(15)基本立体图形、立体图形的直观图、简单几何体的表面积与体积-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（A卷）

高三轮复习周测卷/数学 7.古希精数学家欧几里在儿挥算本)■是出：“球的体粗(V)与它的直径（的文方成正比”，即V (十五)基本立体图形，立体图形的直观图，简单几何体的表面积与体积 =心，欧几■得表给出的值，7世纪日本数学家门对求球的体积方法还不了解，他门算体积公 (号试时间120分钟，满分150分》 式=中的常数专格为”立慑术”或”玉相卓”，创用了求”玉积率"的佳特方法“会玉术”，其中， D为直径，类地，对手等边阅柱（轴限面是正方形的周柱可作等边周柱），正方体也有类似的体积 一，透择题（本大题共8小题，年小恩5分，共0分，在每小题给出的四个这明中：只有一项是符 公式V一D,北中，在等边厕住中，D表示帐面测的直径：在正方体中，D表示棱长.假设运用此 合题口要求的) “会五术”，求得的球，等边面柱正方体的“玉积率”分别为。，周必一 1,将一个等便梯形绕着它载长的感边所在直线定韩一圆，用程的几何体包括 1 2 A,一个摆台、两个贸 长两个贸行，一个慨维 C肉个摆台。一个圆柱 山，+个图桂，伪个程相 C132 1g,色 2.已知一个直三棱柱的依面是腰长为2的等服直角三角形，高为3，螨该三棱柱的表面积为 &,将块棱长为1的正方体木料，打密成两个布径分别为R,(R的球体艺术品，则两个球作 A.4应+8 长2反416 C12反+6 0.16+6-2 的体职之和的最大值为 3.如1图，在棱作P一AC巾，其所有棱长宿相等，E,F分别为侧棱PB,PC的中点，图△AF在 A. 我9-58妇 直P上的投影为 C16-9,8: 告 父AAAA 二，避辑题〈木大愿共3小驱，每小题6分，共18分，在每小愿给出的这用中，有多项符合遮日要 求。全部选对的得分分，部分县对的得军分分，有选情的得0分 象，下列说法错误的量 入，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边据 且，用一个平面去线棱锥，校容成面与截宾之间的第分是棱台 4.如图，某四边形A以D的直观图是正方形A'BC),且A(1,0),C心（一1.0），则息四边形AB C所有儿何体的表面都能展并成平育图形 D的周长等于 D棱台的质有侧棱廷长后交于一众，侧面是等顺梯脑 A,? 10,已相属推的底面争径为1，其侧面屏开用是一个半网，设国触的顶点为V,A,B是底面图同上的 k2正+28 两个木同的动点，拾自下列四个结论，其中域立的是 84 A,圆银的侧面机为4x D.4反十45 且，母线与能的高所成锐角的大小为3 5.紫形季是中国特有的千工网上工艺品，经典的有丙随耋，石颗壹，语麦等，其中石属麦的麦体可 C,△￥AB可健为等假直角三角形 以近但系收一个圆台雀因素忽略不计，如图静了一个石限妻的相关数据（单位：细），事么该 D△A!面积的最大值为 素的侧值积的为 11.己知正方体ACD一AB,CD的板长为1，P,Q分测为线段CD,,B,C上的动点，则 A,16/6开m 人因面体PQAB的体具为定值 且12后开m B.四面体PQAD的体职为定值 C155开 C四面体PQAC体职的最大值为号 D.24 cm .如图，议正方体ABCD一A,B,CD的酸长为“，雨面点B到平面BA,C的距离为 D四面体PQ,D体制的最大额为号 姓名 分数 号 0 c名 D别 答案 三，填空驱（木大题其3小愿，每小盟5分，共1后分） 2,若某正国棱像的底面边长为2cm,侧面积为8©m,则该正国校蜂的高为 cm. 脑举第1直1共4直) 陶本金裤·先享敬·高三一轮想习居测韩十五 鱼学第2方（共4成》 可 13.:阁所示，已知正三桂桂A一A,B,(的底面边长为2，高为5，一质点自点A出发，船管三棱 17,(本小避离分15分) 佳的侧面绕行博周到达A点的最型路线的长为 在如图所示的圆柱中，A县是在面直径，PA是醒柱的母线，且PA=A从，设C悬成前同周上的 动在，CD为此国桂的一条母线，且该割桂的侧面积为4需， (1)求煤柱的轴线面（过能转轴的截面）的而积： (2)当∠APC-时，求直线CD到平雀PAB的距离。 宽3题 宽14题 14.足球最早起源于我因古代城斯”，被列为国家级非物质文化，量即踢，到即球，北宋（宋太相微 国阁》撵绘了太相，太案和匠千们慌样的场景.已知某“的表面上有四个点A,B,C,D.月AB ⊥平面BCD,AB一2BC=2BD=4,∠CBD一12行，则该辞”的表面积为 18.