(6)导数的概念及其几何意义、导数的运算-【衡水金卷·先享题】2025年高考数学一轮复习周测卷（A卷）

高三一轮复习周测卷/数学 7.并麦数学家攀生是9世纪对数学分新管出卓塘责航的伟人，特别是在两数的凸售性与不等式 {大}导数的斯念及其几何意义、导数的运算 方向细下了很多室贵的成聚.设函致fz在，)上韵计雨数为厂广(x),厂(x》在仙，)上的中两 (号拔时间20分钟，请分150分》 数为广：)，若在(，61上了r)<0们成立，则称商数/z》在a,b)上为“凸雨数”.已知f)- 一，远择题（本大思共8小题，蜂小览：分，共0分。在每小题给出的四个选璃中，只有一项是符 兰一号十是在止为分凸希数“别实数？的取值藏围处 合题月要求的 A.[3,+) 開 L利用导数的定文计算m血+3一h的值为 c[是+） a0) BI c D.2 8若至少存在一条直线与由战(x)=2+3和(x》一3一nx≠0》均相切，则t的取值莅国为 2某质点的位移y(单位：m)与时可从单位：满座雨数关吊式)=+3群一十，当=小时.援爱点 A.(0,2e) 2e,十e) 的飘时速度大于23m/,侧，的取首范围是 C.(-4e,o)U0,+o D.[4e,0)U(0.) 二，这择（本大题北3小幅，每小题6分，其18分。在母小遮给出的这项中，有多项符合墨日要 A行+∞】 (分+】 c(号+ D,2.+0) 求。全部选时的得8分，部分选对的得第分分，有选情的得0分》 3.已知两数/(x1=2/(1x一n+1(/(r)是/(r)的导数)，期/A1) ,下判话数求导正商的是 A.6 RI 0 D.-g A.(sin Zr)cos 2z B.(2con r)'--2sin r 4设g∈服.丽数fx)=一4+(m十3灯的导函数为了(x),若（是锅丽数，则典线￥ ,31'=r·3 nr=- ()在草点处的切线友程为 1©，某环保常门要求相美企业加氢污水治里，母咸表达标的全止菱限期整改，设企业的污水排成量 A.y3r y=-2a C.y-3x 1D.y=21 W与时到r韵关系为W一，用一二四的大小评撩在@，b这段时间内企业污水治 5.已知函数(r)的导函数「4.》的图象如图质示，斯该函数z的图象可能是 6一 理能力的强刺，已知整改期内，甲，乙两金在的污术排敛量与时闻的关采如图所公，划 A.在[，：门这程时间内，甲金业的污水静现虎力比乙企 甲全业 业强 且.在封刻，甲企业的污水的现能力比乙企业 乙全 乙企业 C,在（时朝，甲，乙两全坐的污水作放露不达标 做量 甲企虚在[o,.[门，[山]这三段时刺中，在 67 [,:]的污水游现能力最强 1l,已维函数z,gx的定义减均为R,(x)为g(x的导两数，且fx)十：'z小-1，f) 以4一)一3，若g()为奇函数，期 A,/《2)=2 线g10)+g4)=一2 年.我国自主研发的世界首套设计时速达0阳公里的高率磁浮交通系统，标志着我国拿醒了高建盈 C,/《-1)m-3) 以x(-4-震'(4山 浮成套技术和工程化能力，这是当前可实观的“粒表最快“交通工具，因此高湾磁浮也被形象地 民缓 姓名 分数 称为陆效飞行”，若某高虎避浮列车树始加如速至时速600公里除段为匀加速秋畜，此过程中，位 烟好 4 8. 移工与时何：关层满是两数2一1+宁（为柯速度，k为加液浅且≠0，位移的导雨数 答案 悬速度与时闻的关系=x)=可十机，已细从静止状吉匀加离至抢移号公里需0，喇时速从 三、填空露（本大题共3小题，每小题5分，共15：分） 零加速到600公见需 2,若调提y=吉女+名x在正=1处的初线的领斜角为，喇二 sng中c05a A120￥ 180s C210s D.240s 数学，量11共1直) 围水金泰·先存量·喜三一邦细可周六 轴举第2直（共岗》 I3由线f.x)=n(x一1)十x十1上的点到直线)一2十4的型离的最小值为 1&.(本小题需分17分) 了十2x一1，x1 已每保数x= 14.若满数f其r)回 在F=1处的切线与厂(x)的图象有三个公共点，则a的最 -x+6-6,>1 (1)讨论用数x(x》m:》一m(一2u64)的零点个数： 值范国是 (2)是香存在直线y一r十b.