(18)立体几何的综合-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（A卷）

高三一轮复习周测卷/数学 8已等限R△AC中：C为直角，AC=wi,P,Q分群为AC.AB上的动友(P与C不重合)，将 《十八)立体几何的综合 △AQ份PQ折起，桂点A到达点A'的位置，且真APQL平面以PQ若点A',B,C',P,Q (等试时间2如分钟，请分150分) 均在球)的基面上，，球)表面的最小植为 人8= 且4x 一，远择题（本大思共8小题，蜂小览5分，共0分。在每小题给出的国个选璃中，只有一项是存 合道日要求的) C82 3 n号 1设，b是空间中两条不同的直线，则”：与6无公共点“是"▣与b是异直直线"的 二，进择置（本大题共3小题.每小超6分，共18分。在每小题给出的违项中，有多项符合避日要 A充分不必要条用 北必要不充分条 求。全部选对的得6分，部分选对的得军分分，有选情的得0分) C充要条件 D.低不究分电不必要条并 .过直线/的方南商量是@一山，一2,0，若上年，则平面：的法向量可以是 2.若一水平放置的正方形的同长为8，媒其用斜二测到法得到的直莲落的崔积是 A.n-(1,2,0 A号 戊 C.2 .4 h日=一2,4.0 C,n=(2.1,01 3.已知r,xE我，点A1,5,一2).I2.4.1),C(a,3,y+21在同一条直线上.则y= D.n=8,一6,0) A=1 线1 1Q如图，在国棱银P一ACD中，PD⊥平面ABCD,底面ABD是平行四边影，E为PC的中点， 02 .4 PD=AD=BD=名，∠ADB=0,螺 1.第19团里新运动会于2023年9月23日一10月8日在我国杭州成功举办，中国国案队以2川 A,PA∥平面BDE 金，111银，1铜的优异域绩位列奖律榜特首，此次花运金的领奖花束一—·顾果累累”，由花材 且C与B不可能垂直 和花器再部分组成，如图上其中花器的造用买感来自中国南零时闭官多花解，由国家级丰物质 C,平童PCB1平MPDB 文化渔产东阳木雕制作面成，可以金似利作量由大，小两个赋行拼授有成的组合体，如用2.已知 大解白的两成直半径角高分别为？m,4m,12,小则台的两底直半径和高分别为2m, D三楼锥P一BDE的体积为对 1m,6m.属该几村体的体积为 11布达佩斯的伊帕期推请馨博物馆收薰的达·芬奇方砖是在正六边形上黄了具有视觉效果的正 A10# 方体图案（如图》.把三片这牌的送·芬奇方传拼成图2的明合，这个组合再转换成图》所后 我180mm 的几何体，若图3中每个正方体的较长为1，别 C,200mm3 A.QC=A0+2AB+2A D.22t em' 图2 且若M为线段CQ上一动点，财B·B而的 5已知一个正棱锥植平行于底图的平面所截，若截得的提面面积与底直直积的比为14，媒此平面 量大值为2 靓正棱维所得的按操和棱台的体积之比为 A12 1:4 C17 0.1中8 C点P钙直线(Q的师离是四 .在三棱姓P-AC中，PA,PB,PC再垂直-且PA-1.PB-2,PC-3,△ABC的重心为G, D异雀直线Q与A山所成角的正切慎为可 图点P到直线AG的图离为 斑缓 姓名 分题 A号 我9 c T 号 17 新室 2已知长方体ADAB,CD中，AA:-E,AB-AD-3,P为能而ACD上一动点，PEL 三，算空源（本大题共3小想，蜊小道5分，共15分） AC于点E且PA一PE,投A,P与平面ABCD所成的角为，则的最大值为 12,在空间直角坐标系r=中，点1,0,3)，N(0,2,01,点P在=平直内.且M=PN: A晋 我号 c号 司 设P(u,n3),月w十十3= 数学，量1成1共1直) 侧水金稀·先享额·高三一轮短习州圆奉十八 轴学第当（共黄） 国 I3如图所示，在四接锥P一ACD中，PA⊥底面ABCD,且底面各边富相等，AC门D=,M是 17.