(8)函数与导数的综合应用-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（A卷）

高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（八） 9 品题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ，应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) IⅢN ②③④ ⑤ ① 档次 系数 函数的极值与充要 1 选择题 易 0.80 性的关系 2 选择题 S 利用导数研究函数 易 0.78 零点的个数 由函数的单调区间 3 选择题 5 易 0.72 求参 由函数存在最值 4 选择题 5 中 0.65 求参 利用导数研究函数 5 选择题 的图象 √ 中 0.55 利用导数研究方程 6 选择题 5 根的个数（涉及数学 中 0.45 文化) 7 选择题 利用导数处理双变 5 中 0.40 量等式问题 8 选择题 5 利用导数比较大小 难 0.28 9 由导函数图象研究 选择题 6 易 0.72 导数的性质 利用导数研究三次 10 选择题 6 中 0.60 函数的性质 利用导数研究指数 11 选择题 6 中 0.40 型函数的性质 函数奇偶性与导数 12 填空题 易 0.78 的儿何意义的综合 13 填空题 与导数有关的开 5 中 0.65 放题 利用导数研究两点 14 填空题 5 中 0.35 间距离的最值 ·39· ·数学· 参考答案及解析 利用导数求切线方 15 解答题 13 程，由函数零点个数 中 0.65 求参 利用导数解决双变 16 解答题 15 中 0.50 量不等式问题 利用导数解决不等 17 解答题 15 式恒成立问题，证明 中 0.45 数列型不等式 利用导数研究函数 18 解答题 17 的最值，极值点偏移 难 0.28 问题 利用导数讨论含参 19 解答题 17 函数的单调性，由函 难 0.25 数零点求参 香专答案及解析 一、选择题 5.C【解析】由f(x)=x(sinx十x),而x≥0恒成 1.C【解析】当了(x)=0时，x。不一定是极值点，还 立，对于y=sinx十x,则y=cosx十1≥0，即y= 需要f(x)在x=x。两侧的单调性不相同：当x。是 sinx十x在定义域上单调递增，所以当x>0时，y= 「(x)的极值点时，由于「(x)在R上连续，所以 sinx十x>sin0十0=0，则在(0，十o∞)上，f(x)>0, 了(x。)=0,所以“了(x)=0”是“x为函数f(x)的 排除A,B,D.故选C 极值点”的必要不充分条件，故选C 6B【解析】由题得了(x)=1十n一子，令为函 2.B【解析】由题得f(x)的定义域为R,了(x)=2 2cosx≥0，故f(x)在R上单调递增.又f(0)=0,所 数f(x)=(x-2)lnx在[1,2]上的“拉格朗日中值 以f(x)的零点个数为1.故选B. 点”，则1+1n4-2=2)二山=0，令g(x)= 2-1 3.B【解析】由题得f(x)=1+2x十a=2x+az+1 1+In x- 兰则()=士+号>0在[，2]上 <0的解集为（分1），所以不等式2x十ar+1<0 成立，故g(x)=1+nx-二在[1,2]上单调递增， 的解集为(21)，所以号+1=一号，解得a=-3 又g(1)=1-2=-1<0,g(2)=1+ln2-1=n2 >0,由零点存在性定理可得，存在唯一的x。∈ 故选B. [1,2],使得g(x)=0.故选B. 4.C【解折】因为f(x)=子2+号-2x+1,所以 2.D解析】由题得fx)=三，则了(x)=号，当 f(x)=x2+x-2=(x-1)(x十2)，令f(x)=0, x∈[1,2]时，了(x)≤0，f(x)单调递减，则f(x)的 解得x=-2或x=1,所以f(x)在(-∞，-2)， (1,十∞)内单嗣递增，在（一2,1）内单湖递减，所以 值城是[是是]义)=合-ar+a,则 极小值为∫(1)=-行令f(x)=-合，则 Ax)=-,当xe12时，g)≥ x (2x+7)(x-1)=0,所以f(-子)=-合，由题 0,g(x)单调递增，则g(x)的值城是[是十a,2 意得-子<2a<1<a十3，所以a的取值范围为 ln2+a,因为3x·x粒∈[1,2]，使得f(x)= [-子，号)故选C ·40* 高三一轮复习A ·数学· 三、填空题 g(),所以 ·解得 +ln2-2≤d 12.7【解析】因为f(x)为奇函数，所以a-1=0,即a 2 2-ln2+a≥ =1,故f(x)=2x+x,则f(x)=6x2+1,f(1) =7,故f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率 <-，所以a的取值范是[是+h2-2, 1 为7. e 13.