(16)空间直线、平面的平行与垂直-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（A卷）

高三轮复习周测卷/数学 7.在棱长为2的正方体ACD一ABCD中，E,F分腾为AA:,(的中点，则正方体过发E,F, (十六)空间直统、平面的平行与垂直 D的载面面积为 (号试时间120分钟，离分150分》 A.丽 我5 C,2 D. 一，透择驱（木大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小想给出的四个这项中，只有一填是符 &刻漏是中国古代用来计时的很器，利用附有刻度的浮箭阅看受水囊的水面上升米指示时间.为 合避口要求的 了使受水重得到均匀农流，本代的科学家们发用了一种三蟹M素，素形都为正四俊行，自上面 L如图，在三棱柱ABC-AB,C中，E,F,G分别为极AC,B,C,岳B的中点，若∠EFG-于，测 下，三个雅表的上口宽依次漫碱1寸（的8.3星米），下底宽和保度虫依次强减1寸：投三个园素 0s∠ABC 的解面与底童断成的授二面角依次为只，品，从，则 A-4 人品+0=明 & 且.m病+sn品=2s始码 C.68十co54=2cos4 c n号 Dtan岛+1nn4-21an头 2.若空河中有。，6，《三条直线，则。是“b刺时垂直于：”的 二，跳择露（木大题共3小巡，每小避5分，共]8分，在每小题的出的建用中，有多项符合避口要 A.充外不必要条件 我必要不充分条件 求。全部这对的得日分，席分还对的得廊分分.有选墙的得0分) C,无要条件 D,度不充分也不必要条件 9,下列说法正魂的是 3,如周，PA垂直于知彩AB仪D所在的平角，媒周中与平靠PD垂直的平值是 A,回边形韵国个圆点其面 A.早面A风D 且.三条平行直线可以确定1个或3个平面 止平面PBC C,有三个公共点的同个平面重合 C平面PAD 三条直线周两相交，可以确定1个成3个平直 D平跑PAB 0,已年3是两个不月的平面：4四是两条不列的直线.则 4,已知正方体拟一A,品，CD,的棱长为e,则棱B出到平山AAGC的距离为 A若1C4w二品划(m 且.若m⊥e:二9甲月.期w⊥1 及a c D.a 若mx,w∥a则∥a 五，已知点E,F,G,H分别为空间国边形AD中AB,以C,CD,AD的中点，若AC=BD=2,且 D若1a,m1,mC3,用=⊥月 AC⊥BD,则国边形EFGH的而积为 11,如图，在作PO中，就鼠面△PAB为等边三角形，C是AB的中点，E,M是母线PB上的点，F A.1 B2 C.4 D.6 是号线气上的点，若PD⊥平面AE,M为EB的中点，则 6,槽尖是我国古代建筑中佩菌的一一种站构形式，薄常有形楫尖、三角救尖、因角槽尖，多见干率 闻式建筑圆林建筑.下面以四角措实为侧，如阁1，它的星源部分的轮靠可以近似看作周2新示 的正回棱维P一AD,其中底面边长和攒奥高的比值为一，若点E是棱PD的中点，则异面直 线PB与(E新城角的正切值为 AE为B的中点 B PF-3FC C,半跑AEF⊥平面PAB D.CM平图AE下 摔圾 性名 分数 号 7 n 脑举第1直1共4直) 陶水金酸·先享酬·高三一轮想习周脚餐十六 位学第2方（共4成 可 三，填空墓（木大题共3小题.每小题5分，共15分） 17,(本小避离分15分) 12,在正四棱能S-AD中，各棱长均为2，点M为棱C上一点，若54∥平直MDB,则△BD 如图，在直三棱柱ABC-ABC中∠AC=90,AM=AB 的周长为 (1)若点D为棱上一点，证明：A⊥AD: 2)在棱B,C上是否存在一点E,使得4B:∥平面AE1若存在，求出点E的位置：若不# 在，请说明理山. 第12 13.已知平雀a∥/Y,两条直线，w分料与平值3y相交于点A,B,C与D,E,F已知AB一， 柴-号期AC- 1&.