(12)正弦定理余弦定理解三角形-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（A卷）

高三-轮复习周测卷/数学 8记我角凸A拟C的内角A,B.C的对边分别为年，b-F,已知omB一om2A=c,且△ABC的外接 (十二}正弦定理、余弦定理、解三角形 属半径为2，期△ABC周长的取值他用是 (号试时间120分钟，满分150分》 A4唇，6] 4,63) C(6+2原，45] D.(6+2万.0E) 一，透择题（木大题共8小题年小题5分，共40分，在每小题给出的四个这明中，只有一填是符 二、进择题（木大题共3小愿，每小想5分，共18分，在每小题给出的这项中，有多项符合题日要 合题日菱求的) 求。余部选对的得行分，部分悬对的得军分分，有选情的得0分 L记△ABC的内角八..C的对边分别为a,6已知恤一复-店b.腾始B 9,记△A程·的内角A,B,(矿的对边分朋为e,F,则 A=2+a2-2an告+ 十 A告 c n 业地A十nB加C C若im>inB,则C>目 D,若A>B,别>6 2.记△AC的内角A.B.(的对边分划为ah,r,已知4=3，b=4c=/.期C= 1Q在平面直角生标系中，已题△AC的三个顶点的生标分刚是A(0,2,B(们，0)，C4,11,网 L90 我60 C45 0.30 A.sin Acsin C 3.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,6,r,已知b=2,A=80',△ABC的面供为23，用a= B,△AC为锐角三角形 A.12 2万 c.2 D.4 C△A以的童积为 L记△ABC韵内角A,品，C的对边分别为a,b,已知1+e0sA-士，财△AC的形线为 D△AC的外接圆举径大于名 A直角三角形 我等题三角形成直角三角形 11人一场是南昌市的心藤地带，是江再省最大的城市中心广场，人一南昌起义记念落为八一 ,正三角思 山等银三角形 场的标志性建筑，现某兴葱小组在备在八一广场上对八一南昌总义纪念塔的高度证行侧量，辩 5.中国古代四大名棱树素楼，位于山丙首运就市水济市雷州镇，四唐代诗人王之南的诗作：登利蜜 给渊出周量方案示意图，A为纪念将量度端，B为记念精的基座（甲B在A的正下方1，在户写 楼》面瓷芳后处，如阴，某可学为测量钢金楼的高度MN,在然雀楼的正东方向我到一康建筑物 内（与召在同一水平面内远取，D两点，鹅得CD的长为想，兴理小图成员利用测角仪可测得 AB,奔钓为37m,在胞国上点C处，C,N三友共线)再得建英将顶部A,蓟蜜楼度部M的种 的角有∠ACB.∠AD,∠BCD,∠AC,∠BDC,则根据下列各组中的测量数据，低计算出园 希分别为30和45，在A处测得楼顶那的们角为15”，则题宿楼的高度约为 念搭高度AB的是 A,74m A,m+∠AB,∠D,∠BD 我60m B.w,∠ACB,∠BCD,∠ACD ,52m C,m,∠CB,∠ACD,∠ADC D.91m Dm,∠AB.∠(BD,∠BD 姓名 0.记△AC的内角A,B,C的对边分别为a,b,,已知c0sC+3m%B-25.C-琴，且△ABC的 题号 面期为65，雨AB边上的中线长为 答案 A.2 我西 心25 0.4 三，填空题木大题共3小题，每小题5分，其16分) 7.第九国中国际“互联网十”大学生创业大春于023年10月16日至21日在天律举办，天律市 以此为契既，加快推进“G+允网”双千先城市建设，如周，某区县区规地而有国个基结A, 1之，记△的内角4，，C的对边分别为a,be,已每a=26=10,号，则= H,.D已每C,D两个基拾追在河的南岸，距离为103k,基站A,B在河的北岸，测得∠MH 13.记△AC的内角4，B,C的对边分别为，己知4一，B-4,C-6,喇b- =75,∠ACD=120,∠ADC-30,∠4DB=45,属A,B周个基站的师南为 △A怕外接同半径为 ,‘本题第一容？