(11)平面向量及运算、平面向量在平面几何及物理中的应用、复数-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（A卷）

高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十一）》 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V,数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑤数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) V ⊙ ② ③④ 5 ⑤ 档次 系数 复数的运算，共轭复 1 选择题 易 0.80 数，求复数的虚部 复数方程的求解，求 选择题 0.78 复数的模 3 选择题 5 复数的三角形式 易 0.75 平面向量基本定理 4 选择题 5 易 0.72 的应用 5 选择题 向量的夹角，投影 5 中 0.65 向量 与复数模相关的轨 6 选择题 5 中 0.55 迹问题 与平面向量有关的 选择题 新定义问题（数学文 中 0.40 化) 求数量积的取值 8 选择题 中 0.35 范围 9 选择题 平面向量的坐标 6 易 0.72 运算 10 选择题 6 复数概念的综合 中 0.60 平面向量与三角形 11 选择题 6 的外心、重心，垂心 中 0.40 的综合 与向量垂直有关的 12 填空题 5 易 开放题 0.71 平面向量在物理中 13 填空题 中 0.45 的应用 14 填空题 S 向量与基本不等式 中 0.35 的综合 复数的分类，复数的 15 解答题 13 易 0.82 几何意义 ·57· ·数学· 参考答案及解析 平面向量的模长与 夹角公式的应用，由 16 解答题 15 中 0.65 向量夹角为锐角 求参 17 解答题 15 复数与向量的综合 中 0.60 平面向量与三角函 18 解答题 17 数的综合 中 0.55 19 解答题 平面向量、三角函 17 中 0.40 数，不等式的综合 香吉答案及解析 一、选择题 1.D【解桥】由题得=告1-3士i oma,b-日-之因为0<a,b)≤180.所以 -11-1)(i+1 1=-1 (a,b)=60°.故选C 2i,则x=-1十2i,故x的虚部为2.故选D. 6.D【解析】设：=T十i(x,y∈R),在复平面内对应 2.A【解析】因为2x=1十，所以之=2 1 的点P的坐标为(x,y),由x十2i=1,得x十(y十 2)i川=1，即x2+(y十2)=1，因此点P(x,y)在圆C: 2+=号+所以4-D: 2+i x2+(y+2)=1上运动，圆心C的坐标为(0，一2)， 半径r=1,又|x-3-2i=|(x-3)+(y-2)i1 1-i)(层+)=是-吉，所以11-0 √(x-3)+(y-2),于是|：一3-2i可以看成是点 P(x,y)到点A(3,2)的距离，显然此点在圆C外，所 √)+()=故选A -3-2i=PA I=I ACI-r= 3.B 【解析】由题得=之-则 √32+(2+2)-1=4.故选D. 2 7.A【解析】由题意得O市=(cosa,sina).O友=(cos, 2 sn),O求=(cosa,-sina),则cos(P,Q)= 是+ o求.00 lOP0 =css计sin asin,g=子，又an atan月 (合)（合+） 2 sin asin B cos acos 8 7sin asin B. 1 cos acos B 4.C 【解析】如图，由题意可知A方=号(Ai+AD),F .sin asin B= 2 s=五，放1-eos(Q.R) 1 是BE的中点，所以A萨=号店+号范=之A店+ 1-cosin asin2=1-(径-立)=子故 言(AB+A)=吾A+Ai.故选C 选A D 8.C【解析】由题得B正·AF=(BC+C正)· (AC-CE)=BC.AC+CE.(AC-BC)-CE= BC·AC+CE·AB-C产，又BC·AC (Bi+DC)·(AD+DC)-(-AD+DC)· (AD+D元)=D心-A)=9-4=5,且CE=1,所 以B求.AF=5+CE.AB-1=求.A方+4.