(本小避病分17分) 14《九章算术中将四个面都为直角三角形的四直体移为整话，如周，在整瑟P一4BC中，P4上平 在斜三较柱AC-ABC中，AA⊥BC,AB-AC-AM-A,C-2,BC-%. 面ABC,4B1BC,PA=AB=5,BC-2,D,E分别为棱PC,PB上一点，则AE+DE的最小 〔1)正明：点A在在面ABC上的授影是线段C的中点： 值为 (2)求直线AC与平面A,丝C所成角的余然值 四、解答题（本大题共5小题.共7分，解答应写出必要的文字说明，证明过程成衡算步餐 15.(本小道房分13分》 19,(本小题满分17分】 在三棱锥A-B以D中，点E.F,G分别在棱AB,C,CD上，且澜足AEEB=CFFB=21, 已年国棱常P-ABD的底面为桶振ACD,且A(CD,又PA⊥AD,AB-AD-1,CD-2 CGGD一31，过点E,F,G的平面交AD于H,连核E. 平面PAD1平置AD,平直PAD门平面PEB-. ()求AHHD: (1)判断直线和C的位霞关系，并说明理由： 2)求证：EH.FG,BD三线共点 (2)若点D列平国PC的题离为导，清认下列①，©中这出一个作为已陆条作，求二面角 4一一D的余弦值 ①CD⊥AD:@∠PAB为二在角P一AD-B的平面角 16.(本小题清分10分》 注，若这杯多个第件分别解若，按第一个解答计分 1图所示，正六楼柱ABCDEF一A BC D E,的底面边长为1，高为百. ()证明，平直ADF∥平直A,EC (2)求平直ADF:与平直A以闻的距离 脑举第3直1共4直) 陶水金酸·先享酬·高三一轮想习周脚餐十六 曲学第4方（共4成） 國高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十六） 9 品题要素一览表 注： 1,能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力下.空间想象能力V,数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ①直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ③ ⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 等角定理 易 0.80 平行、垂直关系与充 2 选择题 易 0.78 要条件的综合 选择题 面面垂直的判定 易 0.72 求直线到平面的 4 选择题 5 中 0.65 距离 平行的传递性的 5 选择题 中 0.55 应用 求异面直线所成的 6 选择题 5 中 0.50 角（数学文化） 空问儿何体中的截 7 选择题 中 0.45 面问题 二面角问题（数学文 8 选择题 5 难 0.26 化) 9 选择题 6 平面性质的应用 易 0.72 空间位置关系的 10 选择题 6 中 0.60 判定 11 选择题 儿何体中平行、垂直 6 中 0.40 关系的判定 12 填空题 5 线面平行的性质 易 0.71 13 填空题 5 两平面平行的性质 中 0.45 14 填空题 立体儿何中的最值 5 中 0.35 问题（数学文化） 15 解答题 13 三线共点的证明 中 0.65 16 解答题 15 面面平行的判定，求 中 0.55 面与面之何的距离 线线垂直，线面平行 17 解答题 15 中 0.45 的判定 点的投影问题，求线 18 解答题 17 面角 中 0.35 ·85· ·数学· 参考答案及解析 判定两直线的位置 19 解答题 17 关系，求二面角的余 难 0.28 弦值 香若答案及解析 一、选择题 1.B【解析】因为E,F,G分别为A,C,BC,BB的 中点，所以EF∥A,B:∥AB,FG∥BC,所以∠EFG 与∠ABC,的两组对应边分别平行，一组对应边方向 