(17)空间向量及其应用-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（A卷）

高三轮复习周测卷/数学 7为体说市民参与域市建世，共建共享公阅城市的店情，间时搭建城市共建共享平台，够夏域市的 【十七)空间向量及其应用 发展和度，某市在中心公同开效长绮赠运点位，核受审民赠送的体用长椅.其中观景京坪上一製 (号试时间120分钟，满分150分》 长铃因其造型商单别数，倾受人门喜欢（如图1》，如周2，已知AB和D是解）的两条互相垂宜 的直径，得平童A以沿AB翻折至平童AC',使料学直A度上平面D,蝶此时直线AB与 一，透择题（本大题共8小题，年小恩5分，共0分，在每小题给出的四个这明中：只有一项是符 平面C“BD质成角的正莫直为 合题目要求的 1.若点A(1,0,一3，B(3,1,2)在直规1上，附直线1的+个方向向量为 A .2,1,-i 〔-4,2,10) 号 C4-2,-1.-) D.a.-2.-1 2.已知点A(1,0,0),B0,2,0).C0,0,3).则下列向量可作为半雀ABC恼一个法向量的是 c A1,2,3) (3,2,1) C2,8,6) D.(6.3,2 n马 3.我国古代散学名著（九章算术中，将底直为垢形且一侧棱重直于底面的四候结称为阳马，如图 &如图，在四棱律P一ACD中，平面PCD平面ABCD,底面ABD晶折形，AB一2BC一6，PC 四棱锥P一AD为用马，P,AL平面ACD,Ⅱ2C=3P5.若D求=rA后一yAC-:A产，湘 ⊥PD,PC■PD,点O是CD的中点，则线段P且上的扇点E到直线)的距离的最小值为 了十y十■ A./3 A.-1 B.2 我1 C后 C.2 D.3 D,3 二，燃挥驱（木大题共a小堰，每小题。分，共18分。在每小题给出的速项中，有多项符合题日要 4.在空列直角坐标系中，点A(1,一2,5，B一1，一1，一1)，C(0,0,一)，则△AC的面积为 求。全邵选对的得6分，薛分廷对的得第分分，有选错的得分1 A.2 我4 .已知@=41，-1.-1)，b=《一2.2,0).cm42.1,一31.期 c号 D.3 入1a-时-10 B.(@一b》·e=4 C.(a+26)Le D.a/(2e-b) 10,已每在三棱柱A以C一A,B,G中，P为室判肉一点，若师=ABB+BC,其中∈0，门，则 五，已知某空佩直角坐标系rF中，一只与蚊从点P(1,1,》北发，在xy和F平面上爬厅，期 A.若2-1，期点P在棱B,C上 我若A一，期点P在线段C上 这只朝蚊爬到点Q2,0,2)的最烟距离为 A.5 D若1十n-1,则点P在线段B,C上 我3 C若A-#一受·用户为按G℃的中点 C.1 h2+@ 11,如图，在长方体A以D一ABGD中，AB=AD=21=4,点E为14，的中点，点下为侧面 A品取含边界)上的雨点，期 6.如m,在三棱推O-AC中，∠A0B-∠B0-∠AC-号，0A-3OB-2,若CBLOA,相 A.存在点F,使得FCL FD C B,满足FC一FD的点F的先连长度为5 A.1 CFC+FD,的最小算为4，区+25 我月 D若AD∥平面EC,则线拉AF长安的最小值为 C. 灶名 分者 D.2 号 答 脑学第1直1共4直) 陶本金裤·先享敬·高三一轮想习居测韩十七 位学第2方（共4成 可 三，填空鼍（木大题共3小题.每小题5分，共15分》 17,(本小避离分15分) 12.已年点A(一2,1,3)，B4,3,一G),螺线段AB的中点f关于平面红y对称的点的坐标： 如周，在四棱策P一A拟D中，平面D平面A批D,四边形AD是梯形，A山，AB 为一 ⊥AD,E,F分别是战C.PA的中点 13.已如向量a=2,一1,31，b=《一1,4，一2)，e=41,3,},若a.b,e共面，周实数人= (1)证用，EF平面CD: 14图是位于上海市奉登区南桥工商银行和大菜场情面的一个正方体障婚，其六个面楼空刻滴了大美 (2)若PC写PD-CD-5AD-25AB,米直线EF与平面PAD所成角的正弦算. 