分，第二室了分) A.10/6 km 1H记△AC的内角A.i,C的对边分别为ae,已知nCaB-1,且a十6=4，则 k0唇-1)km 6 △AC周长的取值度围为 ,△AC童的最大值为 ,《私题第一室2 C.15 km 分，第二空3分) D.105 kmn 脑举第1直1共4直) 陶水金酸·先享酬·高三一轮想习周脚餐十已 位学第2方（共4成 可 四、解菩墓（木大题共5小题，共7分，解答家写出必竖的文字说明，证明过程或清算步艘） 18.(本小避离分17分) 15.(本小题清分1a分》 如图，在△ABC中，D是C边上的一点，a一∠BAD,-∠DC 是滑存在△A以，它的内角A,出，C的对边分薄为a,,,且mA=反m4,C= 山明，兴：品等 (2)若D为靠近B的三等分点，AB-27,AC-2,3-90,∠BC为纯角，求Sko 在以下三个条件中任选个，补充在上面的横线中并求解，若间中的三角形非在，求备的值： 若问避中的三角形不存在，请说明理向。 0eow+6e0w4=2:@△AC的面积为239unA=G 注：如果这样多个条作分别解答，期花第一个解答计分。 1乐.（本小题满分15分》 尼△ABC的内角A,B.C的对边分别为，b,c,已知(2一e1osA=ac0sC. (1)求A: 2)若4-2后，Bi,C-号∠B1C的平分浅安C下点D,求AD的长. 19(本小藏清分17分) 某海岸的A市所在液是I点15分发现用所北偏东0方向Dnm©处的D点出现可疑船只 同天气《劣能里度低，无法对图只连行识别，所以将该船雷达特征信号通行标记并上推周周精 所.早上5点15分位干A射所正丙方向20nm的B晴所发观了资可疑船只位干B南所北 偏卤30方向0nme处的E点，并识别出其为走，船，立刻命令位于B精所正再方向 的nmie处C点的我方饵私船前法拦酸，已知惧马船的速度大小为0 n mile/(假设所有船 只均煤持匀速直线航行) (」)Q走高船的速度大小： 17.(本小邀清分15分) (2)份私船滑什么方向行驶才能量快戴失走和船？求尚候获走名船的具体时可 已知成数2一店nosr一c0s+壹（上∈R )当[音对，求的植城： 记△A拟的内角1，B,C的对边分谢是年，，已知=25,6=f合=0，求△A的 面机 脑举第3直1共4直) 陶水金酸·先享酬·高三一轮想习周脚餐十已 曲学第4方（共4成） 國高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十二） 9 品题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ，应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算 ⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅢN ① ② ③① 档次 系数 1 选择题 由两边及一角求角 易 0.80 2 选择题 5 由三边求角 易 0.78 3 选择题 面积公式的应用 易 0.72 利用余弦定理判断 4 选择题 5 中 0.65 三角形的形状 5 利用正弦定理测量 选择题 5 中 0.55 高度 利用正、余弦定理解 决三角形的中线长 6 选择题 5 问题，与平面向量的 中 0.45 综合 利用正，余弦定理测 7 选择题 量两点不可直达的 5 √√√ √√√√ 中0.40 距离问题（解多个三 角形) 三角恒等变换，利用 三角函数求锐角三 8 选择题 5 √ √ √ 中 0.35 角形周长的取值 范围 对正、余弦定理的 9 选择题 6 易 理解 0.72 10 选择题 点的坐标与解三角 6 中 0.40 形的综合 11 选择题 测量高度的方案设 6 中 0.35 计问题 由两边和夹角求第 12 填空题 5 易 0.78 三边 ·63· ·数学· 参考答案及解析 利用正弦定理解三 13 填空题 5 角形，求外接圆的 中 0.50 半径 三角恒等变换，利用 14 填空题 5 基本不等式求面积、 中 0.35 周长的最值 15 解答题 利用正、余弦定理解 13 中 