(本小题需分15分) C上一动点，点M离 时，平面DL平面D.(增可一个正端的条件印可) 如阻，在三棱柱A一ABC中AC=?,AH=,至，E,F分别为A,C,BB的中点.且EF⊥平 AAGC. (1)求棱C的长度： (2)若B阳，LA队，且△4下C的面肌为5，表平直A,B,F与平面A,FC夹角的余弦值 1L除千，古时北方也称~角象”，是由除叶包表糯米，素米等馆料露气制成的食品，是中国很装传流 节庆食物之一，馏午窗棕的减解，干百年来在中国盛行不赛.棕子形状多鲜，笛料种类繁多，南 北方风味各有不同，某四角蛋藏棕可近红着成一个正四面体，蛋霞近做看成一个球体，且每个 您子■仅包表一个重置，若嫁子的陵长为月心出，雨其内可包表的蛋黄的短大体积为 cm'. 1&(本小题清分17分) 如图，在国战台ABCD一ABCD中，四边形ABCDA:BCD均为正方形，国边形 AA:为直角9形，AC」A/A,已知AB=2,AB,=1,BB=DD:, 1)求乐：平而AA,C:C⊥平而4以D: 四，解若题（本大墨共石小题，其7分。解鉴应写北必受的文字说明，旺明过程成演算妙程） (2若直授B与学面5℃，新城角的正篮值为要.求该调酸台的体积 坑（本小驱清分1器分》 在棱长为w的正方体ACD一ABCD,中，E.F分别是BB,CC的中点， (1)求证：1DN平0A:EFD: (2)求直线AD到平而A:EFD,的E离， 19,(客小题满分17分】 已短正△C的边长为3，点D,E分别是边AB,4C上的点，且离烂提-蛋-，如mL将 【4.(本小题请分15分) △ADE沿DE所起料△ADE的包置，枚平面A,DE⊥平面DH,连接A,B,A,C,如图主 如图，在三接柱ABC一A,BC中，侧面AACC⊥属面AC,底面△A风C是以AC为料边的 (1)来证：BD⊥平翼A:DE, 等鞭直角三角悬，侧血AA.⊙C是边长为的菱形，且∠A,AC=0, (2)在线段上是否存在点P,桂平面PAE与平面A:BD的夹角为0？若存在，求出PB (1)求点A,到平而AC的距离： 的长：若不存在，请说明理由， (2)求直线A:B与平面ABG所或角的余弦值 数学，第2成共1直) 侧水金稀·先享额·高三一轮短习州圆奉十八 轴学第4方（共岗） 国高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十八） 9 品题要素一览表 注： 1,能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力下.空间想象能力V,数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ①直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④⑤ ⑥⑤ 档次 系数 异面直线与充分必 1 选择题 易 0.80 要性的综合 斜二测画法求直观 2 选择题 5 易 0.78 图的面积 3 选择题 由空间三点共线 5 易 0.72 求参 圆台体积的实际 4 选择题 5 中 0.65 应用 5 选择题 棱锥与棱台的体积 中 0.55 6 选择题 5 求点到直线的距离 中 0.50 选择题 求线面角的最值 中 0.45 8 选择题 儿何体与球的相接 5 难 0.26 问题 9 选择题 6 求平面的法向量 易 0.72 空间位置关系与棱 10 选择题 6 / 中 0.40 锥体积的综合 空间向量与立体几 11 选择题 6 何的综合（涉及数学 难 0.28 文化) 12 填空题 利用两点间的距离 5 易 0.78 求参 13 填空题 与面面垂直有关的 易 0.71 开放型题日 14 几何体的内切球问 填空题 5 中 0.35 题（数学文化） 线面平行的判定，求 15 解答题 13 中 0.60 直线到平面的距离 16 解答题 15 求点面距，求线面角 中 0.55 求线段的长，求两平 17 解答题 15 中 0.45 面夹角 ·101· ·数学· 参考答案及解析 证明面面垂直，线面 18 解答题 17 角的大小与棱台体 中 0.35 积的综合 证明线面垂直，由面 19 解答题 > 面夹角的大小求线 难 0.28 段的长 香考誉案及解析 一、选择题 1,B【解析】当a与b无公共点时，a与b可能平行或 22.