(五)导数在研究函数中的应用(一)-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修2同步周测卷（新高考人教A版）

高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（五） 命题要素一览表 注： 1,能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力下，空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象 ⑤数学运算⑩数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) W ② ③④ 档次系数 1 选择题 5 极值点的慨念与充 要性 易 0.80 2 选择题 5 由函数的极值点求参 易 0.72 3 选择题 由函数的单调性求参 易 0.70 由不等式有解求参数 4 选择题 的最值 R 0.55 选择题 5 由函数存在最值求参 0.45 选择题 利用导数解抽象不 5 等式 的 0.30 7 选择题 6 由导函数的图象研究 易 函数的性质 0.70 8 选择题 6 利用导数研究函数的 性质 难 0.28 填空题 由函数的单调区间 求参 易0.71 10 填空题 利用导数求实际问题 的最值 0.45 11 解答题 利用含参函数的单调 13 中 0.60 性与最值求参 12 解答题 15 求不含参函数的极值， 讨论方程解的个数 的 0.40 13 解答题 20 利用导数求单调区间 及证明不等式 难 0.28 ·63· ·数学（人教A版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 香考誉案及解析 一、选择题 f(x)<0,f(x)单调递减，所以f(x)有一个极大 1.B【解析】导数为0的点不一定为极值点，故充分性 值，没有极小值，存在最大值，故AD错误，BC正确。 不成立，可导函数的极值点一定是导数为0的点，必 故选BC. 要性成立，故选B. 8.AC 2.D【解析】由题意得了(x)=e十a=0有正根，即 【解析】对于A,sinh(-x)=e。C= 2 方程a=一e有正根，当x>0时，一e∈（一o∞， 一sinh(x),故A正确：对于B,[cosh(x)]Y= 一1)，所以实数a的取值范围为（一∞，一1）.故 选D. （)==nh().故B错误：对于C, 2 3.C【解析】因为f(x)=2x-2-alnx在区间 显然双由余弦函数h()=世少是偶函数，且 (1,2)上单调递减，所以了(x)=2+号-只<0在 [oms()了->0在0，十)止恒成立，即双曲 区间（1,2)上恒成立，则a≥2x+2在区间(1,2)上 余弦函数osh(x)在(0，十∞)单调递增，所以 cosh(-1)=cosh(1)<cosh(2),故C正确：对 恒成立.令h)=2十是，r∈（1.2)，则A=2 于Dn.[sinh]-[coh)Tr=(2）y' 是-2DD>0,所以h(x)在区间(1,2)上 ()广=-1，故D错误，故选AC 单调递增，所以h(x)<h(2)=5,所以a≥5.故选C. 三、填空题 4B【解析】由题可知，3x∈R,使得<台成立，令 9.1【解析】因为y=nx一ax的增区间为(0,1)，所 以y=lnx一ax的减区问为(1，+oo),故当x=1 )=吾则≤8x)g()=20。丑当 e 时，y=一a=0,解得a=1,经验证，a=1符合题 x∈(-oo,1)时，g'(x)>0,g(x)单调递增：当x∈ 意，故a=1. (1,十∞)时，g(x)<0,g(x)单调递减，∴g(x)≤ 10.354【解析】设长方体的宽为xdm(x>0),则长 g1)=名，故≤名故选B 方体的长为2zdm,故长方体的高为2=竖dm, x2 5.A【解析】由题意得(x)=3x一6r=3x(x一2)， 设该长方体箱子的表面积为∫(x),则f(x) 当x∈(-∞，0)U(2,十∞)时，(x)>0,f(x)单 2x+2(x+2x).18=2x+108,则f（x)=4x- 调递增：当x∈(0,2)时，f(x)<0,f(x)单调递减， 故当x=2时，f(x)取得极小值f(2)=一1，令 108=4r-272,当0<x<3时，了(x)<0, f(x)=一1，解得x=一1或x=2,要使f(x)=x 3.x2十3在区间(a,a十6)上存在最小值，则 f(x)单调递减：当x>3时，了(x)>0,f(x)单调 巴2g解得-1<a<2,即实数口的取值意围 递增，故当x=3时，f(x)取最小值f(3)=2×3+ 108=54,故当它的宽为3dm时，可使其表面积最 3 为[-1,2).