设CE与 5.C【解桥】a+2b在a上的投影向量为a+2b)·a A的夹角为0∈[0，x],则B成·AF=|CE|· a ‘日-0b.a=30,所以士2ab-8,整 |AB|cos0+4=4cos0+4.因为cos0∈[-1,1]，所 a 以BE.AF∈[0,8].故选C. 理可得a·b=a,所以|a||bcos(a,b》=a, 二、选择题 mab--合又1-21a:所以 9.BD【解析】因为向量a=(-1,2),b=(2,5),则a +b-(1,7),A错误：a-2b=(-1.2)-(4,10)= ·58· 高三一轮复习A ·数学· (一5，-8)，B正确：令O为坐标原点，则Oi=Oi+ |b|=2|a,得√r+y=25,把y=2x代人，得 AB=(2,3)十(-1,2)=(1,5)，则点B(1,5),C错误； 5.x2=20,解得x=士2，所以b=(2,4)或(-2， 2a十3b=(-2,4)+(6,15)=(4,19),D正确.故 -4) 选BD. 18.-号 【解析】设船的实际速度为，则v=十， 10.AD【解析】对于A,若=1十i,=1一i,则 =|,但与不相等，A正确：对于B,设=u 北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处， 十i(a,b∈R),若1=2，则2=a一i,而(a+i) 则⊥”，所以￥·=0，即（十）·=· =a2-形+2abi,(a-i)2=a2-b-2abi,故≠4， ||·cos0+:=32cos0+16=0.解得cos0= 1 B错误：对于C,当1=1十i,=1一i时， 2 |十2|=2=|一2，而=2≠0，C错误：对 于D,设=a十i,=c十d,则·=(a十)· (c十di)=(ac-bl)+(ad+x)i,则·=(ae bd)-(ad+bc)i,z.z=(a-bi)(c-di)=(ac- b)一(ud十)i,因此1·=1·2，D正确.故 选AD. 1.ABD【解折】对于A.因为O心=2Gi,所以OG Oi.因为G为重心，所以G+G成+G式=0，所以 143+22 【解析】连接AO,因为Bd=2O心，所以B0 3 Oi-0G+oi-0元+O元-O元=0.所以OG 号武，所以A0=A店+B0=店+号C=A店+ = 号Oi+0成+00，所以号0i=号(0i+0i+ 号(C-A)=号A店+号A花.又A访=mA,A衣 O心)，所以O产=OA+OB+OC,所以A正确：对于 B.Sam=专K BCX h,Sar=号X BCX h:,由于 =nAd.所以A0-受Ai+A衣.因为M.O.N三 G是重心，所以么=专，所以Sam,=专Sa…同 点共线，所以号+智-1，由图可知m>0,>0,所 理Sm=子S=分Sam,所以Sam 品+-（偏+）（肾+受）-号(3+兴+ SAao=Sac,所以B正确：对于C,A方=AG+G前 积）≥号(3+2√只·票)-+2，当且仅当” 3 =2GM+2OG=2(OG+GM)=2OM,所以C错 误：对于D.Oi=3心.所以M心=号Mò+号Mi, -红，即m=3V2-3,M=6一2时取等号，所以品 2 所以G成=子Oi+H成，所以A店+AC=2AM +二的最小值为3+2区 3 6GM=6(是O+号HM)=4Oi+2Hi,所以D 正确.故选ABD. M 四、解答题 15解：(1)因为x是纯虚数， 所以/m+m-2=0 1m十2≠0 解得m=1. (4分) (2)之十1=(m+m-2)-(m+1)i, 三、填空题 若十i<0,则x十i为实数， 12.(2,4)或（一2，一4）（填写其中一个即可）【解析】 故m十1=0， 设b=(x,y),由a⊥b,得2x-y=0.即y=2x,由 解得m=一1 ·59. ·数学· 参考答案及解析 此时x=一2，符合题意， 即m的值为一1. (9分) (-3,-2) (8分) (3)因为：在复平面内对应的点位于第一象限， (3)因为A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四 所以m十m-2>0 边形， 1m+2<0 所以AD-BC (10分) 解得m<-2, 设A(xy), 故m的取值范围为（一©∞，一2）. (13分) 则Ai=(3-x,5-y) 16.