相同，另一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC 互补，则c0s∠ABC,=o要=一名放选B D 3 2.D【解析】若a∥b,但a,c不一定垂直，从而a,b不 G 一定同时垂直c,所以“a∥b”→“a,b同时垂直于c”: 另一方面，若a,b同时垂直于c,则a,b不一定平行， 8 6.C【解析】如图，连接BD,设O为BD的中点，连接 所以“a∥b”+“a,b同时垂直于c”,所以“a∥b”是“a, OE,E为PD的中点，OE∥BP,.异面直线PB b同时垂直于c”的既不充分也不必要条件.故选D. 与CE所成的角为∠OEC(或其补角).连接OC,OP, 3.C【解析】因为PA⊥平面ABCD,CDC平面AB .OP为正四棱锥P-ABCD的高，.OP⊥平面AB CD,所以PA⊥CD,由四边形ABCD为矩形，得CD CD,,OCC平面ABCD,.OP⊥OC,,四边形AB ⊥AD,因为PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD,所以 CD为正方形，∴.BD⊥OC,又OP∩BD=O,OP,BD CD⊥平面PAD.又CDC平面PCD,所以平面PCD C平面PBD,∴.(OC⊥平面PBD,又OEC平面PBD, ⊥平面PAD.故选C, 4.C【解析】如图，连接BD1交AC于点O,则AC 0CL0E,设AB=a,0P=h,则由圈意得号=立， ⊥BD,又AA⊥平面ABCD,BDC平面 ABCD1,所以AA⊥BD,又AA∩AC=A, 0B=O0=号a,OE=令BP=支VOB+OP- AA,ACC平面AA1CC,所以B,D,⊥平面 AACC,因为BB:∥平面AACC,所以B,O的长即 √合r+R在R△0EC中，am∠0EC-8器 为校BB,到平面AACC的距离，而B,O= 2a,所 2 厄a 方，故选C. 以所求距离为 乞a,故选C 2 V2+4a D C D 7.C【解析】连接BE,BF,取BB,的中点G,连接GF, B 5.A【解析】由题得，FG∥BD,EH∥BD,HG∥AC, GA,,'AE∥GB,AE=GB,,.四边形AEBG为平 EF∥AC,所以EH∥FG,HG∥EF,所以四边形EF 行四边形，∴GA:∥BE,GA=BE,:AD,∥GF. GH是平行四边形，又AC⊥BD,则FG⊥HG,所以四 AD,=GF,∴.四边形ADFG为平行四边形，∴.GA 边形EFGH是矩形，又AC=BD=2,所以FG ∥FD,GA1=FD,.BE∥FD,BE=FD,.四边 形BED1F为平行四边形，即B,E,D,F四点共面， 合BD=1,HG=之AC=1,所以四边形EFGH是边 ∴正方体过点E,F,D的截面为平行四边形 长为1的正方形，其面积为1.故选A. BED,F,又BE=ED,=√5，则平行四边形BED1F为 ·86· 高三一轮复习A ·数学· 菱形，EF=2√瓦，BD,=25,.菱形BEDF的面 AB的中点，所以OB⊥OC,则BC=√OB+OC- 积S=EF·BD,=7×2EX25=26.故选C E,由余弦定理得cos∠BPC=BP+CP-BC 2BP·CP 子示，所以PF=兰，FC=PC-PF=2 3 PE 1 号-号，所以PF=2FC,放B结误：对于C,由PB ⊥平面AEF,PBC平面PAB,所以平面AEF⊥平 面PAB,故C正确：对于D,由B知PF=2FC,又M 为EB的中点，所以PE=2EM,所以CM∥EF,又 EFC平面AEF,CM文平面AEF,所以CM∥平面 AEF,故D正确.故选ACD. 