浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期数学周末练（5）

杭州学军中学 2024 学年第二学期高三数学周末练（5） 命题人：杨建忠 审题人：卢予奇 一、单选题 1. 设集合𝑀 = {𝑥|𝑥 = 2𝑛 + 1, 𝑛 ∈ 𝑍}，𝑁 = {𝑥|𝑥 = 3𝑛 + 1, 𝑛 ∈ 𝑍}，𝑃 = {𝑥|𝑥 = 6𝑛 + 1, 𝑛 ∈ 𝑍}，则（ ） A. 𝑀 ⊂ 𝑃 B. 𝑁 ⊂ 𝑃 C. 𝑃 = 𝑀 ∩𝑁 D. 𝑀 ∩𝑁 = ∅ 2. 已知𝑏,  𝜆 ∈ 𝑅，虚数𝑧 = 1 + 𝑏𝑖是方程2𝑥2 + 𝜆𝑥 + 3 = 0的根，则𝜆 =（ ） A. −4 B. −2 C. 4 D. 2 3. 已知|?⃗?| = √3，|?⃗?| = 1. 若(?⃗? + 2?⃗?) ⊥ ?⃗?，则𝑐𝑜𝑠⟨?⃗?, ?⃗?⟩ =（ ） A. − √3 2 B. − √3 3 C. √3 3 D. √3 2 4. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有 45齿，小轮有 30齿. 如果大轮的转速为 180𝑟/𝑚𝑖𝑛（转/分），小轮的半 径为 10𝑐𝑚，那么小轮周上一点每 1𝑠转过的弧长是（ ）𝑐𝑚. A. 5400𝜋 B. 90𝜋 C. 180𝜋 D. 40𝜋 5. 已知𝑎 > 0且𝑎 ≠ 1，若函数𝑓(𝑥) = { 𝑎𝑥−𝑎, 𝑥 ≤ 𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥 + 𝑎) + 1, 𝑥 > 𝑎 的值域为𝑅，则𝑎的取值范围是（ ） A. (0, 1 2 ] B. [ 1 2 , 1) C. (1,2] D. [2,+∞) 6. 已知函数𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛𝜃−𝑡𝑎𝑛(𝑥+𝜃) 1−2𝑡𝑎𝑛(𝑥+𝜃) 是[− 𝜋 2024 , 𝜋 2024 ]上的奇函数，则tan𝜃 =（ ） A. 2 B. −2 C. 1 2 D. − 1 2 7. 小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现 1点的概率为𝑝(0 < 𝑝 < 1)，他掷了𝑘次骰子，最终有 6 次出现 1点. 但他没有留意自己一共掷了多少次骰子. 设随机变量𝑋表示每掷𝑁次骰子出现 1点的次数，现以 使𝑃(𝑋 = 6)最大的𝑁值估计𝑁的取值并计算𝐸(𝑋). （若有多个𝑁使𝑃(𝑋 = 6)最大，则取其中的最小𝑁值）. 下 列说法正确的是（ ） A. 𝐸(𝑋) > 6 B. 𝐸(𝑋) < 6 C. 𝐸(𝑋) = 6 D. 𝐸(𝑋)与 6的大小无法确定 8. 已知函数 𝑦 = 𝑓(𝑥)(𝑥, 𝑦 ∈ N+) 满足:①对任意 𝑎, 𝑏 ∈ N+, 𝑎 ≠ 𝑏 ,都有 𝑎𝑓(𝑏) + 𝑏𝑓(𝑎) < 𝑎𝑓(𝑎) + 𝑏𝑓(𝑏) ； ②对任意 𝑛 ∈ N+ ,都有 𝑓(𝑓(𝑛)) = 3𝑛 . 则 12𝑓(8) + 8𝑓(12) 的值是（ ） A. 324 B. 336 C. 348 D. 360 二、多选题 9. 某科技公司统计了一款𝐴𝑝𝑝最近 5 个月的下载量如表所示，若𝑦与𝑥线性相关，且用最小二乘法拟合的线 性回归方程为?̂? = −0.6𝑥 + ?̂?，则（ ） 月份编号𝑥 1 2 3 4 5 下载量𝑦（万次） 5 4.5 4 3.5 2.5 A. 𝑦与𝑥负相关 B. ?̂? = 5.6 C. 预测第 6个月的下载量是 2.1万 D. 残差绝对值的最大值为 0.2 10. 已知函数𝑓(𝑥) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥 + 𝜑) (𝐴 > 0,𝜔 > 0,0 < 𝜑 < 2𝜋)的部分图象如图所示，则（ ） A. 𝜑 = 5𝜋 6 B. 𝜔 = 2 C. 𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥 = 5𝜋 3 对称 D. 𝑓(𝑥)在[ 𝜋 4 , 5𝜋 6 ]上的值域为[−2,1] 11. 