0.65 决三角形存在问题 解三角形与平面向 16 解答题 15 中 0.50 量的综合 17 三角函数与解三角 解答题 15 0.45 形的综合 中 利用正，余弦定理证 18 解答题 17 明恒等式及解多个 中 0.40 三角形 利用正、余弦定理解 19 解答题 17 决航海中的角度 中 0.35 问题 香考答案及解析 一、选择题 =180°一∠MAC一∠ACM=30°，由正弦定理得 1,B【解析】由正弦定理知A一B则mB一 b n0可，故MC-新·m4行=74E. AC MC bsin A 2③ 在Rt△MNC中，MN=MC·sin45=74.故选A. 6.B【解析】由正弦定理及3 beos C十3 ccos B=2b,得 a 3sin Bcos C+3sin Ccos B=2sin B,3sin A 2.B【解析】由“=3，b=4,c=13及余弦定理，得 2sinB,所以3a=2b,设a=2k,b=3k,k>0,由面积公 sc-+”_+压)-因为0 2ab 2X3×4 式saw=7 sinC.得×2k×3k×号=39= 22 <C<180°，所以C=60°.故选B. 6√3，解得k=2,则a=4,b=6,设AB边上的中线为 3.B【解析】因为△ABC的面积为25，所以宁sm60 CD,则ci=号Ci+号C成，可得c市=上C本+ =号e=2B,解得e=4,由余弦定理得a 2i.成+迹=子×36+2×6×4×合+日 √+c-2bcos60=23.故选B. ×16=19,即|CD=√9.故选B. 4.A【解析】因为1十cosA=生，所以由余弦定理得 7.D【解析】在△ACD中，∠ACD=120°，∠ADC= 30°，则∠CAD=30°，则AC=CD=10√3，AD= 1++女一口_=什，整理得心=行十a',则∠C 2CDos30°=30，在△BCD中，∠BCD=120°-75°= 45,∠CBD=180°-45°-30°-45=60°，由正弦定理 90°，则△ABC的形状为直角三角形，故选A AB 得三 CD BD 5,A【解析】在R1△ABC中，AC= sin ZACB /CBDsin2cD·即0S=BD」 sin60一sim4行，解得 BD=10√E,在△ABD中，由余弦定理得AB=302+ sm30=74,∠ACM=180°-∠ACB-∠MCN= 37 (102)-2×30×10√/2Xcos45°=500，所以AB= 105°，∠CAM=15°+30°=45，在△ACM中，∠CMA 10√5.故选D. ·64. 高三一轮复习A ·数学· 8.C【解析】因为acos B一bcos2A=c,所以由正弦定 △ABC的外接圆半径为R,则2R= b 17 理得sin Acos B-sin Bcos2A=sinC,又A十B十C= sinB 72 π，可得sinC=sin(A十B)=sin Acos B+cos Asin B, 10 所以sin Acos B-sin Bcos2A=sin Acos B+ 号/3=70>778=号×28=4，则R> cos Asin B,即-sin Beos2A=cos Asin B,因为B∈ (0,r).所以sinB>0,可得cos2A十cosA=0.即 2,故D正确.故选CD. 11.ACD【解析】对于A,由m,∠BCD,∠BDC可以 2cosA十cosA-1=0.解得c0sA=号或c0sA=-1 解△BCD,又AB=BC·tn∠ACB,可求塔高度 （会去)，因为AE0,所以A=号则nA=号 AB,A正确：对于B,在△BCD中，由CD=m, ∠BCD无法解三角形，在△ACD中，由CD=m, 又因为△ABC的外接圆半径为2，所以a=2 rsin A= ∠ACD无法解三角形，在△BCA中，已知两角 4×5=25,b=4sinB,c=4sinC,则a+b+c=25 ∠ACB,∠ABC无法解三角形，所以无法解出任意 2 三角形，故不能求塔高度AB,B错误：对于C,由CD +4sin B+4sin C=2/+sin B+4sin (-B)= =m,∠ACD,∠ADC可以解△ACD,可求AC,又 AB=AC·sin∠ACB,即可求塔高度AB,C正确： 2V3+4sin B+2 3cos B+2sin B=23+43 sin(B 对于D,由∠CBD,∠BCD可求∠BDC,在△BCD 中，由正弦定理可求BC,在△ABC中，由BC, 十吾)，因为△ABC为锐角三角形，且A=晋，所以0 ∠ACB可求塔高度AB,D正确.