故选D. 1 异面，反之，当a与b是异面直线时a与b无公共点. 故选B 2.B【解析】由正方形的周长为8，可得正方形的边长 为2，且S=S,所以其直观图的面积是 4 G S-X2X2=反.故选B =1V 4 A 3.B【解析】由已知可得AB=(1,-1,3),AC=(x 1,一2，y十4).因为A,B,C三点共线，所以存在实数 7.B【解析】因为AA⊥平面ABCD,PAC平面AB x-1=a (1=2 CD,所以AA⊥PA,又PE⊥A,C,PA=PE,所以 入，使得AC=入AB,所以 一2=一λ，解得x=3,所以 △PAA1≌△PEA:,AE=AA=√E,AC= y+4=3入 y=2 x一y=1.故选B √2+3+3=2√2，所以EC=A1C-AE=√2，所以P 4A【解析】根据圆台的体积公式V=子x(++ 点轨迹是对角线A,C的中垂面与底面ABCD的交 线，为一条线段，由AA,⊥平面ABCD,知∠APA是 1 1 /)h,可得V=3·(2+2X4+)X12+3· A:P与平面ABCD所成的角，即0=∠APA,不妨设 (22十2×3十3)×6=150π(cm).故选A. PA=PE=x,则AP=√2+x,PC=√2+x,PA 5,C【解析】设正棱锥被平行于底面的平面所截得的 +PC=x+V2+7≥AC=6,得x≥9，则1an0= 小棱锥与原正棱锥的体积分别为V,,V,则由已知可 得V,:V:=1:8,所以此平面截正棱锥所得的棱锥和 巨<5，故<号，即9的最大值为受故选B 棱台的体积之比为1：7.故选C 6.D【解析】如图所示，以P为坐标原点，PA,PB,PC 所在直线分别为x·y,:轴建立空间直角坐标系，则 P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),则 B 6(号号1)i=(10,0)aG=（-号，号，1)小 故Pi在G上的投影为：A店一三 |AG17 17 3 8.A 【解析】显然P不与A重合，由点A',B,C,P,Q 则点P到直线AG的距离为√-（巴） 均在球O的球面上，得B,C,P,Q共圆，则∠C+ ∠PQB=π，又△ABC为等腰直角三角形，AB为斜 ·102· 高三一轮复习A ·数学· 边，即有PQ⊥AB,将△APQ翻折后，PQ⊥A'Q,PQ 面BDE,OEC平面BDE,.PA∥平面BDE,A正 ⊥BQ,又平面A'PQ⊥平面BCPQ,平面A'PQ∩平面 确：在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,BC BCPQ=PQ,A'QC平面A'PQ,BQC平面BCPQ,于 C平面ABCD,.PD⊥BC,又∠ADB=90°，∴.BC⊥ 是A'Q⊥平面BCPQ,BQ⊥平面A'PQ,设点D,E分 BD,BD,PDC平面PDB,BD∩PD=D,.BC⊥ 别为A'P,BP的中点，连接OD,OE,显然D,E分别 平面PDB,BPC平面PDB,BC⊥PB,B错误： 为△A'PQ,四边形BCPQ的外接圆圆心，则DO⊥平 ,BCC平面PCB,.平面PCB⊥平面PDB,C正 面A'PQ,EO⊥平面BCPQ,因此DO∥BQ,EO∥ 确：在平行四边形ABCD中，AD=BD=2,∠ADB A'Q,取PQ的中点F,连接DF,FE,则有EF∥BQ∥ =90°.∴.△ABD,△BCD是等腰直角三角形，AB DO,DF∥A'Q∥EO,又OE⊥EF,则四边形EFDO CD=2√2，，PDC平面PCD,.