解：(1)由a+2b=√3T,两边平方得a+4a·b+ 4b=31. 因为心-(-3，-)： :|a|=5,b|=2, /3-x=-3 .3+4a·b+4×4=31, 所以 -=- 解得a·b=3, (4分) /x=6 e01:fa-9, a·b 解得-号 0e[0,m], 0=吾 即点A的坐标为(6，号) (15分) (6分) 18.解：(1)因为1=2sin0-√3i,=1+(2cos0)i, (2)向量m,n的夹角为锐角，等价于m·n>0且m, n方向不同. 所以·=(2sin0-√3i)·[1+(2cos0)i门 ,.m·n=(3a-b)·(a十kb)=3a2+(3k-1)a· =(2sin 0+2/3cos 0)+(4sin 0cos 0-3)i, b-b2=5k+6>0, 且·为实数， 解得>一总。 (9分) 所以4sin0co80-√5=0， 若m,n方向相同，设n=m(>0), 甲如沙号。 (5分) .a十b=A(3a-b)=3a-b, :a,b不共线， 又因为0（借，爱）， 所以20e(停，要)： 解得二号6=一宁 所以20-经，即0-青 (9分) ,m,n方向不同， (2)由题意可得a=(2sin0,-√3).b=(1,2cos0), 学号 (14分) 因为(2a-b)⊥(a-2b), 所以(2a-b)·(a-2b)=2a+2b-5a·b=0, 综上所述，k的取值范国是(-号，-号)U 即2(4sin0+3)+2(1+4cos20)-5(2sin0 23cos0)=0, (3+∞）力 (15分) 化简可得sin0一尽cos0-号 17.解：(1)复数=2+i在复平面内对应的向量AB =(2,1) 所以m(0-晋)=寺 (13分) 复数=一1十ⅱ在复平面内对应的向量驼 又因为0e(任，晋) =(-1,a), 复数=一2+i在复平面内对应的向量心 则0-∈(-若，受) (-2.1), (3分) 则AE=Ai+B2-=(2,1)+(-1.A)=(1,A+1), 所以cos(0-吾）=√1-im(0-吾)=子 因为A,E,C三点共线， (17分) 所以存在实数k,使得A正=kE式】 19.解：(1)因为g(r)=cos(r+答）-sim 所以(1，A+1)=k(-2,1), 解得=一以一 1 (6分) 2 cos -sin r-sin (2)BC=成+成=(-1，-2)+(-2.) 3 sin r+3 cosr. ·60. 高三一轮复习A ·数学· 所以函数g(x)=cos(x十若）-sinx的“作随向 sin(r+号) 则不等式等价于> -tan(+ 量=(-是》 (3分) cos(x+)】 所以1a-√层+- (5分) 晋)恒成立， (2)因为向量OM=(1W3)的伴随函数为(x), 此时[-an(r+号)门=-5， 所以g(x)=sinr+V5cosx=2sin(r+号)） 所以>一√3： (13分) 则不等式(x)+g(x+受)>0恒成立， 当登<+音<晋即吾<r<受时。 即sim(r+受)+ksin(x+受+晋)>0恒成立， cos(r+音)<0， 即sim(x+)+kcos(x+号)>0在xe[o,受)上 sin(r+号) 则不等式等价于k< -tan(r+ 恒成立， (7分) cos(x+号)】 由e[0,受)： 晋)恒成立， 得+音∈[受，爱) 此时-m(+子)>。 当x+吾-受，即=吾时 所以气， cos(r+若)=0. 则不等式即为1>0成立， 综上所述，实数：的取值范围为（一厅.] 此时k∈R: (10分) (17分) 当登<r+号<登，即0<r<若时， cos(r+)>0, ·61·高三轮复习周测卷/数学 如用，在△AC中，D为AH的中，AB■4，D回，EF是慨心为C.半径为1的圆的诗直径， (十一)平向量及运算，平面每量在平面几何及物理中的应用、复数 划正，AF的取值慧侧是 (考试时间120分钟，满分16山分) A【-2aj B[-1,7j 一、选择题（本大题共8小翘.蜂小题后分，共0分。在每小题给出的四个连项中，只有一顺是符 C[0.8则 合思日要求的 D[1.9] 1,已知复数=告则：的廊为 二，盏择驱（木大题共3小题，每小思专分，共18分，在每小题给出的这项中，有多填符合题日要 求。