(-1,1)(答案不唯一，满足a,b互为相反数且0<b 放选D. 17 ≤5即可)【解析】由∫(0)=0，得a十b=0,所以b =-a,所以f(x)=ae一a,f(x)-f(x)=ac-a 8.A【解析】设f(x)=nx-(x-1)(x>0),则 一ae=一a>0对x∈R恒成立，所以a<0,则b> fx)=士-1，当≥1时fx)<0,所以fx)在 0,当a<0时，f(x)单调递减，当x→-∞时，f(x) →*6，则b≤5，可取a=-1,b=1,即(-1,1). [1,十∞)上单调递减，所以f(x)mx=「(1)=0，故 14.2【解析】由题知，A(a,2a十1)，B(a,a十na),则 当x∈(1，十o)时，f(x)<0,即lnx<x-1,所以 |AB=(a-a)+(a+In a-2a-1)=|In a 当x=1.3时，ln1.3<1.3-1=0.3,故a<6.设 -a-1|,令f(a)=lna-a-1,a>0,则f(a)= g(x)=e-(x十1)，则g(x)=e-1,当x>0时， g'(x)>0,所以g(x)在(0，十∞)上单调递增，所以 日-1=号，则当0<a<1时a)>0,fa)单 g(0.3)>g(0)=0,即e1-(0.3十1)=e1-1 调递增，当a>1时，f(a)<0,f(a)单调递减，所 0.3>0,所以e1一1>e44-1>0.3,故b<c.综上可 以f(a)m=f(1)=-2,所以lna-a-1|≥2，即 得a<b<c,故选A. |AB|的最小值为2 二、选择题 四、解答题 9.CD【解析】由题意及图得，f(x)在(-oo,3)上单 15.解：(1)当a=2时，f(.x)=xe-2, 测递增，在(3，十∞)上单调递减，所以f(x)有一个 则f(1)=e-2, f(r)=(1+x)e, 极大值，没有极小值，所以A,B错误，C,D正确.故 故了(1)=2e, (3分) 选CD. 于是得f(x)的图象在点(1，∫(1))处的切线方程 10.ABC【解析】因为对Hx∈R,f(一x)=-x+ 为y-(e-2)=2e(x-1). 12x十t,显然当t=0时，∫(x)为奇函数，故A正确： 整理得2ex-y-e-2=0. (5分) 因为f'(x)=3(x-4)=3(x+2)(x-2),则 (2)由f(x)=xe-a=0 f(x)的单调递增区间为(-，一2)和(2，十∞)， 得a=re, 单调递减区间为[一2,2]，故B正确：由(x)=0, 则y=a与y=re有2个交点， (6分) 得x=士2，结合选项B可知，x=一2是f(x)的极 记g(x)=xe, 大值点，此时f(x)的极大值为f(一2)=一8+24 则g'(x)=c(x+1), 十t=17,解得t=1,故C正确：由B可知，f(x)在 令g(x)=0,得x=-1, (一∞，-2)和(2，十∞)上单调递增，在[-2,2] 则当x<一1时，g'(x)<0,g(x)单调递减： 当x>一1时，g(x)>0,g(x)单调递增， 上单调递减，所以∫(x)无最大值，无最小值，故D 错误，故选ABC 则g(x)=g(-1)=-1 e (10分) 11,ACD【解析】由题得∫(x)的定义域为R,定义域 又当x→一时，g(x)→0：当x·十∞时，g(x)→ 关于原点对称且f(-x)=受(e子+e)=fx, 故g(x)的图象如下： f(x)为偶函数，故A正确，B错误：e>0,e >0,小f(x)≥号×2√e·e5=a,当且仅当e5 g(x)=xex =e,即x=0时取等号，故C正确：(x) 号（日-）-合(e-e)= 2c 令了(x)=0,得x=0,则f(x)在[0，十∞)上单调 递增，故D正确.