(14)数列求和、数列的综合应用-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（A卷）

高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十四） 品题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ，应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅢN ① ②③④⑤ 档次 系数 1 选择题 5 分组求和法求和 易 0.80 选择题 等比数列与函数零 5 易 0.78 点的综合 3 选择题 5 裂项相消法求和 易 0.72 4 选择题 5 并项求和法求和 中 0.65 选择题 5 奇偶项分组求和 中 0.55 数列在金融中的 6 选择题 5 中 0.50 应用 等差数列与函数、集 7 选择题 5 中 0.45 合的综合 等比数列与基本不 8 选择题 中 0.40 等式的综合 S.与aw间关系的综 9 选择题 6 中 0.60 合应用 10 选择题 等比数列前n项积 6 中 0.40 问题 11 数列在天文学中的 选择题 6 难 0.25 应用 等差数列与三角函 12 填空题 5 易 0.78 数的综合 等比数列与二次函 13 填空题 5 易 数的综合 0.71 数列求和与古代数 14 填空题 中 0.35 学文化 15 分段数列问题，等差 解答题 13 中 0.60 数列的前n项和 等比数列通项及前刀 16 解答题 15 中 0.50 项和，裂项法求和 等比（差）数列的证 17 解答题 15 中 0.45 明，错位相减法求和 ·73 ·数学· 参考答案及解析 等比数列的公共项 18 解答题 17 问题，放缩法证明数 中 0.40 列型不等式 数列求和的实际 19 解答题 17 0.25 应用 考答案及解析 一、选择题 1,A【解析】由题得，S。=1十3十5十…十(2n一1)十 7.A【解析】由6=a,=号，得6=a.十a:aX2 号+分+分+…+是=+2m1)Xm+ 1 =a十(m-1)d+a1,因为a:≠0，所以m=21∈ 2 [1,50],即1≤2-≤50.由2=16,25=32,2=64， -(合门=+1会故孩入 所以2≤2-”≤2，即2≤k≤7，所以满足等式的解k =2,3,4,5,6,7,故集合M中的元素个数为6.故 1一2 选A. 2.C【解析】由题意可得a:an=9>0,a十aa=m≥ 8.B【解析】设等比数列{a}的公比为g,则a,= 0,则a:>0,an>0,所以{a。}的奇数项均为正数，所 ag,即243=9g,解得g=3,所以a-号=是=1 以a>0,且a,=√aan=√=3.故选C. 3.B【解析】依题意a, 1 =√+T一√所 所以，=3,8=2=”，因为3a, 1一4 √n+m+T 2S.一730≤0恒成立，即3"1≤32一1十730恒成立 所以S=√2-1十尽-√2+…+√m+I-m √干了-1，由S.=√m+T-1=7,解得n=63.故 即以8+罗恒成立，曲基木不等式可得3十学≥ 选B. 729 4.B【解析】：1+2+2+…+2-1=2+2+2+… 2√3· 3 =51,当且仅当3=，即=3时等号 +2-1=1-2 一1-2=2”-1，…该数列为2-1，其前99 成立，所以A≤54，即实数入的取值范围为 (-∞，54].故选B. 项和为2-2”)-1×99=2-101.故选B 二、选择题 1-2 5.B【解析】当n为奇数时，a+:=a一2，a.+:一a.三 n+3 2 n为奇数 一2，所以数列{a.》的奇数项是首项为3，公差为一2 9.BCD 【解析】由S.= ,可得a1= 的等差数列.当n为偶数时，a,+=a。十2，a+g一a.= 受n为偶数 2,所以数列{a.}的偶数项是首项为0，公差为2的等 S,=-2,a,=3,当n为奇数且n≥3时，an=S。 