定理得 BD 所以a=∠BAD为锐角， sin∠BAD BD AB AB:sing,D为靠近B的三等分点，AB= AC·sin3 sin∠BDA' 2W7,AC=2, 所以BD= ABsin a sin∠BDA' (2分) 所以 2.7sin a 2sin B 在△CAD中，由正弦定理得 DC sin∠DAC F (12分) AC 解得sina= sin∠CDA' 故在△ABC中，由余弦定理得BC=AB十AC- 所以DC=ACsin B sin∠CDA' (4分) 2AB·ACcos(a+90)=32+8V7×sina=36, 因为∠BDA十∠CDA=180°， 故BC=6, 所以sin∠BDA=sin∠CDA, 所以DC=号×6=4， ABsin a 、所以BD-sin∠BDA ACsin B 8:品得证 则AD=√DC-AC-2√3， (7分) sin∠CDA 故Sm=号AD:AC=2E, (20分) (2)因为B=90°，所以DA⊥AC, 因为∠BAC为钝角， ·50高三一轮复习40分钟周测卷/数学 二，进拆鉴（本大题共2个避，帮小题4分，共12分，在每小赠给出的选用中，有多项符合题日要 (十二》正弦定理、余弦定理，解三角形 桌。全部法对的得后分，部分这对的得年分分，有选皆的特Q分) (考试时可40分钟，请分100分) 乙，记△AC的内角A,B,的对边分别为a,k,,则下列远项中的三角形有西解的是 A.w=14,b=75,B=45 一，远择题（本大思共6小题，蜂小览5分，共动分。在每小题给出的国个选璃中，只有一项是存 B.4=15,6=20,A-30 合道目要求的 C,6=47,0=38,B=0 1.记△AC的内角A,柱.C的对边分月为a.b4,已知a=3.5=1.=√1.则C= B6=2ir=13,=23 A.90 B 6O C.45 0,30 总人一广场是南具市的心解地管，是江西省最大的烷市中心广场，八一帝昌显义纪念塔为人一 2.记△AC的内角A,B,C的对边分销为a,0,,已知6-2，A-60,△ABC的面积为2-a,别u一 场的标志性建筑.现某兴魔小组准备在人一广场上对人一南起叉昆念塔的高度进行膏量，并 A13 我23 62 D.t 控副出测量方案示童阁，A为纪念塔最度端，B为纪含塔的杯席（目在A的正下方）：在广崎内 a记△AC的内角A,品.C的对边分别为：，，已知1+e0sA一生，剧△ABx的形软为 (与B在同一水平面内志取C,D再点，两得CD的长为m,其短小组成员利用测角仅可测得的 角有∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADC,∠BD,期根据下列各姐中的测量数暴，能计算出纪念塔 A直角三角想 其等腰三角形成直角三角形 高度AB的是 C正三角形 D.等腰三角形 L中国古代国大名楼朝蜜楼，位于山两省运或市水济市商州镇，因团代诗人王之渔的诗作（登朝塞 棱面茂芳后世，如围，某同学为测量韵面楼的高度MN,在鼻面棱的正东方向找到一席建筑物 AB,高约为7m,在地面上点C处(B,C,N三点其线)圈得建筑物顶花A,翻雀假顶常的伸 角分别为3和45，在A处测得转顶那M的仰角为15，则鸭宿楼的高度约为 A.71 m A,m,∠AC日：∠CD,∠BDC 找0m 且.w,∠ACB,∠BCD,∠ACD (已52m C.,∠ACB,∠ACD,∠ADC D.91m 霹，∠ACB.∠CBD,∠BD 线 姓名 分数 i.记△AC期内角A,.C的期边分测为a6,已知sC+3心-2h,C心-等，且△ABC的 延号 自积为6,3，璃A多边上的中线长为 容掌 A2 找西 C.25 0.4 三，填空器（本大思共2小题，每小题5分，共10分） (.第丸雷中国国际“互联网+”大学生创业大客于2如3年10月1好日至2】日在天津帮办，天津市 象种舟十五号返国脸于北京时间码年年月4目后时在索风者陆场成功着陆，若陆塘点在航天理 以此为朝视，加快推进“5G十充网”双千兆城市建设.如图，某区县区线泡雀有国个G基站A。 教以A组北情东0的方向0公里处，航天接教以B组位于A组东偏咖30的方向那公里处， ,C,D,已每C,D两个基站建在河的南岸，能离为10,3km:基站A.B在河的北岸，测得∠ACB 期敏天授数队B组距着陆点 公里 =7,∠A(D=120,∠ADC=30,∠ADB=45,第A,B丙个基h的距离为 10.记△A的内角，日，C修对边分别为4，b,已知C十苏-，且a十6，则 A10官km a十6 &3o(8-1)km △A℃周长的取值益国为 ,△AHC雀积的最大值为 《本题赠一空8 C.15 km 分，第二空3分》 D,10,后hm 数学，量1成1共1直) 害水余泰·先家弹“高三一轮夏习的分钟测测第+日 轴学第方（共岗） 国 四、解答丽（本大共3小题，共8分。解答应写出必壁的文字说明，正明过程或演算步霞） 1志.（本小题需分20分）月 11.(本小题请分13分》 如图，在△A以中，D是BC边上的一点，=∠BAD=∠DACG 是否存在△AC,它的内角A。自，C的对边分为，，：且nA=2加B,C= a证明：股：号 (2)若D为靠近B的三等分点，AB-27.AC-2,3-0,∠BAC为纯角，求S- 在以下三个条件中任选一个，补充在上直的横线中并求解，若日避中的三角形存在，求◆的值： 若门题中的三角思不存在，请说明理由， Dm%B十0%A=2:四△AC约而积为2：Gu×nA=, 注，如果选择多个条作分料解客，网按第一个解答计分. 12.(本小题请分15分) 记△AC的内角A,B.C的对边分划为年br:已知(2动一cnwA=aesC (1)求A: 2若a=2万，可=是∠B1C的平分线交批手点D,桌AD的长 数学，第2成共1直) 街木舍存·先有型·高三一轮面习的分钟圈测韩十二 轴学第4方（共岗） 国