三、填空题 8.D【解析】如图，在正四棱台ABCD一AB,CD 12.2√3+22【解析】如图，连接AC交BD于点O, 中，O为正方形ABCD的中心，O为正方形 ABCD的中心，F是边AB的中点，连接OF,过 连接OM,因为四边形ABCD是正方形，所以O为 AC的中点，因为SA∥平面MDB,平面SAC∩平面 A,B,的中点E作EG⊥OF,垂足为G,连接EF, MDB=OM,SAC平面SAC,所以SA∥OM,所以M OE,(OO,则∠GFE即为漏壶的侧面与底面所成锐 二面角的一个平面角，记为0，设漏壶上口宽为a,下 为SC的中点，所以DM=BM=SDsin60°=3，BD 宽为6，商为h:在R△EFG中.GF=号之，an0 =√AD+AB=2√2，故△BMD的周长为2√3+ 2√2 a—石因为自上而下三个漏壶的上口宽成等差数列， 2h 下底宽也成等差数列，所以a一b为定值，又因为三个 漏壶的高h成等差数列，所以2tna=tanA十 tanA.故选D 13.15【解析】如图，连接AF与平面B交于点G,连接 BG,CF,EG,AD,:B∥Y,且平面ACF∩B=BG,平 C 面ACFn7=CR,∴BG/CF,∴是-架.同理可 01 D 得EG/AD,-祭器-0AC-E 二、选择题 9.BD【解析】当四边形为空间四边形时，四个顶点不 ·AB=号X6=15. 共面，A错误：三条平行直线可以确定1个或3个平 面，B正确：若这三个点共线，则两个平面相交，C错 误；若三条直线交于一点，可以确定3个平面，若三条 直线交于三点，可以确定1个平面，D正确.故选BD, 10.BD【解析】对于A,两个平行平面内的两条直线， 可以平行或异面，A错误；对于B,若n⊥a,a∥B,则 m⊥3，又lC3,则m⊥l,B正确：对于C,若m∥n,m ∥a,则n∥a或nCa,C错误：对于D,若La,m∥l, 则m⊥a,又mCB,所以a⊥3，D正确.故选BD. 11.ACD【解析】对于A,因为PB⊥平面AEF,AEC 平面AEF,所以PB⊥AE,又△PAB为等边三角形， 14.3+ 2 【解析】因为PA⊥平面ABC,BCC平面 所以E为PB的中点，故A正确：对于B,连接BC, ABC,所以PA⊥BC,又AB⊥BC,AB∩PA=A, OC,由PB⊥平面AEF,EFC平面AEF,所以PBI AB,PAC平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又PBC EF,设△PAB的边长为2，则OB=(OC=1,又C为 平面PAB,则BC⊥PB.因为PA⊥平面ABC,ABC ·87· ·数学· 参考答案及解析 平面ABC,所以PA⊥AB,则PB=√PA十AB= 因为CD∥AF,CD=AF1, 25,则PC=√PB+BC=4,所以∠APB=平， 所以四边形CDF,A1为平行四边形， 所以DF:∥AC, ∠BPC=晋，如图，将△PBC沿着PB转动到P,A, 因为DF亡平面A,BC,ACC平面ABC, 所以DF∥平面ABC, B,C四点共面，此时sim∠APC=sin(年+若） 又AD∩DF:=D,AD,DF,C平面ADF, 所以平面ADF∥平面ABC (5分) sm子o吾+om子in吾=6中2.过A作AH (2)平面ADF,与平面A:BC间的距离等价于点A 到平面A:BC的距离，设为 ⊥PC于点H,则AE+DE的最小值为AH 连接AC, PAsin∠APC=5x6+E_3+E 则四面体A一ABC的体积V=吉SAc·AA= 号saA,E·d 则V=子Sae·AM:=子×号X1X1×sm号× = (9分) 又AB=√AB+AA=2,AC=2 ABsin5=5, 四、解答题 则AC=AC+AAT=√6， 15解：1带需=2， 所以0s∠ABC=1上+二（6)=-1 ∴.EF∥AC, 2×1×2 又EFt平面ACD,ACC平面ACD, 从而sin∠A,BC=E .EF∥平面ACD, (3分) 41 ,EFC平面EFGH,且平面EFGH∩平面ACD 所以S么AK= 号×12x压= (13分) =GH, .EF∥GH, 所以d=、3V= 又EF∥AC, S△A1W 5 .AC∥GH, 部品-3， 即平面ADF与平面A,BC间的距离为 5 (15分) 即AH:HD=3:1. (6分) (2:EF/GH装=号0=片 =4 .EF≠GH, B ,,四边形EFGH为梯形， (8分) 设EH∩FG=P,则P∈EH, 而EHC平面ABD, .P∈平面ABD, 又P∈FG,FGC平面BCD, .P∈平面BCD, '.P位于平面ABD与平面BCD的交线上，(11分) ,平面ABD∩平面BCD=BD, 17.