差数列，所以数列{a,)的前2024项和为1012×3十 S1=一”3-”，=一n-1其中4符合，所以当 2 2 1012×1011×(-2)+ 012×0+1012×1011 n为奇数时，aw=一n一1，所以B正确：当n为偶数 2 2 ×2=3036.故选B 时a,=S-S1=受-（-”}+)=n十1，所以 A错误，C正确：又由a.a+t=一(n十1)(n十2)，则 6.C【解析】由题意，2023年存的2万元共存了10年， 1 本息和为2(1十0.02)万元，2024年存的2万元共 存了9年，本息和为2(1十0.02)万元.…，2032年 以数列 存的2万元共存了1年，本息和为2(1十0.02)万元， }的前n项和为T=-(分-号 dal 所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部 取回，他可取回的钱数约为2(1十0.02)0+2(1+ 号-+片-方+…+)=- 0.02)°+…+2(1+0.02)=2×1.02X102°-12 1.02-1 2(n+2),所以D正确.故选BCD ≈2.04×(1219-1业≈2.3万元.故选C 10.BD【解析】由于{a.}为正项等比数列，所以q>0, 0.02 由a:oaa2十1<a:n十a:2,得aga2g4十1一 74 高三一轮复习A ·数学· a:a一ag<0,所以(a2n一1)(a:4一1)<0，若0 S:一S成等比数列，则S,(S-Sm)=(S-S,), <g<1,则{a.}为单调递减的等比数列，由于0<a 由于S=10,所以S:-S=SS)= <1,所以0<a:<1,0<a:1<1,此时不满足 (a:a一1)(a:4一1)<0，故A错误：当q=1时，此 (S-10)9 10 ,则2S1:-3S十S=2(S:-S)+S 时a:2a=a:1:=a1∈(0,1)，显然不满足(a:aa-1) ·(a:4一1)<0，当g>1时，则{a。}为单调递增的 等比数列，由于0<a:<1和(a:aa一1)(4一1)< s=S-10-s,+10= 4 6 ,当且 5 0,可得0<a:2n<1,a2t>1,a12a1=(ag4)户， 因为a24>1,所以a生oaa:o>1,故B正确：对于 仅当S,=空时取最小值，故最小值为一 C,当n≥2024时，a.>1,当n≤2023时，0<a.<1, 14.4【解析】设第n层有a。个球，则a1=1,a:-a1= 则T。的最小值为T:,故对任意的正整数n,有T 2,a一a:=3,…,a,-a。-1=n(n≥2)，所以当n≥2 ≥T:,故C错误：对于D,因为ago十<2，则 时，an=a十a一a十a一a:十a4一a十…十a, a:on<2-:a:on<(2-a:)a:= a1=1+2+3+4+…十n=1,当m=1时. 2 -(atx-1)+1<1,Tm7=41a2a4n=a8盟> 1,Ts=(a:a:gt)3<1,所以使得T.>1的最 a=1也适合上式，放a,=nm-名[dn+1D(n 2 小正整数n为4047，故D正确.故选BD. 十2)一(n一1)n(n十1)]，所以这n层三角垛的球数 11.CD【解析】数列(a。}各项乘以10后再减4得到 数列(6，}：0,3,6,12,24,48,96,192，…，故该数列 之和为S,=a十a:十a,十…十a,=名[1×2×3-0 从第2项起构成公比为2的等比数列，所以b= ×1×2+2×3×4一1×2×3十3×4×5-2×3×4+ 3X2m≥2则么出=3×2，放A错误：从而 /0,n=1 …+(n+1D(n+2)-(n-1)n(n十1D]=行n(n+ a.=么+4=0,4n=1 +2,因为=a+Dm+2+3》 10 0.3×2:+0.4m≥2故B错误：设 S 1 6n(n+1)(n十2) 数列{a.}的前n项和为S.,当n=1时，S=a1 0.4:当n≥2时，S。=a1十a2十…十a。=0.4+0.3(2 ”片>1，所以S单调递增，当m=6时，S=名× 月 +2+…+2-）十0.4(n-1)=0.4n+0.3 6×7×8=56,剩余球数为60-56=4个，当n=7 1-2-4 1-2 =0.4n十0.3×21-0,3，当n=1时，S= 时，S,=言×7X8X9=84>60,所以利余球数的最 0.4也符合上式，所以S.