故选A. 小，最小表面积为54dm. 6.A【解析】构建g(x)=C2-x,则g()= 四、解答题 (x)二fx2-1,因为f(x)-f(x)<e,所以 11.解：(1)由题可得f(x)=3x2-12x+9=3(x-1) ·(x一3)， (2分) g'(x)<0,所以g(x)在R上单调递减，且g(1)= 当1<x<3时，f(x)<0:当x>3时，了(x)>0, 0,由f(x)>xe,可得C2）-x>0,即g（x)> ∴f(x)在(1,3)上单调递减，在(3，十∞)上单调 e 递增， (6分】 g(1)=0,解得x<1,所以不等式∫(x)>xe的解 又f(x)在[1，a]上不单测，∴a>3, 集是（一6∞，1）.故选A. ∴.实数a的取值范围为(3，十oo). (9分) 二、选择题 (2)由(1)知f(x)在(1,3)上单调递减，在 7.BC【解析】由题意及题图得，当x∈（一∞，3）时， (3,十∞)上单调递增， f(x)≥0，f(x)单调递增：当x∈(3，十o)时， 当a>3时，f(x)m=f(3),不符合题意：(11分) ·64· 当1<a≤3时，f(x).=f(a), .实数a的取值范围为(1,3]. (13分) 则h'(x)=e+(x+1)>0, 12.解：(1)f(x)=(x十3)e, 故h(x)即f(x)在(-1，十o∞)上单调递增， .广(x)=(x+4)e, (2分) (5分) 当x>一4时，了(x)>0,f(x)单调递增： 又了(0)=0， 当x<-4时，f(r)<0,f(x)单调递减， (4分) .当x∈(-1,0)时，f(x)<0: “当x=一4时，f(x)取得极小值f(-4)=一。： 1 当x∈(0，十∞)时，f'(x)>0, ∴.∫(x)的单调递减区间为（一1,0），单调递增区间 无极大值 (7分) 为(0，十00). (7分) (2)方程f(x)=m(m∈R)的解的个数为函数y= (2)当m≤2时，f(x)=e-ln(x十m)十1≥e一 f(x)的图象与直线y=m的交点个数， ln(x十2)+1， (9分) 令f(x)=0,解得x=一3， (9分) 令g(x)=e-ln(x+2)+1,x∈(-2，+oe), 由(1)知f(x)在（一∞，一4）内单调递减，在 1 (一4，十∞)内单调递增， 则g(x)=e- x+2: (10分) 1 令m(x)=e- 1 f(x)的极小值为f(一4)=一 r+2' 故当x<-3时，f(x)的图象恒在x轴下方，且当x 趋向于一oo时，f(x)趋向于0， (11分) 则m'(x)=e+x+2>0, 当m=一 时，方程f(x)=m(m∈R)只有一个 故m(x)即g'(x)在区间（一2，十∞）上单调递增， 又g'(-1)<0,g(0)>0, 解： (12分) ∴.3x∈(-1,0)，使得g'(x)=0,且是g(x)在 当m≥0时，方程f(x)=m(m∈R)只有一个解： (一2，十©∞)上的唯一零点， (12分) (13分) .当x∈（一2，x)时，g'(x)<0,g(x)单调递减： 当一吉<m<0时，方程)=m(mER)有网个 当x∈(x,十∞)时，g(x)>0,g(x)单调递增， 故g(x)在x=x。处取到极小值，也是最小值. 解 (14分) (14分) 综上，当m=一 或m∈[0，十e∞)时，方程fx)=m g(x)=0,即ew=1 。十2 m∈R)只有一个解；当m∈（一是，0）时，方程 .x=-ln(xa十2)，r∈(-1,0)， (16分) f(x)=m(m∈R)有两个解。 (15分) g)≥g)=e-h(函+2)+1=十2 13.解：(1)当m=1时，f(x)=e-ln(x十1)+1，x∈ (-1,十∞)， (1分) 2+1=1 +2+(x+2)-1>2-1=1, .当m≤2时，f(x)>1. 则了(x)=e- 1 (20分) x+11 (2分) 令)）=e克7e(-1+oU 数学（人較A极}选择性必修第二货第1页共页} ① 衡水会馨·先草量·喜二同步因测卷五 数学（人较A藏）选择性必修第二后第2页【共4面引 12,(本小题满分15分) 已知雨数fx》=(+3)e. (1)求f(2)的极值： (2)讨论方程f(x)一m(mER)的解的个数， 数学（人教A极}选择性必修第二货第3页共4面引 13,木小题清分20.分) 已知函数f(x)=c一n(x十m1+1 (1)当一1时，求了《x)的单腾区阿： (2)当m2时，求正：f江>L, 衡水金馨·先卓题·离二同步网测花五 数学（人较A服}选择性必修第二册第页【共4面）