故迷ACD. ·41· ·数学· 参考答案及解析 由图象可知，当ae(-,0)时，方程x)=0有 是)<品[+++x] 两个不等的实根， 故。的取值范围为(-是，0)， 品(-++…+) (13分) = 16,解：(1)由题得了(x)=1-4=一4， (-)<六 因为re[合]： 所以鸟2+号3+…+<六≥2且ueN Γ3 (15分) 所以了(x)<0, 18,解：(1)因为f代x)=lnx-兰+1，>0 即f(x)在[之，1]上单调递减， (3分) 因为（号）=号1)=5， 所以f)=士+片=中>0 当a>0时，f(x)>0,f(x)在(0，十o)上单调递增， 所以(x)在[合]上的值城为[5，号] (7分) 则f(x)不存在最小值，所以a>0不合题意.(4分) 当a<0时， (2因为V∈[21]，3∈[2.3]， 令/(x)=十4=0，得x=-a. x 使得f(x1)≥g(:), 当x∈(0，一a)时，了(x)<0,f(x)单调递减： 所以f(x)mn≥g()mm' 当x∈(-a,十co)时，f(x)>0,f(x)单调递增， 即g(x)mn≤5， (9分) 所以f(x)m,=f(x)本蓝=f(一a)=ln(-a) 因为x∈[2,3]g(x)=2x十a单调递增， 所以g(x)≥2X2+a=4+a, (13分) 。+1=8, 所以1十a≤5， 解得a=-1. 解得a≤l. 所以a的值为-1， (7分) 即a的取值范围为（一6∞，1门. (15分) (2)由1)知，f)=nx++1,>0, 1.解：当e0,+eo,≥)m≥ 因为五，x为方程f(x)=m的两个不同的实数根， 令u(x)=, 所以lnx1十1+1=m,①nx+1+1=m,② 则k≥u(x)m, (2分) ①-@得h-B+(公-)=0 2:士22 W'(x)= 即h会=-（以》= (10分) 令(x)=0,得x=, 所以西=一边， 则当x∈(0WE)时，'(x>0,u(x)单调递增： h 当x∈(WE,十∞)时，M'(x)<0,u(x)单调递减， 令=4(0<1<1)， (6分) I: 所以当x=时，u(x)=uE)=2 1 有x=一立=1 ln x: 则≥六 故长的取值范周是[品十一上 (8分) 所以=兰=n (2)由(1)知，血≤1 从而得x十x= Int. (13分) 所以血2≤1 1 (10分) 令h)=1-1-21n(0<<1). 所以2+3+…+≤（安+京+…十 3 期)=1+-=（日-1）八>0， ·42· 高三一轮复习A ·数学· 所以函数h()在(0,1)上单调递增， 此时方程F(x)=入至多有2个不相等的实数根，不 则h(t)<h(1)=0, 符合题意： (9分) 即1<2h 若a>0,令(x)=0,解得x=受 又lnt<0, 当x∈(0，号)时，h(x)>0,h(x)单调递增. 1 所以∈(0,1)，n ->2恒成立， 当x∈（号，+o∞）时，h(x)<0,h(x)单调递减， 即x十x>2得证. (17分) 当h(号)=a(ln号-1)≤0，即0<a≤2e时， 19.解：(1)f(x)的定义域为(0，十∞)，f(x)= aln r, h(x)≤0，即F(x)≤0，F(x)在(0，十∞)上单调 令f(x)=0,得x=1, 递减， 当a>0时， 此时方程F(x)=入至多有1个实数根，不符合 由f(x)<0,得0<x<1,此时f(x)在(0,1)上单 题意： 调递减： 当h(号）=a(1n号-1)>0，即a>2e时， 由f(x)>0,得x>1,此时f(x)在(1，十∞)上单 因为h(1)=-2<0, 调递增， (2分) 当a<0时， 所以存在唯一实数x∈（1，号)使得h(工=0： 由f(x)<0,得x>1,此时f(x)在(1，十eo)上单 令m(a)=lna-a,a>0, 调递减： 则m'(a)=1-a. 