已知圆𝑀: 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑦2 = 0(𝑎 > −1)， 过点𝑃(−2,0)，圆圆𝑀，切线线𝑙， 线点为𝑄， 𝑄，的迹为为线线𝐶， 则（ ） A. 线线𝐶关于𝑥轴对称 B. 𝐶在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为1 − √5 C. 𝐶的渐近线为𝑥 = 1 D. 当点(𝑥0, 𝑦0)在𝐶上时，𝑦0 ≤ 2√ 2+𝑥0 2−𝑥0 三、填空题 12. 在(3 − 𝑥)𝑛的展开式中，若𝑥2的系数为𝑎𝑛(𝑛 ≥ 2)，则 32 𝑎2 + 33 𝑎3 +⋅⋅⋅ + 3𝑛 𝑎𝑛 = . 13. 𝑀、𝑁分别为线线𝑦 = 𝑒𝑥 + 2𝑥与直线𝑦 = 3𝑥 − 1上的点，则|𝑀𝑁|的最小值为 . 14. 将椭圆𝐶1: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1(𝑎 > 𝑏 > 0)，上所有的点原点点时时旋转转𝜃 (0 < 𝜃 < 𝜋 2 )， ，到椭椭圆𝐶2，的方程 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥𝑦 = 3，椭圆𝐶2的离心率为 . 四、解答题 15. 已知𝛥𝐴𝐵𝐶的内，𝐴,  𝐵,  𝐶所对的边分别为𝑎,  𝑏,  𝑐，且2𝑐 − 𝑏 = 2𝑎 𝑠𝑖𝑛 (𝐶 − 𝜋 6 ). （1）求，𝐴； （2）若𝑎 = √6，𝐷为边𝐵𝐶上一点，𝐴𝐷为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，且𝐴𝐷 = 1，求𝛥𝐴𝐵𝐶的面积. 16. 如图，在四棱锥𝑃 − 𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶，𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐷，𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 2，𝐵𝐶 = 1，𝑃𝐷 ⊥平面𝑃𝐴𝐵. （1）求𝑃𝐶的长； （2）若𝑃𝐷 = 1，求直线𝑃𝐴与平面𝑃𝐶𝐷所成，的正弦值. 17. 已知平面内一动圆过点𝑃(2,0)，且该圆被𝑦轴截到的弦长为 4，设其圆心的迹为为线线𝐸. （1）求线线𝐸的方程； （2）梯形𝐴𝐵𝐶𝐷的四个顶点均在线线𝐸上，𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷，对，线𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝑇(2,1). （i）求直线𝐴𝐵的斜率； （ii）证明 直线𝐴𝐷与𝐵𝐶交于定点. 18. 已知函数𝑔(𝑥) = 2 𝑙𝑛(−𝑥 − 1) + 𝑐𝑜𝑠(−𝑥 − 2). （1）函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)的图象关于𝑥 = −1对称，求𝑓(𝑥)的解析式； （2）𝑓(𝑥) − 1 ≤ 𝑎𝑥在定义域内恒成立，求𝑎的值； （3）求证 ∑ 𝑓 ( 1 𝑘 − 1 2 )2𝑛𝑘=𝑛+1 < 𝑙𝑛 4 , 𝑛 ∈ 𝑁 ∗. 19. 有编号为1,  2, ⋅⋅⋅,  𝑛的𝑛个空盒子（𝑛 ≥ 2, 𝑛 ∈ 𝑁），另有编号为1,  2, ⋅⋅⋅,  𝑘的𝑘个球（2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, 𝑘 ∈ 𝑁）， 现将𝑘个球分别放入𝑛个盒子中，每个盒子最多放入一个球. 放球时，先将 1号球随机放入𝑛个盒子中的其中 一个，剩下的球按照球编号从小椭大的顺序依次放置，规则如下 若球的编号对应的盒子为空，则将该球 放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个. 𝑘 号球能放入𝑘号盒子的概率为𝑃(𝑛, 𝑘). （1）求𝑃(3,3)； （2）当𝑛 ≥ 3时，求𝑃(𝑛, 3)； （3）求𝑃(𝑛, 𝑘).