=0.4n十0.3×2"-1一0.3， 小值为4个 所以S。=0.4×10十0.3×2-0.3=157.3，故C正 四、解答题 0,n=1 确；因为b= 3nX2,n≥2所以当n=1时，T 15.解：(1)设数列(am}的公差为d, 因为T,=h+h十b=a1十5+（一a:+10)十ag+5 =b=0,当n≥2时，T.=十2b十3b十…十b.= =a1+d+20, (2分) 0+3(2×2+3×21+4×2+…+n×2),2T.= 由T=24,得a4十d=4. 3(2×2十3×2十4×2十…十n×2+),两式相减 又因为T,=b+b+b,+b=a1+5+ 得-T.=0十3(2十2十22十…十2-2-n×2"-1)= (-a+10)+a1+5+(-a,+10)=30-2d, 3(2+22 12-n×2）=3(1-m)×2,所以 由T,=24,得d=3, 所以a:=1, T.=3(n一1)×2-，又当n=1时，T=0也满足上 故a.=3n-2. (5分) 式，所以T.=3(n-1)×2,故D正确.故选CD. (2)当n=2k,k∈N时， 三、填空题 T.=Th=十b十…十b-1十b 12.5【解析】由题得S=10(a+a)-5(a,十a,) 2 =a+5十(-a:十10)十十a4-十5+(-a十10) =15k-3k=12k, =10r,所以tanS。=tan3 3 n10a-3. 所以T.=6n: (7分) 13.- 当n=2k一1，k∈N时， 【解析】由等比数列的性质可得S,,S一S,· Tw=Tw-1=6十b:十…+b4-1=T4-b:=12k ·75 ·数学· 参考答案及解析 (12-6k)=18k-12, a.+1 三(n+1)·2 所以T.=9n一3. (10分) 4 、3 由Tm=T:(m≠15)，得m为偶数， a- 1…2 所以6=9X15-3,解得m=22. (13分) 16.解：(1)由S.+1=S+4a.-3, 2am+3X2-1- 了(n+1)·2* -=2, 得S.+1-S,=4a.-3, d.- …2 ∴ar+1=4aa-3, (2分) 则ar1一1=4(aw一1)， 故数列。，一子·2是等比数列，其首项为一子 a4-1=2-1=1≠0， 公比为2. (7分) .am-1≠0， .数列(a.一1}是以1为首项，4为公比的等比 （2)由@可知号=子十(-D×是-是一子 数列， 即a.=(3n-1)·2, (9分) ∴an-1=41=2-, (5分) 由@可知a-子a2=一吉×2 3 :b=1og(a.-1)十3， 即aw=(3n-1)·2-, (9分) .b.=log2-3+3=2n+1. (7分) 则S。=a1十ag十…十a。=2·21十5·2°+…+(3n (2)“6=(-1)4.1+6 -1)·2-, b.b.+i 2S=2·2°十5·2十…十(3n-1)·2-4, c.=(-1)1·2m+1)(2m+3) 2n十2 =(-1)+1, 两式相减得S.=一2·21一3·(2+2…+2-：) 十(3n-1)·2-1, (13分) (+2) (10分) ∴T.=G1十c十c十…十c 放8=1=8x号+8-0g =-1十3-3·2-1十(3m-1)·2- =[(合+)-（传+）+（号+号） =2+(3n-4)·2-1 (15分) 18.解：(1)设等比数列{b.}的公比为g, (-1r(市十)] (13分) 由6h+1=b.+:十9b., 当为奇数时，工=（信+十）》>言（5分》 可得6gb,=gb,十9b.: 易知6≠0， 17.解：(1)au+:=4au+1-4aw, 所以g一6q十9=0，解得q=3. ∴amr+2-2a+1=2(am+1-2an), 又6十b=30, 又：a1=1.a1=5, 可得6(1+g)=30,可得b=3, .a:-2a1=3≠0， 所以数列(b,}的通项公式为b.=3“, (4分) ∴a+1-2a≠0， 数列(a.