奉避的多个胞杯标，可以将其钱为：某正方体的顶点A在平面。内，三条棱A出，AC,D都在平图。的 回羁.若厦点C,D到平面a的师离分属为巨后，2，则该正方体外接线的表面积为 1成（本小题满分17分） 已释在△AC中，∠AC-0,AB-BC=6,D为边AB上一点.AD-2,E为AC上一点，DE 四，解答露（木大题共5小思，共77分。解答写出秘要的文字说明，证明过程或润算步翼） ∥C,将△ADE用DE租折，使点A再A处.且∠DAB✉90 1,(本小题需分13分》 (1)证明：MB平面ADE 如图，三校桂A以一A:丝行的鹿商是边长为2的王三角形，侧棱C⊥框有A倒C,(=3, (2)若射规DE上存在一点M,使DN-ADE,且MC与平面AEC所成角的正弦值为，求a D是CB延长线上一点，且BD-BC )求直线C到平直AB,D的南离： 的值. 〔2)在线段A4上是香存在一点P,使朝(PH庄若存在，求出点P的饱置：若不存在，请说 明理由， 19,本小题病分17分】 16.(本小整清分15分) 如图，在三棱柱AB以C-AB,C中，张面ABC是边长为8的等边三角形，AMAB,AA LAC 在如m所示的五面体ADFE中，底面AD是边长为2的正方形，AEI早直AD,DF ∠BA4:=60',点D在极C,上且满足CD=AC AE,且DF-AE-1,N为BE的中点M为CD的中点。 1)求：平雀ACA:L平童BAD 山)求吨二所角N一MF一D的余蕊值： ()若平面Ax与平直AB,C失角的余碧值为8严，束三棱柱ABC-ABC的体机 17 (2)若阀段C的中点为H.仗判断点H是否在平面N下内野并说明理由. 脑举第3直1共4直) 陶本金裤·先享敬·高三一轮想习居测韩十七 曲学第4方（共4成） 國高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十七） 9 品题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ，应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 值 (主题内容) ① ② ③① 档次 系数 1 选择题 5 求直线的方向向量 易 0.80 2 选择题 5 求平面的法向量 易 0.78 向量的运算（不涉及 3 选择题 5 易 0.72 坐标) 利用坐标运算求三 4 选择题 5 中 0.65 角形的面积 5 选择题 求两点间的最短 5 中 0.55 距离 利用空间向量求线 6 选择题 中 0.50 段长 利用空间向量求线 选择题 5 中 0.45 面角（数学文化） 选择题 利用空间向量求 难 0.26 最值 9 选择题 空间向量的坐标 6 易 0.72 运算 10 利用空间向量解决 选择题 6 中 0.40 含参问题 利用空间向量解决 1 选择题 6 轨迹、最值、垂直等 难 0.28 综合问题 12 填空题 对称点坐标问题 易 0.78 13 填空题 5 由向量共面求参 易 0.71 14 填空题 利用空问向量求解 0.35 外接球向题 利用空问向量求线 15 解答题 13 面距，解决线线垂直 中 0.60 的存在性问题 ·93· ·数学· 参考答案及解析 利用空间向量求二 16 解答题 15 面角的大小及判断 中 0.55 点是否在平面内 利用空问向量证明 17 解答题 15 线面平行，求直线与 小 分 0.45 平面所成的角 利用空间向量证明 18 解答题 17 线面垂直，由线面角 中 0.35 的大小求参 面面垂直的判定，两 19 解答题 17 平面夹角与棱柱体 难 0.28 积的综合 香考答案及解析 一、选择题 展开图中的PA,PA,=√3+下=√0.故选C. 1,C【解析】依题意，直线1的一个方向向量为AB (2.1,5)=-(-2,-1,-5).故选C D 2.D【解析】由A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),得 A1(Q) AB=(-1.2,0),AC=(-1,0,3),设平面ABC的一个 B /n·Ai=-x+2y=0 法向量为n=(x,y,z),所以 n.AC=-x+32=0 D .P 令x=6,则n=(6,3,2),选项D符合，选项A,B,C 中的向量与选项D中的向量不共线.