(本小题满分17分) 四、解答器（本大题共5小题，共77分，解答度写出必要的文字说明，证明过程线清算步翼） 如州，某铁质零件由一个正三棱台和一个正三棱柱组成，已如正三较住柱的痒面边长与高均为 15.(本小题满分13分) 1em,正三棱台的下底面边长为2cm,且正三板台的高为【cm,现有一盒这种零件其重 个风台的母线长为12，两成直自积分料为4节和25πm,求： 60唇g(不包含盒千的质量)，取铁的密度为7.8g/m, (1)图台的体积： (1)试问孩盒中有多个这样的零件？ (2)晟得此侧台的测相的时线长. ()银果要恰这盒零件的每个零件表图篷上一种特味的材料，试问共容涂多少 m3的材料？ 9,(水小题离分17分) 为了更直浅地让学生认其校锥的儿有特任，某数师计划制作一个正四棱裤数学棱型，现有一个 无盖的长方体硬蛋盘，其底面是边长为0m的正方形，备为10，将其侧校剪开，得别展开 8.(本小题需分15分) 图，如国1所示，P,:,P,P分别是所在边的中点，明去司影部分，再滑退线折起，使得P, 我国古代数学名著（九章算术》中，将威雀为矩形且有一条侧棱垂直于医自的四桂雏你为“阳 P,P,P,国个点重合于点P,正好形成一个正回酸银P一ACD,如图2所示，设AB一前 马”.如用所示，在长方体ACD一4，出CD中，已知4B=C=2,A4,=3, 位m. P (1)求正，四棱银D一AD是一个“阳马”，并求该”阳马的体积： 们)若x一1O,求正四按锥P一AD的表面机， (2)求该”阳马"D,一ACD的外接球的表面积. (2)当x取何值时，正四棱锥P一AD的体积最大 脑举第3直1共4直) 陶本金裤·先享敬·高三一轮想习居测韩十五 曲学第4方（共4成） 國高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十五） 9 品题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ，应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算 ⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 值 (主题内容) N ① ② ③④⑤ 档次 系数 1 选择题 5 组合体的结构特征 易 0.80 2 选择题 5 棱柱的表面积 易 0.78 多边形在平面内的 3 选择题 5 易 0.72 投影 由直观图求原图形 4 选择题 5 中 0.65 的周长 圆台的侧面积（数学 5 选择题 5 中 0.55 文化) 等积法求点到面的 6 选择题 中 0.50 距离 选择题 5 正方体，圆柱与球的 中 0.45 综合（数学文化） 8 选择题 5 两球相切问题 难 0.26 9 选择题 6 儿何体的结构特征 易 0.72 o 选择题 6 圆锥的结构特征 中 0.40 11 儿何体中的定值、最 选择题 6 难 0.28 值问题 由棱锥的侧面积 12 填空题 5 易 0.78 求高 13 填空题 5 儿何体的展平问题 中 0.45 三棱锥的外接球表 14 填空题 5 中 面积 0.35 15 解答题 圆台的体积及相关 13 中 0.65 量计算 棱维的体积，补形法 16 解答题 15 求几何体外接球的 中 0.60 表面积 等体积法求直线到 17 解答题 15 中 0.45 平面的距离 ·79 ·数学· 参考答案及解析 棱柱与棱台的体积、 18 解答题 17 中 表面积的实际应用 0.35 锥体的表面积，导数 19 解答题 17 法求锥体体积的 0.30 最值 考答案及解析 一、选择题 因为直观图中B'C'一√厄，且BC与y轴平行，所以原 1,D【解析】将等腰梯形分割成两个直角三角形和一 图中BC=2√瓦且BC与y轴平行，因为AC=2,所以 个矩形，如图所示： AB=√2+（22)=23.由直观图的性质可知， 原图中四边形ABCD为平行四边形，所以四边形 ABCD的周长等于4E十4√3.故选D. 5,C【解析】根据题意，石瓢壶的壶体可以近似看成一 矩形绕其一边旋转一周得到圆柱，直角三角形绕其一 个圆台，如图为该圆台的轴裁面，上底面半径=受 条直角边旋转一周得到圆维，因此，将该等腰梯形绕 它的较长的底边所在的直线旋转一周，可得儿何体为 =3.下旅面半径为-碧=5，商6=4：所以圆台的 一个圆柱，两个圆锥，故选D 母线长为1=/+(5-3)下=2√5，所以圆台的侧面 2.D【解析】由题意可知，该三棱柱的表面积为S= 积为S=π(rn1十r2)l=16√5xcm,故选C (4+22)×3+2×号×2×2=16+6E.