使得棱直线与曲线y一代x切于两点？若存在，求女，小的值：若不 四，解若题（本大题北小题，兵77分，解答应写儿必要的文字说明、任明过程减演算步程） 存在，请说明理由 5(本小道请分13分》 已知两数/：1-2+1)（任-：+m (1)求了x: (2)求函数/x)的图象在点P1,11))处的切线方程及切级与坐标射国成的三角形的面积 18(本小题清分15分) 已知隔数/《r1一2r+2, 19.(本小陛离分17分) 0)提g一2红十卓，若庙线y-)在点山处的切线与由线y-#x)在点 记了r)-‘()分明为函数f(工，g{x)的中函数.若存在实数和，裤足f(x1-Z)且 「()=gx),期称工为函数f(x)与时()的一个“S点” (1,g(1》处的切线平行.求实数的算： (1)上明：函数(，)士与x±》=十2r一2不存在”8点”： 〔②)求过点2,2)且与由线y-f(x)相切的直线方程. (2)若存在实数，使得周登)=十6与r=mr存在“S点之.求实数0的取值简用 (3已知函数：)一一F十，g1一.对任意膏数>，判断是吞存在霉数>0，使雨数 fr1与g(x)在民同0，十)内存在“8底”，并说明理由 17.(本小想请分15分》 已知向量0-cosx,2xm,r,b-(2v及osr小，雨数f.r1一a·b (1求/（￥1的解析式和单到送增区同： 素了电的两数g侣e停引浓属数的黄线 数学，第2成共1直) 害水金泰·先家量·再三一邦题习喝测喻大 轴学第4方（共岗） 国高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（六） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力N,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ，应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 值 (主题内容) ⅢN ① ③① 档次 系数 1 选择题 5 导数的定义 易 0.80 2 选择题 5 导数的物理意义 易 0.78 利用导数运算求函 3 选择题 5 易 0.72 数解析式中的系数 利用导数求切线 选择题 5 中 0.65 方程 5 选择题 函数和导函数图象 5 中 0.55 间的关系 6 选择题 5 导数的实际应用 中 0.45 7 选择题 5 导数的新定义问题 v 中 0.40 选择题 利用导数研究两曲 难 0.28 线的公切线 9 选择题 6 导数的运算法则 易 0.72 利用导数研究图象 10 选择题 6 中 0.40 的变化趋势 11 选择题 6 抽象函数的导数 √ 难 0.25 切线与三角变换的 12 填空题 5 易 0.71 综合 利用导数求曲线上 13 填空题 5 的点到直线距离的 中 0.45 最值 导数与函数零点的 14 填空题 综 中 0.35 求导函数，求切线与 15 解答题 13 坐标轴围成三角形 中 0.60 的面积 利用导数求过某点 16 解答题 15 中 0.50 的切线方程 ·27 ·数学· 参考答案及解析 导数与平面向量的 17 解答题 15 中 0.45 综合 18 解答题 17 与导数儿何意义有 难 0.28 关的存在性问题 导数的新定义问题， 19 解答题 17 导数与函数的综合 0.25 应用 香考誉案及解析 一、选择题 ”(x)=3x2-21x十3<0在(1,4)上恒成立，即t> 1.C【解析】依题意，令函数f(x)=lnx,求导得f(x) =子所以5mc+3A-he 号十是在（1,4)上恒度立，由对勾函数的性质知y △x 受+是-号(+)在1,4上单调递增，于是y =31im e+3)-f@=3f(e)=兰.故选C Twe0 3△x 2.D【解析】由题得，y=3十61-1，因为当t=t。