解：(1)如图，连接AB, P∈BD, 因为ABC-AB,C是直三棱柱， .EH,FG,BD三线共点 (13分) 所以BB:⊥平面ABC, 16,解：(1)在正六棱柱ABCDEF一ABC D E F中， 因为BCC平面ABC, 因为底面为正六边形， 所以BB:⊥BC 所以AD∥BC, 因为∠ABC=90°， 因为AD吐平面ABC,BCC平面ABC, 所以AB⊥BC, 所以AD∥平面A1BC. (3分) 因为AB∩BB,=B,AB,BB,C平面ABBA, ·88· 高三一轮复习A ·数学· 所以BC⊥平面ABBA1, 18.解：(1)取线段BC,AC的中点M,N,连接AM, 因为AB1C平面ABBA1, MN,A M.AN, 所以BC⊥AB,即BD⊥AB. (3分) AA∥BB,AA1⊥BC, 因为AA=AB, ∴.BB⊥BC, 所以四边形ABB,A:是正方形， 枚BC=√BC-BB=2. 所以AB1⊥AB, 则BC=AC+AB, 因为AB∩BD=B,AB,BDC平面ABD, 于是AB⊥AC, 所以AB:⊥平面A:BD, M,N为BC,AC的中点， 因为A,DC平面ABD, ∴.MN∥AB, 所以AB:⊥AD (6分) .MN⊥AC, :△AAC为等边三角形且N为AC的中点， .AN⊥AC, (2分) B :MN∩AN=N,且MN,ANC平面AMN, 则AC⊥平面A:MN, 又AMC平面AMN. ∴.AM⊥AC. :AB=AC且M为BC的中点， D ∴.AM⊥BC, 又AA⊥BC,AM∩AA=A,且AM,AAC平 (2)当点E为BC的中点时，AB,∥平面AEC 面AAM, (7分) .BC⊥平面AAM, 取BC的中点F,连接AF,BF,EF, 又A:MC平面AAM, 因为E为B1C的中点， 则A,M⊥BC, (4分) 所以EF∥AA1,EF=AA1, 又AC∩BC=C,且AC,BCC平面ABC, 所以四边形AA:EF是平行四边形， .AM⊥平面ABC, 所以A:E∥AF. 即点A:在底面ABC上的投影是线段BC的中点 因为AF丈平面AEC,AEC平面A,EC, M. (6分) 所以AF∥平面A:EC (11分) (2)设AC∩AC=P,作CH⊥平面AB,C,连 因为CF∥BE,CF=B1E, 接PH, 所以四边形B:ECF是平行四边形， 所以EC∥BF, 因为B,F丈平面AEC,ECC平面A,EC, 所以B:F∥平面AEC 因为AF门BF=F,AF,BFC平面ABF, 所以平面AB:F∥平面AEC. A--N 因为AB,C平面AB,F, 所以AB1∥平面AEC. 则∠CPH即为直线AC,与平面AB,C所成的角， 则当点E为B:C的中点时，AB:∥平面AEC (15分) 在△A:BC中，A1B,=AB=√2，AC=√2，B1C =√6 = ×6×√-(T- 2 (9分) 由)得Sa4G=子XEXE=1,AP= 21 GP=AP=E」 2, 在R△ABC中，AM=号BC-1, :.A M=VAA-AM=1. ·89· ·数学· 参考答案及解析 ∴.平面ABC与ABC之间的距离为1， .四边形ABFD为平行四边形， 由Vc-AG=VG-A再C, ∴.AD=BF, .BF-CD. 