故选D, 6 3.C【解析】由题得，AE⊥PB,AF⊥PC,点A在侧 面PBC上的投影是正△PBC的中心，∴.△AEF在侧 面PBC上的投影如图所示： P 10 6.A【解析】根据正方体的性质知，BB⊥平面 AB,CD,所以BB,为三棱锥B一ABC:的高，因 为Sa4与9=2a,AB=BC=AC=V厄a,所以 Sm65-吉XEa×Ea×n60-号a,设且到 平面BA,C的距离为d,由V-,S=VAS,得 故选C 4.D【解析】因为A'(1,0),C(一1,0)，所以直观图 专Sa6·d=吉s5·B服，即宁×号。·d 中正方形的边长为√瓦，结合直观图的特征，可得原图 = 1 1 X- 如下： 3 ·a,解得d=号。，所以点B到平面 BA.C的距离为号。故选A 7D【解桥】在球中，V=子成=专（号）广=晋D =D,解得太=吾：在等边圆柱中，V=x(号)'· D=于D=k:D,解得：=芬：在正方体中，V,=D =6D,解得=1.6：6=君：受1=1：受 兰故选D 8.B【解析】如图为正方体ABCD一A:BCD,的对角 ·80 高三一轮复习A ·数学· 面ACCA.设两个球O,O的半径分别为R,r,当 G,连接AH,DG,过点P作PM⊥DG,垂足为O,交 它们相切且与正方体三个面相切时，两个球体的体积 CD于点M,过点P作PN⊥CD,垂足为N,设CG 之和才能取到最大值，所以(R十r)(1十√)=√，即 ,PD=则，5∈[0,1门，Sa0=ADX DG=- R十，=3E,R=35-由题得0<r<分，0<R 2 合I中7，易知△PNM≌△DCG,所以PM=DG <号0<R2≤r<3所以V=青R =+F,OM=DMsin∠CDG=(t+s)· +)=R+r[R++(,)门所以 70P=+7-(+). √1+F 当=25时.V=9=55)匹.故选B 号·故四面体PQAD的体积V=号X 2 1+ C 名×是=言1-0，其最大值为合 /1+ 故D正确.故选BCD. D 二、选择题 9.BCD【解析】棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四 D 边形，故A正确：用一个平行于棱锥底面的平面去截 棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故B错：球 B 体展开后就是一个曲面，而不是平面图形，故C错：棱 三、填空题 台的所有侧棱延长后交于一点，侧面都是梯形，不一 12.√3【解析】设正四棱锥的斜高为h',高为h,则S 定是等腰梯形，故D错，故选BCD. 10,BD【解析】由圆锥的底面半径为1，其侧面展开图 =4X号×2K=8hM=2,h=V-下=原. 是一个半圆，得2π×1=r×VA,则VB=VA=2,对 13,13【解析】此题相当于把两个正三棱柱都沿AA 于A,圆锥侧面积为r×1×VA=2π，A错误：对于 剪开拼接后得到的线段AA,的长，即最短路线为 B,圆锥底面圆直径为2，即圆锥轴截面三角形为等 /12+5=13. 边三角形，则母线与圆锥的高所成锐角的大小为 A C A C 30°，B正确：对于C,由选项B知，等腰△VAB的顶 角∠AVB满足：0°<∠AVB≤60°，则△VAB不可能 为等腰直角三角形，C错误：对于D,△VAB的面积 S=2VA·VBsin∠AVB≤号×2X2sin60=5, D正确.故选BD. 1.B以D【解析】因为△ABP的面积为受，点Q到平 14.32π 【解析】由题可知Sam=之BC·BDsn120 面ABP的距离不是定值，故A错误：因为△ADQ 合×2×2×号=B.所以V,m-言Sm· 的面积为号点P到平面A,DQ的距离为号所以 AB=号×，万X4=亭厅，如图设球心为0.△BCD 四面体PQA,D的体积为名，故B正确：因为△QAC 外接圆的圆心为O1,取AB的中点为E,连接OO、 面积的最大值为号，当P与D:重合时，P到平面 0E、O0A、OB. QAC的最大距离为号D,B=2,故四面体PQAC 体积的最大值为号×号×2华=言，故C正确：如 图，过点Q作GH∥BC,分别交BB,CC于点H, ·81· ·数学· 参考答案及解析 所以长方体的体对角线长为√/②+2+3=7， 则长方体的外接球半径R=区 2 (12分) 所以该“阳马”外接球的表面积为S=4πR=4πX E (厘) 2 =17元. (15分) 17.