故选D. 3.B【解析】在四棱锥P-ABCD中，由EC=3PE,得 D P序=P心，所以D成=D币+P范=A市-A市+P范 A市-BC+P心=AD-(AC-A+上(AC-A) A有 =A亦-子AC+是A成，所以x=1y=子=-是 6.A【解析】由题意可知C方=O茒-O心，而CB⊥O4, 所以x十y十z=1.故选B. 故CB⊥OA,所以CB.OA=0,即(O-O心)·OA 4,C【解析】由A(1,-2,-3),B(-1,-1,一1)，C(0,0, 0,所以0i.Oi-0元.0i=0,则1×2×0s号- -5),可得1AB1=√+1)+(-2+1)+(-3+1)= 3,|AC|=√/(1-0)+(-2-0)+(-3+5)T 210心·c0s号=0，解得10心1=1，即0C=1.故 3,1CB1=√/(-1-0)+(-1-0)+(-1+5)7 选A. =3E,故|AB|+|AC|2=|BC1,|AB|= 7.B【解析】依题意，OC⊥AB,OD⊥AB,而平面 |AC|,因此△ABC是等腰直角三角形，其面积为S ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB, OC平面ABC,则(OC⊥平面ABD,又ODC平面 =|AB:=号，故选C ABD,则OD⊥OC,因此直线OD,OB,O两两垂直， 5.C【解析】如图，在棱长为2的正方体ABCD 以点O为原点，直线OD,OB,OC分别为x,y,z轴建 ABCD中，P(1,1,0)为正方形ABCD的中心， 立空何直角坐标系，令圆的半径OD=1,则O(0,0, Q(2,0,2)为点A,将正方体的面ABCD,ADD1A 0),D1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),Oi=(0,1,0), 展开，所以这只蚂蚁爬到点Q(2,0,2)的最短距离为 BC=(0,-1.1),BD=(1,-1,0),设平面CBD的 ·94 高三一轮复习A ·数学· 一个法向量为n=(x,y,之)，则 1n·BC=-y十x=0 n.BD=x-y=0 令y=1,得n=(1,1,1),设直 线AB与平面CBD所成的角为0，则sin0=|cos(n, O成1=n,成=，L。=5,所以直线AB与平面 1nOi1×53 CD所成角的正弦值为版选B 二、选择题 9.BC【解析】由题得a一b=(3,一3，-1)，所以 |a-b|=19,A错误：(a-b)·c=6-3十3=6，B 正确：a十2b=(-3,3.-1),(a十2b)·c=-6十3+ 3=0,所以(a十2b)⊥c,C正确：对于D,2c-b= (6,0,一6)，不存在实数，使得a=入(2c一b),故a 与2C一b不平行，D错误.故选BC 10.ABD【解析】作出三棱柱ABC-ABC,如图，对 8.C【解析】取AB的中点为O,连接PO,OO,AE 因为PC=PD,O为CD的中点，所以PO⊥CD,又平 于A,当A=1时，B驴=BB+BC,则BP-B驴 面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD= BB=B心=B,C,所以点P在棱B,C上，枚A CD,POC平面PCD,所以PO⊥平面ABCD,因为 正确：对于B,当A=4时，BD=A(BC十BB)= OOC平面ABCD,所以PO⊥OO,又底面ABCD是 ABC,A∈(0,1门，所以点P在线段BC上，故B正 矩形，所以O⊥CD,以点O为原点，O0,OC,OP所 在直线分别为x,y,轴建立空间直角坐标系，如图所 确：对于C,当A==合时，由B知前-号BC,所 示，由PC⊥PD,PC=PD,CD=6,得PO=3,所以 以P为线段BC的中点，故C错误：对于D,当入十以 A(3,-3,0),B(3,3,0),P(0,0,3),则A0=(-3,3, =1时，4=1-A,所以BP=ABB,+(1-A)BC,则 0),设B元=ABP(0≤A≤1)，则E(3-31,3-3,3), BP-BC=ABB-aBC,即CP=入CB,所以点P在 AE=(-3λ，6-31,3x),|AE|=√27-36x+36, 线段B,C上，故D正确.