时， (+)(6,),故≥}故选℃ 该质点的瞬时速度大于23m/s,所以36+6一1> 8.D 23,即3(t6十2。-8)=3(t十4)(t一2)>0，显然 【解析】由题得，f(x)=4红，g)=一子，设公 不是负数，所以>2.故选D. 切线与曲线∫(x)切于点(x1,2x十3)，与曲线 3.A【解析】对f(x)=2/(1)x-x-1nx+1求导， g(x)切于点(x,3-tnx)(x>0),所以4x1 可得f（x)=2f1)-2r-子，所以/1) -上=3-血-(2+32=二n-2过，所以 无￥ 2f(1)-2-1,所以了(1)=3，故f(x)=6x-x 1=一44，所以x=4n一2江，所以=0 一lnx十1，所以f(1)=6.故选A. :i 4.A【解析】由题设f(x)=3.x一2ax十(a十3)是偶 或x=2x一2 r:In x,因为1≠0，所以x≠0，所以 函数，∴.3(-x)-2a(-x)十(a十3)=3x2-2ax x1=2x2一2x:lnx4,所以t=-4(2xg-2x2lnx)x 十(a十3)，解得a=0,.k=f(0)=3,.曲线y =8rilnr:-8h(r)=8r'In x-8x(>0), f(x)在原点处的切线方程为y=3x,故选A 则h'(x)=8x(2nx-1),所以当0<x<时， 5,B【解析】从导函数的图象可以看出，导函数值先增 (x)<0,当x>V时，h'(x)>0,所以h(x)在 大后减小，当x=0时最大，所以函数f(x)的图象的 变化率也先增大后减小，在x=0时变化常最大，选项 (0√E)上单调递减，在（√，十∞）上单调递增，所以 B符合，A中在x=0时变化率最小，故错误：C中变 h(x)n=h(WE)=-4e,当x→十oo时，h(x)= 化率是越来越大的，故错误：D中变化率是越来越小 8x(lnx-1)→十o∞，所以h(x)的值域为[-4e, 的，故错误.故选B. +oo),所以t的取值范围为[-4e,0)U(0,十∞).故 6,C【解析】由题意得匀加速过程中，位移x与时间t 选D. 的关系满足函数x()=1十合，则由从静止状 二、选择题 9.BD【解析】(sin2x)'=2cos2x,故A错误，B显然 态匀加速至位移号公里需60s,可得9=之kX60, 2 正确：(3)/=31n3,故C错误：(})/=一号，枚D 解得发=80，则由=()=十红，可得0 正确，故选BD 10.AD【解析】设甲企业的污水排放量W与时间t的 20 =7X60×1,解得1=210(s).枚选C. 关系为W=h(t),乙企业的污水排放量W与时间1 7.C【解折】由于fx)=号一行r+受r,则了(x 的关系为W=g(t),对于A,在[，]这段时间 =x2-tx2+3x,得"(x)=3x-2tx十3，由于f(x) 内，甲企业的污水治理能力为-h)一，乙 tg一t1 子-了2+多2在(1,4)上为凸函数”，所以 =I_1 企业的污水治理能力为一)二g).由图可 tg一t ·28· 高三一轮复习A ·数学· 知，h()一h(t)>g(t)一g(),所以甲企业的 点到直线y=2x十4的距离的最小值即为切点 污水治理能力比乙企业强，故A正确：对于B,由图 (2,3)到直线y=2x十4的距离，即为 可知，h(t)在t时刻的切线斜率小于g(t)在t时刻 12×2-3+4L=5. 的切线斜率，但两切线斜率均为负值，故在时刻 V2+(-1)月 甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B错误：对于 【解析】当x=1时，f(1)=0,所以切 C,在时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水 14(-6] 达标排放量，故甲、乙两企业的污水排放都达标，故 点的坐标为10)，当x>号时，f)= C错误：对于D,由图可知，甲企业在[0，t门， 2 [t,4],[t门这三段时间中，在[t1]时，h(t) n(2x-1),f(x)=2x一所以切线的斜率k= 一h()的值最大，所以在[t1,]时的污水治理能 广(1)=2，所以切线1的方程为y=2x一2，而 力最强，故D正确.