平面PCD⊥平面 为矩形，设AQ=x且0<r<5,D0=EF=合BQ ABCD,:平面PCD∩平面ABCD=CD,EF⊥CD, EFC平面PCD,.EF⊥平面ABCD.:E为PC的 25一工，AP=2x,设球0的半径为R,则R=DO 2 中点，.三棱锥P一BDE的体积为V,-E= +()=-+3=(-2）+2,当 V,m=号×号×2X号×2X2=号，D错误。 x=25时，(R)=2,所以球0表面积的最小值为 故选AC. 3 4π(R)=8元.故选A. 1L.BCD【解析】对于A,因为C=CB+BO=-Ad +2 BA=-AD+2(AA-AB)=-2AB-AD+ D 2AA,所以QC=-C0=AD+2AB-2AA,故A 错误：如图以A,为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则B(0,1,-1),D(-1,0,0),D(-1,0,-1) Q(0,-1,1),C(-1.1,-1),A(0,0,-1), 二、选择题 P(1,-1,0),BD=(-1,-1,0),C0=(1,-2, 9.BD【解析】因为l⊥a,故直线1的方向向量与平面a 2).AD=(-1,0,1),C=(2,-2,1),BC= 的法向量平行，对于A,n=(1,2,0)与a=(1,一2,0) (一1,0,0)，对于B,因为M为线段CQ上一动点， 不平行，A错误：对于B,n=一2a,故n与a平行，B正 设CM=λCd,A∈[0,1]，则BM=BC+CM 确；对于C,a·n=0,故n与a垂直，C错误；对于D,n (-1,0,0)+1(1,-2,2)=(X-1,-2λ，2x),所以 =3a,故n与a平行，D正确.故选BD BM.BD=一(1-1)+2A=λ+1，所以当A=1时， 10,AC【解析】连接AC交BD于点O,连接OE,过点 (Bi.BD)=2,故B正确：对于C,|C|= E作EF⊥CD于点F,在平行四边形ABCD中，AO =C0=号AC,点O为AC的中点，在△ACP中，E V公+-2+下=3市， cQl 为PC的中点，OE=号AP,OE∥AP,:APE平 1X2士(2)×2)+2X-令，所以点P到直线 /2+(-2)+1F ·103· ·数学· 参考答案及解析 CQ的距离d=/1c1-（ CP.CQ) =，故 商=√6-（号×号×6）=26，正四面体的表 C正确：对于D,因为cos〈C,AD)= 面积为S=4××6=36，因为sr=号S C·AD 1 1C01·ADT326 ,所以tan(Ci,AD)= ·,所以号×36，=号×96X2,解得， √/7，即异面直线CQ与AD:所成角的正切值为 √17，故D正确.故选BCD ,所以蛋黄的体积为子×(）=6π(cm) G 三、填空题 四、解答题 12.3【解析】因为点P在Ox平面内，所以n=0,即 15,解：(1)因为在正方体ABCD-AB,C,D中，四边 P(m,0,s),由IPM|=IPN|,得 形ADDA为正方形. √/(m-1)+0+(s-3)下= 所以AD∥AD· √/（m-0)+(0-2)+(s-0),化简得m十3x 因为AD丈平面A:EFD·AD,C平面AEFD1· 3,则m十n十3s=3. 所以AD∥平面A:EFD. (5分) 13.DM⊥PC(或BML⊥PC,OM⊥PC等都可)【解析】 可填DM⊥PC,由四边形ABCD为菱形，得AC⊥ BD,:PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,∴.PA ⊥BD,又PA∩AC=A.PA,ACC平面PAC,∴.BD ⊥平面PAC,又PCC平面PAC,.BD⊥PC,又 D DM⊥PC,BDDM=D,BD,DMC平面MBD,. PC⊥平面MBD,又PCC平面PCD,.平面MBD ⊥平面PCD.