由了(x)>0,得0<x<1,此时f(x)在(0,1)上单 调递增， (4分) 当0<a<1时，m'(a)>0,m(a)单调递增， 综上所述，当a>0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在 当a>1时，n'(a)<0,m(a)单调递减， (1,十o∞)上单调递增： 故m(a)≤m(1)=-1, 当a<0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在 即lna-a≤-1<0， (1,十∞)上单调递减. (5分) 则h(a2)=2a(lna-a)<0, (2)选择①： 所以存在唯一的x∈（号，a）,使得h(x)=0, g(x)=f(r)-x-A=arlnr-ax-x-A, (13分) 令g(x)=0,得A=axnx-ax-x, 此时，当x∈(0，x)时，h(x)<0, 设F(x）=arIn r-ax-x, 即F'(x)<0,F(x)在区间(0，x1)上单调递减， 则F'(x)=alnx-2x, 当x∈(x,x)时，h(x)>0, 设h(x)=alnx一2x, 即F(x)>0,F(x)在区间(，)上单调递增， 则h'(x)=g-2,x∈(0，十∞)， 当x∈(x2,十ce)时，h(x)<0, 即F(x)<0,F(x)在区间(x,十∞)上单调递减， 若a=0,则F(x)=一x2, 由数形结合可知，此时F(x)的图象与直线y=入可 方程F(x)=入至多有2个不相等的实数根，不符合 以有3个交点， 题意 (7分) 即当a>2e时，存在入使得g(x)恰有3个零点， 若a<0,则'(x)<0,h(x)在(0，十∞)上单调 综上，a的取值范围是(2e,十oo). (17分) 递减， 选择②： 取x=e,h(e)=alne-2e=2(1-e÷)>0. g(x)=(a+1)xIn x-axi-f(x)=ar+rin x 而h(1)=-2<0, -ax2, 故不妨设h(x6)=0, 由题意知，方程x(a十lnx)一ax2=0在(1，+co) 则当x∈(0，x)时，h(x)>0,即F(x)>0,F(x) 上仅有一个实数解， 单调递增， 则方程a十lnx一ax=0在(1，十o)上仅有一个实 当x∈(x,十∞)时，h(x)<0,即F(x)<0,F(x) 数解. 单调递减， 设F(x)=lnx-ax十a(r>1), ·43· ·数学· 参考答案及解析 则F(x)=1一a=1二a旺， 设P(x)=e-1-x(x>0), 则p(x)=c-2x 当a≤0时，F(x)>0, 令m(x)=e'-2x(x>0), 所以F(x)在(1，十∞)上单调递增， 则m(x)=e-2, 又F(1)=ln1-a十a=0, 令m(x)=0,得x=ln2, 所以当x>1时，F(x)>0, 当x∈(0，ln2)时，m'(x)<0, 则F(x)在(1，+∞)上没有零点，不符合题意： 当x∈(1n2,十o∞)时，m'(x)>0, (9分) 所以m(x)在(0，ln2)上单调递减，在 当a≥1时，r>1时，ax>l, (1n2,十∞)上单调递增， 则F(x)<0, 所以F(x)在(1，十∞)上单调递减， 则m()≥m(n2)=2-2h2=n号>0.即 又F(1)=0, p'(x)>0, 所以F(x)<0, 所以9(x)在(0，十∞)上单调递增， 则F(x)在(1，十∞)上没有零点，不符合题意： 又P(0)=0,所以g(x)>0, 当0<a<1时，合>1 则e-1>x2, 当re(1,)时.F(x)>0. 所以时->则1-e<, 当x∈（合，+）时，F(x)<0. e(合t), 所以F(x)在(1，)上单调递增，在（日，+o∞）上 则F()=a-a时+是-a(1-中)+是< 单调递减。 a(←)+a=0 则F(日)>F1)=0, 又F(x)在（日，+）上单调递减，且F(日)>0， 所以F(x)在(1，)上无零点. 所以F(x)在（日，十一）上有且仅有一个零点。 设h(x)=e-r(x>0), 所以当0<a<1时，F(x)在(1，十∞)上有且仅有 则h'(x)=e-1>0, 一个零点，符合题意 所以h(x)单调递增，h(x)>h(0)=1, 综上可知，a的取值范围为(0,1). (17分) 则e>x, 所以女>号 (13分) 44高三一轮复习周测卷/数学 8已塘。=n1.意，b=0.3.cw*一1，期 〔八)函数与异数的锦合应用 A. (等试时间20分钟，请分150分) 且w<<春 C6<量d 一，远择题（本大思共8小题，蜂小览5分，共0分。在每小题给出的国个选璃中，只有一项是存 D.ra 合道日要求的) 二、进择蓝（本大题共3小题，蜂小面可分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合感目装 1.