}和{b,}的公共项需满足4n1十1=3，m, ∈N*, 从而一2兰=2， a+-2au 因此，数列{a+1一2a.)是以3为首项，2为公比的 可得m-3,即3的-1是4的整数信. 等比数列， 可知3-1=9学-1=(8+1)￥-1， 于是a+1-2a。=3×2-1(%). (4分) 由二项式定理可知(8十1)宁-1若是4的倍数， 证明：①一 -224=3X2 34 2 2 则受为正整数，即=2m,n∈N, 所以可得c.=3=9”, 即{c.)的通项公式为c.=9” (9分) 故数列{偿}是等差数列，其首项为子，公差为子 2易知8 1 (7分) 显然9”-8>91对于n≥2都成立， ②由(*)可知，a.+1=2a十3×2-，又a1=1,a1 ×1×2=- 以8一g品对于V≥2都成立。 所以1 2≠0 (12分) ·76. 高三一轮复习A ·数学· 即S=1十1 房屋补贴为5×0.08十5×0.08×2十5×0.08×3+ …十5×0.08×n=0.4×(1十2十3十…十n)= Co-8 0.2(n十1)万元， 所以y=5n(1十10%)-1+0.2n(n+1)+1.6m <1+日+…+ =0.2m+1.8n+5n×1.1-1,n∈N.(10分) 1-( (3)依题意0.2n(n十1)十1.6n≤5m(1十10%)- ×P%, 1-司 所以P%>号， =1+[1-(合）] 令a=0.2m+1.8 5X1,1可 =号-g(付）<号 令a.+1≥a2 {aw+1≥dw 即可得5<号 (17分) 0.2(n+1)+1.80.2(n+2)+1.8 5×1.1 19.解：(1)依题意第三年共有职工3×5=15人， 即 5×1.1" 基础工资为15×1×(1十10%)=18.15万， 0.2(n+1)+1.8、0.2m+1.8 5×1.1 5×1.1可 房屋补贴为5×0.08十5×0.08×2+5×0.08×3= 解得0≤n≤1， 2.4万， 医疗费为15×0.32=4.8万， 义neN且a,=名 所以第三年公司付给职工的工资总额为18.15十 2.4十4.8=25.35万. (4分) 所以当m=1或n=2时，a,取得最大值号， (2)设第n(n∈N)年共有5n个职工，那么基础工 所以P%≥号，则P≥40，则P的最小值为0， 资总额为5n(1十10%)万元， (17分) 医疗费为5n×0.32=1.6n万元， ·77高三轮复习周测卷/数学 8已每等比数判，的前发瑰和为S.,1=0.4=243,若关于n的不等式a.一25一7300恒 (十四}数列求和，数列的综合应用 成之，则实数1的取值范围为 (号试时间120分钟，满分150分》 A.1=0四.27 (=四，54 C.1一u,27) D.I-0,511 一，透择题（本大题共8小题，年小恩5分，共0分，在每小题给出的四个这明中：只有一项是符 二，进择需（本大鹭共3小避，每小题6分，共18分，在每小增给出的建理中，有多项符合避日要 合题目要求的) 求。全部选对的得分，部分主对的得第分分，有选情的得目分》 L数州1是好5君，7言…，2。一+号的做明程5.的植等干 宁为布香 9已短数列引山，1的前m项和为S,,且8. ,期 入十1一安 2城-+1-贵 元研为偶数 c.+ -+1 A.44=-11 且当为餐数时，a.=一#一1 2已知数列丛.是等比数列，函数()=一m'十与的零点分别是m4口，剧a,= C当m为再数时，a,一n+1 A±S 我士3 C.3 D.9 n数列的族行项和等下一2产 3.在数列@中，一 万其前n璞和S.-测 ]0已每各项均为正数的等比教到以，的前m项积为T,且调是0<4<1风十1<：一 a1m2,则 A.2 我的 A.CuI k4阳m> C.70 D.75 C.对任意的正整数M,有丁，丁时 D.使得T21的最小正整数#为407 4.数列1.】十2.1十2十2.“1+2+0十十2，…的前90项和为 11程去斯·效得定律星关于太阳暴中行星轨道的一个简单的几何学规期，它是在1766年由德国 A,2—99 线2-101 的一位中学老师藏帷新斯，提五所发观的，后来被输林天文台的台长破得日帕成+条定律，即数 C.294 D2”=101 列e,:0,40,7,1,1,6,2,8,5.2,10,.6,表示的是太阳系第w颗行屋与大用的平均距离 互.