故选AD. 11.ABD【解析】已知函数f(x),g(x)的定义域均 f(合)=a-号，即f(x)过点（分a-号）小当切 为R,因为f(x)+g'(x)=1,f(x)-g(4-x)= 3,可得g'(x)十g'(4一x)=一2，又因为g(x)为 线1过点（分a-号）时，切线1与函数f(x)的图 奇函数，则g(x)=一g(一x),可得g(x)= 象有三个公共点，将（号a一三）代人切线方程，得 g(一x),即g(x)为偶函数，则g(x)+ g‘(x-4)=-2,即g(x十4)+g(x)=-2,可得 a-号=2×-2=-1，得a=,当切线1与 g(x十8)十g'(x十4)=-2，所以g'(x)= g(x十8)，可知g'(x)的周期为8.对于A,因为 f(x)=-x-2x+a(x≤号)相切时，切线1与 g'(x)十g'(4-x)=-2,f(x)十g'(x)=1,令x f(x)的图象只有两个公共点，设切线：y=2x一2 =2,则g(2)十g(2)=-2,f(2)十g(2)=1,可 得g(2)=-1,f(2)=2,故A正确：对于B,因为 与f(x)=一r2-2x十a(r≤号)在x=x处相切， g'(x)十g(4-x)=-2,令x=0,可得g(0)+ 由f(x)=-x2-2x+a(x≤2），得f'(x)=-2x g'(4)=一2，故B正确：对于C,因为g(x)十 g'(4-x)=一2，且g(x)为偶函数，则g'(一x)十 2(≤号），所以k=广(x)=-2红-2=2，得 g'(4+x)=-2,令x=-1,可得g'(1)+g'(3)= x。=-2,f(一2)=a,所以切点坐标为（一2，a),代 -2,又因为∫(x)十g'(x)=1,令x=一1,3，则 人切线l:y=2x-2,得a=一6，因此在x=1处的切 f(-1)+g(-1)=1.f(3)+g'(3)=1.可得 线与f(x)的图象有三个公共点时，a的取值范围 f(-1)+f(3)+g°(-1)+g(3)=2,可得 「（一1）+f(3)=4,但由题设条件无法推出 为(-6] f(-1)=f(-3),故C错误：对于D,因为g'(x) 四、解答题 的周期为8，故g(一4)=g'(4),故D正确.故 15.解：(1)由f八x)=(2x2+1)(x-2)+in元 选ABD 三、填空题 得了(x)=4x(x-2)+(2x2+1)×1+1 12.-是 【解析】因为y=x十2，可得y|==3,由 πcos元x=6.x2-8x+1+cos nx (5分) 题意可知tana=3,所以sin acos2a (2):f1)=3×(-1)+m至=-3，f(1)=6×1- sina十cosa sin a cos'a-sin'a) 8十1十c0sr=-2, sina十cosa =sina(cosa-sina）= ∴.函数f(x)的图象在点P(1,f(1)处的切线方程 sin a(cos a-sin a)tan a(1-tan a)3X(1-3) 为y-(-3)=-2(x-1), sin'a十cosa 【ana+1 3+1 整理得2x十y十1=0. (9分) 令=0，得x=-之，令工=0，得3-1 13.5【解析】由题得，f(x)的定义域为(1.十∞)，求 导得了()=与十1，令了(x)=2,解得x=2,则 :切线与两坐标轴假成的三角形的面积为S=壹× f(2)=3,故切点坐标为(2,3)，故曲线f(x)上的 -2×-1川= (13分) ·29· ·数学· 参考答案及解析 16,解：(1)由f(x)=x3-2x十2， 得f(x)=3x-2,则f(1)=1, os(2x+晋)≠0， 由g(x)=2x+ 2 .g(x)= (12分) x an(2r+晋) 得)=2台 则g'(1)=2-k, 由受<r+号<晋，得n(2x+晋)水-9 由题意可知，2一k=1,得k=1. (5分) 即-23< 2 0 (2)由题得，f(2)=6, tan(2x+若) 设切点为(x,x-2x。十2)，了(。)