故选ACD, 三、填空题 <B<受且0<行-B<受，解得若<B<受，可得 12.5√/7【解析】由已知得a=10,b=5,由余弦定理得 2=a"+b-2 abeos C=10+5-2×10×5× 晋<B+晋<，所以如(B+晋)∈（气1]所以 (-号)=175，故e=5. a十b十c∈(6+25,65].故选C. 13.√6√5【解析】由题得A=180°-45°-75°=60°， 二、选择题 9.BCD【解析】对于A,在△ABC中，有b=2十a 2 aceos B=-+a+2 acsin(受+B)成立，A错误：对 由正弦定理可得6=asin B 2 =/6,设△ABC sin A 3 于B,由正弦定理知 sn7snB-snC=2R(R为 的外接圆半径为R,则2R=A=25,则R=万。 △ABC的外接圆半径)，故smA+snB a十b 14.[6.8)√5【解析】bsin C+ccos B=a十b及 2AD=2RCB正确：对于C,在 正弦定理，得J5 sin Bsin C+sin Ccos B=simA+ sin A+sin B sinB,所以W3 sin Bsin C+sin Ccos B=sin(B+C)+ △ABC中，sinC>sinB,由正弦定理得c=2 Rsin C> sinB,即V/5 sin Bsin C=sin Bcos C+sinB,因为0 2 Rsin B=b,故C>B,C正确；对于D,根据三角形中 B<π，所以inB≠0，所以v3sinC=cosC+1,即 大角对大边可知若A>B,则a>b,D正确.故 选BCD. sinC-cosC=1,于是有2sim(C-若）=1，因为 10.CD【解析】由题得c=AB=5,b=AC=√17，a 0<C<,所以-吾<C-晋<晋，所以C-吾 =BC=√ID,所以c<a,由正弦定理得sinC< sinA,放A错误，由余弦定理得cosB=10+5-1☑ 吾，即C=号，由余弦定理得c2=(a+b)-2ab 250 =一侣<0，所以角B是钝角，放B销误：曲s血B十 2 abos C:mr=(a+b)'-3ab≥(a+b)2-子a 十b)”=4,解得c≥2，当且仅当a=b=2时等号成 osB=1.得如B=2沿，则△AC的面积为宁 立，又c<a十b=4,所以2≤c<4,所以6a十b十d <8,即△ABC周长的取值范围为[6,8)，因为a十b ×如B=专×V而×后×语-子故C正确：设 =4,所以ab≤（生）'=（告）广=4，当且仅当a=b ·65· ·数学· 参考答案及解析 =2时等号成立，则S6w=absin C≤分×4X写 得s= =√3，所以当a=b=2时，△ABC面积的最大值 所以bc=3, (9分) 为5. 由1)知A=号 四、解答题 故由余弦定理得a=:十c2-2 bccos A=(b十c)- 15.解：由sinA=√2sinB, 36=(b十c)2-9 可得a=√2b, (3分) 因为a=2√5 则2=a2+b-2 abeos C=b, 所以(b+c)2-9=12, 故b=c. (6分) 解得b+c=√②T, (12分) 若选择条件①： 由S△e=SAABD十SAD, 因为acos B十bcos A=2, 所以由余弦定理得a·。十一止+6 6+c2-a 得cs号-b:ADsin吾+c·ADsn吾 2ac 2 =c=2, (9分) besin号 所以AD= 则b=c=2,a=2√2， (b+c)sin晋 7 则三角形存在且b=2. (13分) (15分) 若选择条件②： 因为b=c,C=平 17.