解得CH=2 ∴.BC⊥BD, (14分) 又BD=√E, 2 .BC=√CD-BD=E, 在R△GPH中，sin∠CPH=SH=E=22 3 Sam=BC,BD=号XEx万=1.8分) 2 设PA=x, ∴eos∠CPH=3, 则PB=/+五， 即直线AC与平面A,BC所成角的余弦值为了 又AC=AD+CD=√5， ∴.PC=+5, (17分) 19.解：(1)：AB∥CD且CD=2AB=2, ÷cOs∠PBC=PB+BC-PC PB·BC ∴延长CB,DA必交于一点，设为点E, =+1+2-x-5 ,BCC平面PBC,DAC平面PAD,且E∈BC,E 22·√+I √/2(x+1) ∈DA, 1 2x2+1 ∴.E∈平面PBC,E∈平面PAD, (2分) :sin∠PBC=√1 2(x+1)=V2(x+1元 又P∈平面PBC,P∈平面PAD,连接PE, 则平面PBC∩平面PAD=PE, Sag=PB,BCsn∠PBc 又平面PAD∩平面PBC=I, 直线PE即为直线，如下图所示， (4分) 2x+工=2x五 =号×VF币×2×√2+ 2 3 9 又V,m=。m=号Sam·PA=吉 V2r+I 9 E 解得-罗， (12分) .I∩BC=E,即直线1与BC相交. (5分) 由(1)知二面角B一1-D即为二面角C一PE一D, (2)若选条件①， 设其平面角为8， ,CD⊥AD.平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩ 平面ABCD=AD,CDC平面ABCD, :AB//CD.AB-CD. .CD⊥平面PAD, A为DE的中点， 同理可知PA⊥平面ABCD, ..AE=AD=1. ,DE,ACC平面ABCD, .PA⊥DE,PA⊥AC, PEV+号=2厘 7 取CD的中点F,连接BF,AC, 设点D到直线PE的距离为d, 则SamE=DE·PA=PE·d, R 时×2x9-×2平xd 7 朗得d-号， tmm9=C9=2=22, d 1 AB∥CD,AB= D=DF, 又二面角B-1一D为锐二面角， ·90. 高三一轮复习A ·数学· .cos 0=1 =x2+1+2-x2-5 22·+1 2(x十1) 即二面角B-1一D的余弦值为子 (17分) ∴sin∠PBC=√1 1 2x+1 若选条件②， 2(x+1=V2(x+15 若∠PAB为二面角P-AD一B的平面角， SAPC= PB·BCsin∠PBC=子×VFT行X 2 则AB⊥AD,PA⊥AD. 又CD∥AB, 2x+1=2x+可 E×√2(x+1) 2 .CD⊥AD, ,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面AB 9 CD=AD,CDC平面ABCD, .CD⊥平面PAD, 1 又V,-m=Vm=Sam·PA= 同理可知PA⊥平面ABCD, (7分) DE,ACC平面ABCD, =V②+1 9 .PA⊥DE,PA⊥AC, 取CD的中点F,连接BF,AC, 解得-号。 (13分) 由(1)知二面角B-l-D即为二面角C一PE-D, 设其平面角为9， :AB∥CD.AB=2CD, A为DE的中点， ∴.AE=AD=1, PE=√+号=2 AB/CD.AB-CD=DF. 设点D到直线PE的距离为d, ,四边形ABFD为平行四边形， 则Same=是DE,PA=PE·d, ∴AD=BF, :.BF-CD, 即合×2×号=×2xd, 7 .BC⊥BD, 解得d= 2 又BD=√E, .'tan CD 2 ∴BC=CD-BD=E, d =22, 2 ∴Sam=2C·BD=XEXE=1, (10分) 又二面角B一一D为锐二面角， 设PA=x, 则PB=√+I ios0=子 又AC=√AD+CD=√5， 即二面角B一一D的余弦值为子 (17分) .PC=+5, ∴cos∠PBC=PB+BC-PC 2PB·BC 91