解：(1)设圆柱的底面半径为r,则高为2r B D 则该圆柱的侧面积为S=2π×r×2r=4π， 解得r=1. (3分) 故该圆柱的轴截面面积为S=AB=4. (4分) (2)因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, 01 则OO⊥平面BCD,因为OA=OB,所以OE⊥AB, 则BC⊥PA, 所以四边形BOOE为矩形，所以(OO=EB=2,在 因为AB是底面直径，C是底面圆周上的动点， △BCD中，∠BDC=∠BCD=30°，由正弦定理得 由题意可知，C与A、B不重合， BD 所以BC⊥AC, 0B=立·sm0=2,所以球0的半径0B- 因为PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC √2+2=2√2，所以球O的表面积为S=4m·OB 所以BCL平面PAC, =32元. 因为PCC平面PAC,则BC⊥PC, 四、解答题 因为PA⊥平面ABC,ACC平面ABC,则PA⊥AC, 15,解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图)： 所以AC=PA=2=2E an 3 D 则BC-AB-AC-√-(-5. 0 则S=AC·BC=×25×2YE_2 3 3 (8分) VP-ABC= sa·PA=×22=4 3 两底面面积分别为4πcm和25πcm2, (9分) .圆台上底半径OA=2cm,下底半径OB=5cm. 又母线长即等腰梯形的腰长AB为12cm, 又因为Sam=PA·AB=号X2=2, .高为AM=√/12-(5-2)=3√/15(cm), 设点C到平面PAB的距离为d, (5分) ∴圆台的体积V=号×(4x+25x+10x)×3厉 则Vc-B= 5am·d=吉×2xd= 1 9 (12分) =39√15π(cm3). (8分) (2)设截得此圆台的圆锥的母线长为(， 解得d=22 3 圆台截面中AD∥BC, ∴△SA0∽△SB0,则12= 因此，点C到平面PAB的距离为2 3 (13分) 51 而由CD∥PA可知，CD∥平面PAB, .1=20cm. 即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm (13分) 故直线CD到平面PAB的距离为2 (15分) 16.解：(1)因为长方体ABCD-AB:CD,中，DD⊥ 平面ABCD,且四边形ABCD是矩形， 18,解：①D由题得，正三棱柱的体积V,=尽×1上×1 所以四棱锥D一ABCD中，底面ABCD是矩形，且 侧棱DD⊥底面ABCD, cm, 所以四棱锥D,一ABCD是一个“阳马”， (6分) 体积V-吉sm×DD=号×2X2X3=4.(9分 正三棱台的体积V=×1×(×1：+92 (2)长方体的外接球即为四棱锥的外接球， 因为AB=BC=2,AA,=3. ·82· 高三一轮复习A ·数学· 所以该零件的质量为 +9)×7.8-13 75√39， 2 g 所以共需涂(300+125√/3+75√39)cm的材料. (4分) (17分) 所以该盒中共有零件6505÷135=100个 19.解：(1)在正四棱锥P一ABCD中，连接AC,BD交 2 于点O,设BC的中点为E,连接PE,EO,PO (6分) AB=10,∴.OE=5,PE=15, (2)如图，设D,D,分别为三棱台所在棱的中点，O, ∴.正四棱锥P一ABCD的表面积为S=SaAn十 O分别为三棱台上，下底面的中心， 连接OO,AD,DD,AD,, 45.m=10X10+4×号×10×15=40. 则AD过点O,AD过点O ∴.正四棱锥P-ABCD的表面积为400cm2.(5分) A D 因为AD=1Xsin60= (2),AB=x 2 cm. 0E=壹，PE=20-艺(0<<20) 所以OD= 3 2 6 cm, P0=√(20-)-（告） =25X/20-x 同理可得0D,=号××2= em, (0<x20) (9分) 所以DD=VO0+(OD-OD)= ∴.正四棱锥P一ABCD的体积为 6 cm. 所以三棱台的鹅面积为分×(1+2)×厘×3 v()=子×26xv20--2xrV20- 6 3/3厘cm, =2y5×F(20-)(0<x<20). 3 (12分) 4 (13分) 令1(x)=x(20-x)(0<x<20): 所以一个零件的表面积为3圆+×1+5×公 则1(x)=5xr(16-x), 4 当0<x<16时，t'(x)>0,t(x)单调递增： +1X1×3=3+55+3V厘cm. 当16<x<20时，t'(x)<0,t(x)单调递减， (15分) ∴.t(x)mx=t(16),.V(x)ma=V(16), 因为(3+55+3V3)×100=300+1255+ ∴.当x=16时，正四棱锥P一ABCD的体积最大. (17分) ·83·