解：0由题得/)-号m2x-1十g2+之 2 所以B=子A=受， (3分) 则△ABC为等腰直角三角形， (8分) 由e[-], 故SAe=号x=2,即c=4, 2 得红晋[-吾]， 所以e=b=2,则a=22, 此时三角形存在且b=2. (13分) 数e[号] 若选择条件③： 由c=b,a=√2b=2c, 即1x)的值城为[-.1] (7分) 得A=受， (8分) (2)由(1)得f(生)=sim(A-号)=0，且A∈(0， 由asin A=c, r), 得a=c,矛盾， 故A=吾 (10分) 所以三角形不存在。 (13分) 又a=25,b=6, 16.解：(1)因为(2b-c)cosA=acos C, 由正弦定理得(2sinB-sinC)cosA=sin Acos C, 则cosA=36+-12_-E 12c 2 (2分) 即c2-6√/5c+24=(c-2/5)(c-45)=0, 则有2 sin Beos A=sin Ccos A十sin Acos C=sin(A +C)=sin B, 解得c=2V3或c=4√3， (13分) 因为B∈(0，π)，sinB≠0， 所以Sac=之bcsin A=35或65. (15分) 所以2cosA=1, BD 得c0sA=立 1 (5分) 18.解：(1)在△BAD中，由正弦定理得sm∠BAD AB 因为A∈(0，π)： sin∠BDA' 所以A=受 (7分) 所以BD=ABsin a sin∠BDA' (2分) (2由耐C=号， 在△CAD中，由正弦定理得n∠DAC DC ·66. 高三一轮复习A ·数学· AC ∴.DE=√BD+BE=403 n mile, sin∠CDA' 所以DC ACsin 8 sin∠CDA' (4分) u=40,3-105 n mile/h. 4 因为∠BDA十∠CDA=180°， .走私船的速度大小为105 n mile/h. (8分) 所以sin∠BDA=sin∠CDA, 所兴品 ABsin a ACsin B AB·sing,得证. AC·sin3 (7分) sin∠CDA (2)因为B=90°，所以DA⊥AC, 因为∠BAC为钝角， 所以a=∠BAD为锐角， 又畏想：品D为常近B的三等分点，A8 (2)连接CE, 2V7,AC=2, 设在F点处截获走私船，截获走私船所需时间为， 所以-2如g ,BE=60 n mile,BC=30 n mile,∠CBE=60°， 2sin B ∴.CE=√/BE+BC-2BE·BCcos60 解得sina=' (12分) =30√3nmle, BE=BC十CE, 故在△ABC中，由余弦定理得BC=AB十AC ∴.∠BCE=90°.∠BEC=30°， 2AB·ACcos(a+90)=32+8√/7×sina=36, .∠CEF=120°， 故BC=6, :走私船速度为l0√n mile/h,缉私船速度 所以DC-号X6=4, 为30 n mile/h, ∴.EF=10√5 t n mile,.CF=3 Ot n mile. (13分) 则AD=√DC-AC=23, 在△CEF中，由余弦定理得CF=CE+EF-2CE 放Sam=AD·AC=2E (17分) ·EFcos120°， 19.解：(1)连接BD, 即900r=2700+300t-2×30V3×10W5tcos120°， ,D点位于A哨所北偏东30°方向20 n mile处， 化简得2￥一3t一9=0， ∴.∠BAD=90°+30°=120°，AD=20 n mile,. 解得1=一是（舍去）度1=8… .'AB=20 n mile, ∴.BD=√/AD+AB-2AD·ABcos120 此时CE=EF=30√3 n mile, ∠ECF=30°， =20√5 n mile ∴.当缉私船沿北偏西30°方向行驶时能最快截获走 .AB=AD. 私船，截获时间为3小时后即早上8点15分. .∠ABD=∠ADB=30°， (3分) (17分) E点位于B哨所北偏西30°方向60 n mile处， ∴.∠DBE=90°-30°+30°=90°，BE=60 n mile, ·67