全都选对的得6分，部分这对的得军分分，有选错的得分) A.i I 9.已每向量日1一1.2).b=2,5),期 C-2 .2 A.4+b=17,1) 2.已如复数意满足2e一1十z,则(1一市· .2-2b=1-5,-81 A要 我3面 G10 D.3/18 C若1B-8且A2,a)-则B3.1) D2a+3=(4,191 已知复数一o哥-亭期 10,已知复数5.则 马 马 A若：=：，则：与：可能不相等 B若-，刚=对 c-+4 n-- C若十=一.则=0 4.已知在平行四边思AB以D中，AE-2E成，E序-Fi,刚 D”=1· 1】数学家赋拉在1码年发表的（三角形的儿利学一书中提出定理，三角形韵外心，重心，垂心依 -丽+西 且矿-号店面 次位于间一条直线上，且重心到外心的甲离是重心再垂心甲离的一半·比直线被称为三角形的 c-+西 山正-+西 做拉线：该定理刚被醉为欧抢线定理，设点(，G,H分料悬△A风的外心，重心，垂心，且M为 以的中点，则 5.已知非零向量a与满足引b!一2a,#十2b在辱上的投唇向量为3a,则a与b的夹角为 A.0i-0+0延+ A30 我4行 B.Saum-52i0-Sa C,0 1D09 C,1H=3 6.已知复数：词足1：十=1行为最数单拉)，则：一3一方的最小值为 D.AB+AC-40M+2 HM 47 我G 挤拔 姓名 分数 C.5 D. 7,我国人脸识别技术处于世界领先跑位.所谓人验司料，就是利用计算机检两棒本之间的相似皮， 答案 余弦原离是检测相配度的常用方法.要设二维空问中有两个点A工，，，B(身)，O为坐标 三，填空置《本大题共3小题，每小题5分，共15分) 原点，余弦相似度为胸量O,币夹角的余弦值+记作e如s(A:B:余盘距离为1一c0s(A.).已如 12已向量a=(2,一1，月时足条作①a⊥b,②b=2ù的+个向量B的隆标为 Pe0ne小白a》,Qeo.nD,R(6om一n,若P,Q的余弦矩离为子ng.tan产，则 13.某可流南北两岸平行，一糖尊船从南岸马头A出发就行到北岸，服设游船在静衣中的航行速四 Q,R的余弦师离为 的大小为{的|一8km/,水读遂度的大小为的-十m/h.投和的的夹角为(0<< 18),北岸的点B在A的正北方向，游粉正好到近柱处时，09= D. 脑举第1直1共4直) 陶水金转·先享酬·高三一轮想习周脚条十一 鱼学第2方（共4成》 可 14如阁，在△AC中.B0=2风，过点O的直线分湖交直线AB,AC于友M,N.设Ai-mAi, 18.(本小避离分17分) 衣n.网马十的量小值为 已好复数石-2sm-i.-1+(2om0i.9e(倍·) (门)若·：为实数，求日的值： 〔2爱复数在复平面内对定的向量分别是a:若2a一)L(@一2a,求-）的值 四，解餐驱（木大题共5小题，共7分。解吞应写出必婴的文字说用，证明过程重演算步翼） 15.(本题需分1a分) 已知复数x-m十w一21一(m十2)i(AwER1. 1)若：是纯虚数，求加的值： (2)若：十0，求m的值： (3)若？在复平霍内耳区的点位于第一象限，求#的取值范国， 19(本小墨清分1？分) 14.(本小题调分15分》 定义函数fx)一2nr十%r的伴随向量”为(i一《a,6),向量07-《a,)的“作随雨数” 已知向量e.b请足=.=2.a+h-8红 为f文)=winr十6sr 1)求，D的夹角0的大小： (2)设向量m=ā一，？=a十b,石规，题的夹希为经角，求实数的取直他用. 1)写出函数g)-o女+吾}一nr的“作随向量“O,并来1O: 〔2记间量0丽-(15的伴商两数为).若当xe0,受引时，不等式()十十)户 0饵成文，求实数★的取值范便： 17.(本小题清分15分》 设复数一2十i在复平面内对应的向量为AB,和一一1十i在复平面内对应的闻量潮正 一2+在复平而内度的向量为，且A,去，C三点其线， 口)求实数1的值： 2)求武的常标， 3)已年点少3.8)，若A,4.C,D四点按逆时律颗序构成平行四边形，求点A的坐标 脑举第3直1共4直) 陶水金转·先享酬·高三一轮想习周脚条十一 曲学第4方（共4成） 國