在数列4.}中，1一8,4：=0，且a.:=4。十2·（一11”，期数列2.1的锁2024项和为 〔以天文单位AU为单位x.现将数列山，的各明乘以0后再减4，得到数列么，可以发现数 L2024 我3036 列{(1从第3魔起，每则是前-…瑰的2倍，期 ,402 448 A,数列(6,1的第22图项为3×学 6.某人从2023年起，每年1月1日到眼行新存人2万元（一年定期1，年利率为2%保持不变，且每 且教到4，的通填公式为w,=03×21十0,4 年到期存款均自动传为衡的一年是周.若到203年1月1日将之前所有军款及利息全部取同， C数列a,)的前10项和为7,3 则他可取同的钱数约为（单位：万元） D.数列M1的mn项和T。一3(w一1)·2 参考数据：1,021,1所.1.02”1,219,102"=1.24 姓名 L,2,438 1k19.9 号 A 10 C.22.8 24.a 答案 气已如数到仙，是公是为4的等整数列，是公比为2的等比数列，且A一山一号，若集合M一 三、填空置（木大题共3小题，每小题5分，共15分） M=a十：，1w50,削集合M中的无素个数为 1之已好等是数列的前0项和为5，且十m一管则n5,一 L.6 7 C.8 D.9 13.已理S.是正度等比数列位.的前越明程，8，=10，期2S:一3S,十S,的最小值为 脑举第1直1共4直) 陶本金裤·先享敬·高三一轮想习居测韩十四 盐学第2方共4成》 可 14.南宋数学家杨辉斯著的（解丸意算法·商功中捐述了加图所示的形状，后人称为“三角燥”： 17.(本小避离分15分) 三角烯的最上层（即第一层）有1个球.第二层有3个球，第三层有6个球，+从第二层开始 设数列4》滴足a1=1a=5,且对任意的n长N”,都有0=4a。一4s, 解尽球数与上一层球数之差依次构成等差数列现有的个整球，把它门堆故戒一个三角燥，那 (1)从下面两个结论中这择一个进行狂明： 么剩余酯球的个数量少为 ①数列告是等卷数到 ②数%，一·2是等比数列 (2)求致列引山.的前m壤和S. 注：如果达择多个条件分可解答，按第一个解答计分 四解著幕（本大题共5小围，共7分。解答应写出必费的文字说用.正明过程成演算步骨） 15.(本小题满分13分) 山。十5，馨为奇数， 18.本小题清分1？分)】 已知数列{口.》是等羞数列，6 记T.为数列点1的前n项和，且于=T, 一。十10，为偶数， 已数罪引的通到公式为a。一w十1，数判6}是等比数列，且而十6一30,6。：一A =24, +k 日)求数列u,的通项公式： (山)将数列引山.)和引61的公共衡组成的数列记为{，，求，的通项公式： (2)若T.-T(w≠15)，求m的值 2记数列十司的前“项和为5任明：成<是 19.(本小题满分17分) 某公司实行年薪制工蜜站构皮革.孩公可从22的年品，每人的工觉由只个算口构成，并按下表 烂定实值： 壤日 金概万元/（人·年）门 性质与计算齐送 18.(本小题离分15分》 转电到物价供素，决定从22】年期年年详神0%（与入取甲 从上资 222年某确工餐为1月元 已知8为数列a.的前w项和41=2，S,1=5,十44，一3，记6=1g:a。一1+1， 限无关.的门年燕本工资为1万元》 (1)求数列6的延明公式： 房援林溶 几4万元 从迎年起，夜职工列公项年限计算，每年送增0，G谢万元 2)已每么-一…法之，起数列的政项和为工末证：当n为奇数时：工，>青 医疗餐 化程万元无 网定不度 如果该公可2023年有5位职工，计划从024年起每年新n5名科工.若024年算第一年。 (1)求第三年公问付给队工的工贤总领： 〔2)来第n年该公司情给职工的工赏总细y《万元》关于年限知的函数： 〔3)若公司句年发给期工的工餐总频中，房候种船和因疗费之释总是不会机过基础工资总棚的 P%,求P的最小值 脑举第3直1共4直) 陶本金裤·先享敬·高三一轮想习居测韩十四 曲学第4方（共4成） 可