故选ABD. AO.AE (-3,3,0)·(-31,6-3,30 |A61 √9+9 9以十3(6-3)=18=3反，因此点E到直线A0的 √9+9 3√2 距离d= AO·AE AO =√/27以-36以+18 =√27(-号）+6，故当=号时4取最小值6， B 11,BD【解析】以A为原点，以AB,AD,AA:所在直 即线段PB上的动点E到直线AO的距离的最小值 线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角 为√6.故选C 坐标系，则A(0,0,0),C(4,4,0),D(0,4,2),E(0, 0,1),设F(m,0,n)(m∈[0,4]，n∈[0,2])，对于选 项A,若FC⊥FD,则F花.FD=0,又F心=(4一m 4,-n),FD=(-m,4,2-n),所以(4-m,4,-n) ·(-m,4,2-n)=0,即(m-2)十(n-1)十11= O,此方程无解，所以不存在点F,使得FC⊥FD,故 A错误：对于B,由FC=FD,得 √(4-m+4+(一)=√-m)+4+(2-n ·95✉ ·数学· 参考答案及解析 化简可得2m一n=3,即F点的轨迹为矩形ABB1A: 14.27π【解析】设正方体的棱长为a,取空间的一个基 内的线段，又n∈[0,2]，所以当n=0时，得 底{AB,AC,AD,设n是平面a的一个方向向上的 F(受0,0)，当n=2时，得R(号，02小，即满足 单位法向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序 FC=FD,的点F的轨迹长度为F,F:= 实数组(x,y,),使得n=xAB+yAC+zAD.由题 √（停-）+2=5，故B正确：对于C,设点C 意，A立，A亡，AD在n方向上的投影向量的长度分别 为2√5,2，于是n·Ai=2,即(xAi+yAC+ 关于平面AA:B,B的对称点为G,则G的坐标为(4， -A,0),则FC十FD=FG十FD≥GD,= :A市)·A成=反，即a=反，即r=同理，y √④+8+2=2√2T,当且仅当F,G,D,共线时 取等号，故C错误：对于D,AD=(0,4,2),EF 是-号.从面a-子立+5心+2动，由 (m,0,m-1),EC=(4,4,一1)，设平面EFC的一个法向 n-1,得÷√2a+3a+证-1，即六·3a= 1s·EF=0 量为s=(,y,之)，则 s…d=0' 即 解得α=3，所以正方体的外接球半径为 2 2,外接球 x十(n一1)之=0 的表面积为4π(3y3)=27元 4x十4y-之=0 ,令x=n-1,则y=1-n 2 m,=一m,所以s=(n-1,1一n-子m,一m)小 1 四、解答题 15.解：(1)取BC,BC的中点O,O,连接OA,OO, 因为AD1∥平面EFC,所以AD,·s=0,即3m+4n 因为CC1⊥底面ABC,CC∥O), -4=0,又点A(0,0,0),所以AF=√m+n= 所以OO⊥底面ABC, √m+(-可-√(n)+，当m 因为OA,OBC平面ABC, 所以(OO⊥OA,O)⊥OB =号€[0，们时，AF取得最小值号，故D正确，故 又因为△ABC为等边三角形，O为BC的中点， 所以AO⊥BC 选BD. 则以O为原点，OA,OD,OO所在直线分别为x,y :轴建立空间直角坐标系，如图所示： D C B R 故B:(0,13),A(5,0,0),D(0,3,0),B,D= 三、填空题 12.