故可填DM⊥PC (2)如图，以点D为坐标原点，DA,DC.DD,所在直线 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxy, 则D(0.0.0),D(0,0,a,A(a0,a).F(0a,号） D 所以DF=(0,a,-号），D萨=(0，a,号），DA (a,0,0), (7分) 设平面AEFD的一个法向量为n=(x,y,之)， 14,√6π【解析】蛋黄体积最大时可近似看成一个棱长 为6cm的正四面体ABCD的内切球，设其球心为 nDi=aw-受=0 O.球的半径为r,正四面体的表面积为S,体积为V, n·DA=ax=0 因为正四面体ABCD的棱长为6，所以正四面体的 令y=1,可得n=(0.1,2), (10分) ·104· 高三一轮复习A ·数学· 所以点D到平面A,EFD,的距离为d=D:n =-3-3-3 (13分) 2X/12 21 所以c0s0=√-sim0=立： 1 即直线AD到平面A,EFD,的距离是5。. 5 即直线A,B与平面AB,C所成角的余弦值为 (13分) (15分) 16.解：(1)如图，取AC的中点D,连接A,C,AD, 17.解：(1)取AC的中点D,连接BD,ED, 因为侧面AACC为菱形，且∠AAC=60°， 在三棱柱ABC一AB:C,中，可得DE∥AA∥BB, 所以△AAC为等边三角形， 且DE=AA,=BF=BB, 所以AD⊥AC. 又因为平面ABC⊥平面AACC,ADC平面 ∴.四边形DEFB为平行四边形， AA:CC,平面AACC∩平面ABC=AC, 则EF∥DB, 所以A,D⊥平面ABC (3分) 又EF⊥平面AA,CC, 所以AD的长即为点A:到平面ABC的距离. ∴.DB⊥平面AACC (2分) 而A:D=AA1sin∠A1AC=AA1sin60°=3， :ACC平面AACC, .DB⊥AC, 即点A,到平面ABC的距离为√3， (5分) 又D为AC的中点， ∴△ABC为等腰三角形， AC=2,AB=√2， 则BC=AB=√Z, 即棱BC的长度为√瓦. (5分) (2)连接DB,依题知DB,DC,DA,两两垂直， 以D为坐标原点，以DB,DC,DA,所在直线分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxy, 由题可知D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A(0, -1,0),A(0,03),AB=(1,0,-V3),D0 (2)由(1)知，AB+BC=AC, =(0,1.0), ∴AB⊥BC,EF=BD=1, 由A,B=AB=1,1,0). ACC平面AA:CC, 可得B:(1,1.√5)，CB=(1,03) EF⊥A1C, (8分) 设平面AB,C的一个法向量为n=(x,y), 故Sa4元=之AC·EF=6, n·CB=x十5：=0 则有 解得A,C=25, n.DC=y=0 由(1)知，DB⊥平面AACC,AAC平面AACC, 取x=3,得n=（-3,05). (10分) 则DB⊥AA· (7分) 设直线A1B与平面AB:C所成的角为9， 又三棱柱中AA1∥BB, 则si血0=leos(A.m=A方：nL DB⊥BB,, 1A1B·1n 又AB⊥BB, ·105 ·数学· 参考答案及解析 .AB⊥BB, :AB∩DB=B.AB,DBC平面ABC, .BB⊥平面ABC, ∴.三棱柱ABC一ABC为直三棱柱， ∴.△AAC为直角三角形，可得AA=4, (9分) 又在三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥BC, .AB⊥BC, 以B为坐标原点，B,C,BABB所在直线分别 (2)由(1)知AA⊥平面ABCD,AB⊥AD, 为x,y,:轴建立如图所示的空间直角坐标系， 故AA,AB,AD两两垂直， 则B(0,0,0),A(02,0),C(2,0,0),C(E. 