=3x8-2, 则函数g(x)的值域为（一2√3,0）： (15分) 则曲线y=∫(x)在点(xx一2x十2)处的切线 18.解：(1)当x≤1时，f(x)=x2十2x-1=(x十1) 方程为y-(x-2x十2)=(3-2)(x-x), 一2的最小值为一2： (2分) (8分) 当x>1时，f(r)=-x2+6x-5=-(x-3)3+4 又切线过点(2,6)， 的最大值为4， (4分) 则6-(x-2十2)=(3xd-2)(2-x), 作出f(x)的大致图象，如图所示 化简为xd一3x十4=0， 即(x-2)(x8-x-2)=0, 则(-2)(x十1)=0， 得x=2或xn=一1， (11分) 当xo=2时，切线方程为y=10x-14, =x) 当x=一1时，切线方程为y=x十4， 综上可知，切线方程为y=10x一14或y=x十4. (15分) 17.解：(1)：a=(cos2x,2sinx),b=(25cosx),且 =-2 f(x)=a·b. 由g(x)=0,得∫(x)=m. (5分) .f(x）=2cos2x十√/3sin2x 当n=一2或m=4时，g(x)的零点个数为2： =cos 2r+/3sin 2r+1 (6分) =2(号os2a+9m2a)+1 当m∈（一2,0]U(2,4)时，g(x)的零点个数为3： (7分) =1+2sin(2x+晋) (3分) 当m∈(0,2]时，g(x)的零点个数为4.(8分) (2)假设存在直线y=kx十b,使得该直线与曲线y= 令-受+2km<2x+晋<受+2，(k∈z0 f(x)切于A(x1y),B()(≤1<x)两点， 设函数g(x)=x2+2x-1(x≤1)， 解得一晋十m<<晋十饭，(k∈Z 则g'(x)=2x十2(x≤1)， 则函数∫(x)的单调递增区间为（一 十 十kr,6 则曲线y=g(x)在x=处的切线方程为y 3 (x+2x1-1)=(2x1+2)(r-x), kn)(k∈Z). (6分) 即y=(2x1十2)x-x-1, 设函数h(x)=-x2十6x-5(x>1), (2)f(x)=4cos(2x+吾）： (8分) 则h'(x)=-2x十6(x>1), 侧曲线y=h(x)在x=x:处的切线方程为y f(x) 2cos(2+) ∴g(x)=f(x)可 (x+6x-5)=(-2x+6)(x-x), sin(2z+晋） 即y=(-2x:十6)x十xi-5. 而（告，晋）： 依题意可得2工十2=一2x,+6 1-xi-1=xi-5】 (14分) 则号<2x+晋<晋 消去x,得+(2-)=4， 因为x≤1， ·30· 高三一轮复习A ·数学· 所以x=0,x=2, 即a的取值范围为(0，十∞). (8分) 所以k=2x十2=2，b=-xi-1=-1, (3)由题知，f)=一2x,g)=c0. 即存在直线y=kx十b满足题意，且k=2,b=一1. x (17分) 由了(x)=g(x),假设b>0, 19.解：(1)由题知，了(x)=1,g(x)=2x十2 由定义得/7=x+2x-2 则满足6e=一名答>0，得0<<1. 2x8 11=2x+2 ,联立解得方程无解， 由f(x)=g(),得-x+a=e-- 2x 则f(x)=x与g(x)=x2+2x一2不存在“S点”. 2xi (3分) 即a=一了 6-1' (12分) (2)易知f(r)=2ax,g(x)=1 x>0, -a=+a> 令h(x)=x-2x 1-x 由了x)=g(x),得子=2a 0,0<x<1), 若存在“S点”即可知方程有解，所以a>0 设m(x)=-x23+3x2+ax-a(a>0,0<x<1), 则m(0)=-a<0,m(1)=2>0, 得=√， 得m(0)<0<m(1), 又(x)的图象在(0,1)上不间断， (W会)=+=(V)=n√ 则m(x)在(0,1)上有零点， 则h(x)在(0,1)上有零点， 则存在b>0,使f(x)与g(x)在区间(0，十∞)内 又e+%>0, 存在“S点” (17分) 所以可得云>0，即a>0, ·31