(1,2,1)【解析】由线段中点的坐标公式得M(1, (0,2,-5).AD=(-3,3,0) 2,一1)，则点M关于平面Oxy对称的点的坐标 设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z), 为(1,2,1). n·B,D=2y-3=0 则 13.1【解析】因为a=(2,-1,3),b=(一1,4，-2)， n·AD=-√3x+3y=0 c=(1,3,a),且a,b,c共面，所以a=b+3c (x≠0，y≠0)，所以(2，-1,3)=x(-1,4,-2)十 令=1则n=(51,29)月 (4分) y(1,3,a)=(y-x,4x+3y,Ay-2x),所以 因为BD∥BC,BD=BC, y-x=2 所以四边形BDBC为平行四边形， 4x十3y=-1,解得x=-1,y=1,A=1. 所以BC∥BD. Ay-2r=3 因为BC丈平面AB:D,B,DC平面AB:D, .96. 高三一轮复习A ·数学· 所以BC∥平面AB,D, 即直线BC到平面AB:D的距离等于点B到平面 则6os9=-losm:ml=-n:h=-子 AB:D的距离. (6分) :钝三面角N一MF-D的余弦值为-子 (9分) 又B(0,1,0), 则Bd=(0,2,0), 设直线BC到平面AB:D的距离为d, 则d=d.nl 2 5 n √3+1+3 4 即直线BC,到平面ABD的距离为 (9分) (2)设P(,0,t)(∈[0w3]), 又C(0,-1,0), 则C币=(3,1，t) (2)连接AC,:H为CE的中点，且A(0,0,0),E(0, 因为BD=(0,2,-3),CP⊥BD, 0,2),C(2,2,0),N(1,0,1),F(0,2,1) 所以C市.B=2-5=0, a府=号心+花=2,2.0+号 （0,0,2)= 解得=∈[05]，符合题意 (1,1,1), 即H(1,1,1), 放p(5,02) (12分) ∴Ni=(0,1,0), (12分) 由(1)得平面MNF的一个法向量为m=(2,1,2), 2 因为言子 2 m.NH=1≠0. .Ni与m不垂直， 所以存在点P为靠近A:的三等分点，使得CP⊥ 故点H不在平面VMF内. (15分) BD. (13分) 17.解：(1)取AD的中点H连接EHFH. 16.解：(1)：AE⊥平面ABCD,且AB,ADC平面AB 因为F,H分别是棱PA,AD的中点， CD. 所以HF∥PD AE⊥AB,AE⊥AD, 因为PDC平面PCD,HFt平面PCD, 又AB⊥AD,即AE,AB,AD两两垂直， 所以HF∥平面PCD. 以A为原点，AB,AD,AE所在直线分别为x,y,: 因为E,H分别是棱BC,AD的中点， 轴建立空问直角坐标系，如图所示， 所以HE∥CD. 则E(0,0,2),F(0,2,1),M(1,2,0),N(1,0,1), 因为CDC平面PCD,HE丈平面PCD, NF=(-1,2,0),MF=(-1,0,1) 所以HE∥平面PCD. (4分) 因为HE,HFC平面HEF,且HE∩HF=H, 设平面MNF的一个法向量为m=(x,y,z), 所以平面HEF∥平面PCD. 1m.Ni=-x+2y=0 则 因为EFC平面HEF, m·Mi=-x十z=0 所以EF∥平面PCD. (7分) 令y=1,则m=(2,1,2), (3分) AE⊥平面ABCD,DF∥AE, ∴.DF⊥平面ABCD, ,ADC平面ABCD, D .DF⊥AD, AD⊥DC.DC∩DF=D,DC,DFC平面MFD, .AD⊥平面MFD, ∴.平面MFD的法向量可以为n=(0,1,0),(6分) 设钝二面角N-MF-D为8， ·97· ·数学· 参考答案及解析 (2)以D为坐标原点，分别以DA,D心的方向为x,y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 轴正方向，垂直于平面ABCD向上的方向为：轴正 方向，建立如图所示的空间直角坐标系。 设AB=1, 则AD=CD=PD=2,PC=2/3. 由余弦定理可得cOs∠PDC=PD+CD:-PC 2PD·CD 以是- 2X2X2 则C(-6,0,0).A'(0.-33),E(-2.