已知函数f()的阻象在量上益续不闻康+y=厂()是y=于的导阁数，则了()=“是“x 录，全部过对的得牙分，部分这对的得常分分：有选皆的得0分) 为厨数的酸值点"的 .已塘函数八x,其导雨数了{x的图象如图所示，侧 A充要条件 我充分不必要条件 ARx有？个楼值点 C必要不充分第用 D.低不充分血不色要条件 Bf(x)在：=1处取得板小植 2.函数fr)■2x一2imc的零点个数为 C,1有楼大直，没有楼小值 A0 线1 C.2 D,3 D.J)在（一，3》上单科递地 品已知函数开)=n十十r的单测遂诚区间为（安小.则的数值：国为 6已每函数fx小一x一12z十eR).期 A(-6,-3》 C.3 A,/《x可能是奇函数 B-3 0(-o,3》 且，/(r1在区问[一2,2上单调边减 ⊥已知函数1一十一2十1，若2在2+8内存在最小值.则。的取额范调为 C,当1x》的极大值为17球，1=1 A(-) (-2.3) c[- D当1时.f(x)的值域是[一15,17 0t-5.-1D 11,尊客从榄州城站到西湖之成，最先看到的是公同滨湖一带的护栏.南北馏延约1公里.柱与柱 5.已知两数f1一加x十了，期八x的图象大我是 之何是一条条轻匀悬链，鞭凰湖上的水光山色，德国数学家荣布尼益甩这种果在等高两住同， 后平 自然下渠有均匀南度的由线称为瑟缺线.如果建立适当的平面直角坐标系，那么甚链线可以表 示为函数化一号十e,其中a>心，财下列美于悬硅线晒数儿)的性质列断中，正确 的有 A./)为偶函数 B.f(x)为奇两数 G.牧格阴日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数（上）在闭区问「a,]上 C,x)的最小值为日 的图象走续不间斯，在开区列(，b1内的导数为(：，那么在区同a,6内至少存在一点，使得 )只x的单到递增区间为0，+©) ()一4)=(16一4)成立，其中叫作了（在「4，们上的拉格阴日中值点“，根居这个定 蔬饭 处名 分数 理，可裂函数/x1=一2nx在[1.]上的“拉格别日中值点"的个数为 2 011 A.o 我I C.3 D.3 7.已知函数(r1■e:r)= 立7-nr+4,若3x6[0,使得f(m)=e(.4的 三，填空题（本大题共3小题，摇小燃5分，共15分） 取值范调是 之，已每函数（三2P一(a一1）十4r悬餐州数，期(x)的图象在点1，/1))处的切线鲜 九合号-h+到 散日一号-2+习 为 13.已函数r)一心十6的导雨数为，/(01一0，且f(x1>了《a,八6，测有序实数 c(是+n-2》 n[3+m2-2】 对(@，6的一组取值可以为 ,(写出符合第件的一个即可门 数学，第11共1直) 害水金春·先家·高三一邦智习周绿八 轴学第方（共岗） 国 14.已知直线x一a与由线y=2x+1,y=上十nx分别交于A,B两点，则AB的量本值 1&.(本小题需分17分) 为 已知函数)-lh一号十1(a∈R且u≠0) 四、解若题本大题其了小思，其7分。解答应写出必要的文学说明.正明过程成演算步程) 1.本小题满分18分) 门若/八)的最小值为2，求a的值： 已知函敢x1一x一. (2)在1)的条件下，若关于x的方程《一前有丙个不同的实数根1，且上，求面 1)当0=？时，求fx)的图象在点(1,1)处的切线方程： 十C2. 2)若美于x的万程厂《：0有两个不等的实根，求丛的取值范围 16.(本小题满分15分) 已知函数/1+o2r+ 1)求f)在子]上的值城： e若￥∈[l小，3e2,被得a≥a:求a的取值克属 19.(本小题满分17分) 已每版数f八x-an一Hrg∈我. 〔1)当a≠0时，讨论()的单调性： (2)从下两个问题中任苏一个进行作答。 ①若存在实数1，使得函数x:)一民)一一1恰有8个零点，求的取值范国： 17.(本小题满分15分) 心若函数g(x)=(a十1n一一f(r)在区间(1，十o)上仅有1个零点.求4的取值范国 已知函敢八x小-r,g(r)-加石 生：如果主择多个问题分别解答，则按第一个解客计分， (1)若当re0,十o)时，/(x)≥e(x)求卡的最值夜国 ②k证24++0心2且EN 数学，第2成共1直) 害水金春·先家·高三一邦智习周绿八 轴学第4方（共岗） 国