以点A为坐标原点，AB,AD,AA,所在直线分别为 0,4),B(0,0,4),F(0,0,2),AF=(0,-2,2) x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， AC=(2,-2,4): 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0) 设AA=h(h>0),则C(1,1,h), 设平面AFC的一个法向量为n=(xy,之)， 故BC=(0,2,0),CC=(-1,-1,h),AB= [n·A,F=-2y+2z=0 则 (2,0,0), (9分) n·A,C=2x-√2y十4x=0 设平面BCC的一个法向量为m=(y·), 令=1，则y=√2，x=-2, 1BC·m=2y=0 .平面AFC的一个法向量为n=(一√瓦√反，1)， 则 cC·m=-x-y十h=0 (12分) 取=1，则m=(h,0,1), (11分) 易得平面ABF的一个法向量为m=(1,0,0), 设直线AB与平面BCC,所成的角为8， 设平面A,B,F与平面AFC的夹角为8， m·n 则sin0=|cos(m,Ai1=，2h 六cos0=TmT·T75×15 2+I3 (13分) 六平面AB,F与平面A,FC夹角的余弦值为 解得h= 2, 5 而四边形ABCD的面积S:=2×2=4, (15分) 四边形AB,CD1的面积S=1×1=1, 18.解：(1)连接B:D,BD分别与A:C1·AC交于点 010 所以该四棱台的体积为V=子(S,十S:十SS) 易得O,O分别为B:D,与BD的中点， h= 号×4+1+V风T)x号-华 6 又BB=DD, 所以OO⊥BD, 即该四俊台的体积为号 17分) 因为在正方形ABCD中，AC⊥BD, 又Acnoo=O,AC,OOC平面ACCA, 18解：因为正△ABC的边长为3，品-景-名 所以BD⊥平面ACC,A, 所以AD=1,EA=2, 又AAC平面ACCA, 在△ADE中，由余弦定理可得DE=AD十AE 则BD⊥AA, (3分) 2 ADX AEcos60°=3. 又AC⊥AA:,BD∩AC=O,BD,ACC平面ABCD, 所以AE=AD十DE, 所以AA⊥平面ABCD. 可得DE⊥AD,即DE⊥BD. (3分) 又AAC平面AACC, 又平面ADE⊥平面DECB, 所以平面AACC⊥平面ABCD. (5分) 又平面ADE∩平面DECB=DE,BDC平面 ·106· 高三一轮复习A ·数学· DECB. n·AP=0 所以BD⊥平面ADE. (5分) 所以 n·AE=0 即(2-学)+29y-=0 3y-:=0 D 令y=3(4-3λ)， 则=3(4-3x)x=6-9以， 所以n=(6-9x,5(4-3x),3(4-3x)),(10分） 因为DE⊥平面ABD, (2)假设在线段BC上存在点P,使平面PAE与平 所以D龙可以为平面A,BD的一个法向量， 面A,BD的夹角为60°， 因为平面PA1E与平面A1BD的夹角为60°. 由(1)可知DB,DE,DA两两垂直 以D为坐标原点，DB,DE,DA:所在直线分别为x, 所以cosD成m=D2nL IDEl·n y,z轴建立空问直角坐标系， 3|4-3 所以D(0,0,0),A(0,0,1),E(0,√3,0).B(2,0 √5·√/(6-9x)+3(4-3队)+9(4-3x)月 0,c(339o小c-(-号，5o)小Ai (03,-1).DE=(0,5,0) 解得=号， (13分) 设B=ABC(0≤A≤1)： 可得P(1,3,0),B驴=(-13,0) 可得P2-婴o小A户=(2-登，3停 2 则1B驴1=√个+3=2， 综上，存在点P为线段BC上靠近C点的三等分点， -1) (8分) 使平面PAE与平面A:BD的夹角为60°，PB的长 设平面PAE的一个法向量为n=(x,y,2), 为2. (17分) ·107·