-4,0), 则∠PDC=120°， D(0,-4,0), 设M(6y,), 从而A(2,0,0),D(0,0,0),P(0,-13),E(1, 则DE=(-2,0,0),DM=(x6y十4，)，CE=(4, 0)F1.-9) -4,0).C=(6,-33), 故DA=(2,0,0),D泸=(0.-1,5)，E球 因为DM=aDE, [xe=-21 =(o.-2.9) 所以十4=0， =0 设平面PAD的一个法向量为n=(x,y,:), n·DA=2x=0 则M(-2x,-4,0),MC=(2A-6,4,0),(11分) 则 设平面A'EC的一个法向量为m=(x,y,), n.DP=-y+3:=0 m·CE=0, 令y=√5，则n=(05,1) (12分) 则 m·CA=0, 设直线EF与平面PAD所成的角为8， 则sin0=osn,E1=0: 即/1x-4y=0, 6x-3y+V3x=0, 令x=1,则m=(1,1,一√3). (14分) 33 357 设MC与平面A'EC所成的角为0， 38 24+ 则sin9=lcos(M心，m>1=m·M m·MC 即直线EF与平面PAD所成角的正弦值为3 I2λ-6+4 38 √/(2以-6)+16·√5 5 (15分) 解得1=2或入=一1. 18.解：(1)由题意知DE⊥AD,DE⊥BD, 由题意知>0，故入=2。 (17分) 又A'D∩BD=D,A'D,BDC平面A'BD, 19.解：(1)过点D作DE∥AC交AA于点E,连接CE 所以DE⊥平面ABD, 交AD于点O,连接OB,BE, 又A'BC平面A'BD, 因为CD∥AE. 所以DE⊥AB, (3分) 所以四边形ACDE为平行四边形， 又A'D⊥A'B.DE∩A'D=D,DE,A'DC平面 因为AA:⊥AC,AC=CD=8, A'DE. 所以四边形ACDE为正方形， 所以A'B⊥平面A'DE. (5分) 故CO=EO,CE⊥AD, (2)作A'Q⊥BD,垂足为Q, 由勾股定理得AD=CE=/AC+CD=8√2， 由(1)知DE⊥平面ABD, 又A'QC平面ABD, 且00-2CE=4, 所以DE⊥AQ, 因为∠BAA1=∠BAC=60°，AC=AE.AB=AB, 又BD∩DE=D,BD,DEC平面BDE, 所以△BAE≌△BAC, 所以A'Q⊥平面BDE, 故BC=BE, 故以B为原点，CB,DB.QA的方向分别为x,y,: 所以OB⊥CE, (4分) ·98✉ 高三一轮复习A ·数学· 因为OB∩AD=O,OB,ADC平面ABD, B1(0,a,4√2)，C(-4,a-4,0), 所以CE⊥平面ABD, 则AB=(-4,4,42),A=(-8,0,0),AB= 因为CEC平面ACCA, (6分) (-4,a+4,42),AC=(-8a+0), 所以平面ACCA⊥平面BAD. 设平面ABC的一个法向量为m=(x,y,), 则 m,AB=-4x+4y十42：=0 1m·AC=-8x=0 令=1，则m=(0,-√2,1) (11分) 设平面ABC的一个法向量为n=(y,), 则n·A=-4十(a+4+4W0 n.AC=-8x+ay=0 E 令y=8,则n=(a,8,-8） 2 (13分) (2)因为OBLCE,BC=8, 设平面ABC与平面AB,C的夹角为a, 所以BO=√BC-(OC=4√E, 则cos8= m·n 又AO+BO=AB, m·n 所以BO⊥AO, (0.-E.1)…(a8,-a结 因为AOnCE=O,AO,CEC平面ACDE, 3 71 所以BO⊥平面ACDE, /2+可X√/a+64+a+8四 取AE的中点M,AC的中点N,连接OM,OV, 解得a=12(a=-6舍去)， 则OM,ON,OB两两垂直， 所以以OM,ON,OB所在直线分别为x,y,:轴建立 故三棱柱ABC-ABC的体积V=专Sa,Se· 空问直角坐标系， 设AA=a(a≥8)， 0B=7×8x12X4E=192,E, 则A(4,-4,0),B(0,0,4√2)，C(-4,-4,0) 即三棱柱ABC-A1B:C的体积为192√2.(17分) 99