精品解析：广东省湛江市雷州市白沙中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题

白沙中学2024-2025学年第一学期高三年级期末考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，,，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. “”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量，，，则实数（ ） A B. C. D. 6. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C D. 7. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数在复平面对应的点为，且，则下列说法正确的是（ ） A B. C. 的虚部为 D. 10. 已知和为单位向量，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量是 11. 已知为两个平面，为两条直线，则下列命题正确的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D 若，则 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，且，则实数的值为__________． 13. 已知函数，则=________ 14. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求函数的定义域； （2）已知直线过点，求的最小值. 16. 在中，角、、所对的边为、、，已知. （1）求角的值； （2）若，的面积为，求的周长. 17. 已知在等差数列中，，. （1）求数列通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 如图所示，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，点F是PC的中点，AC交BD于点O，PA底面ABCD，EDPA，且. （1）证明：OF平面PAB ； （2）证明：BD平面PAC ； （3）若，求三棱锥的体积. 19. 为激发户外运动爱好者健身热情，增进群众健身获得感、幸福感. 某市体育部门随机抽取200名群众进行每天体育运动时间的调查，按照时长(单位:分钟)分成6组:[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]. 处理后绘制了如下图的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）求运动时长在[50，70)的样本群众人数； （3）估计该市群众每天体育运动时间的众数、平均数、中位数(保留1位小数). 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 白沙中学2024-2025学年第一学期高三年级期末考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，,，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为全集，，则， 又因为，故. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 该命题的否定为：，. 故选：D. 3. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简所求复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，所以复数对应的点位于第四象限. 故选：D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论. 详解】解不等式得或， 因为或， 因此，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知向量，，，则实数（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出向量的坐标，由题意得出，结合平面向量数量积的坐标运算可得出实数的值. 【详解】因为向量，，则， 因此，，则，解得. 故选：B. 6. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据根的存在性定理结合单调性讨论函数零点所在区间. 【详解】由题：在其定义域内单调递增， ， ， 所以函数在一定存在零点，由于函数单调递增，所以零点唯一，且属于区间. 故选：C 【点睛】此题考查根据根的存在性定理确定函数零点所在区间，关键在于准确得出区间端点函数值的正负，结合单调性说明函数零点唯一. 7. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性与奇偶性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数为奇函数，且该函数在上单调递增，A不满足要求； 对于B选项，函数的定义域为， 设，则，即函数为偶函数 ， 当时，，则函数在上单调递增，B满足要求； 对于C选项，函数为奇函数，且该函数在上单调递减，C不满足要求； 对于D选项，函数为偶函数，且该函数在上单调递减，D不满足要求. 故选：B. 8. 已知，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为指数函数为上的减函数，则，即， 又因为对数函数为上的减函数，则， 因此，. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数在复平面对应的点为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数，利用共轭复数的定义可判断A选项；利用复数的模长公式可判断B选项；利用复数的概念可判断C选项；利用复数的几何意义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则， 可得，所以，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，的虚部为，C错； 对于D选项，由复数的几何意义可得，D对. 故选：BD. 10. 已知和为单位向量，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质计算出的值，可判断AC选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于AC选项，因为和为单位向量，且， 则，则，故，A对C错； 对于B选项，，B对； 对于D选项，由平面向量数量积的运算性质可得， 所以，在方向上的投影向量是 ，D对. 故选：ABD. 11. 已知为两个平面，为两条直线，则下列命题正确的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面关系、面面关系逐项判断可得答案. 【详解】对于A，若，则，正确； 对于B，若，则，或与相交，或异面，故错误； 对于C，若，则，正确； 对于D，若，则，正确. 故选：ACD. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，且，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据子集定义分或两种情况计算求参即可. 【详解】因为集合，，且， 所以或， 即时，不合题意； 当时，解得（舍）或， 当时，集合，，满足，所以， 故答案为：. 13. 已知函数，则=________ 【答案】7 【解析】 【分析】将自变量代入函数解析式求值即可. 【详解】由. 故答案：7 14. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的性质可求得的值. 【详解】因为为定义在上的奇函数，当时，， 则，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求函数的定义域； （2）已知直线过点，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由分式、根式及对数的性质列不等式求函数定义域； （2）由题意，再应用基本不等式“1”的代换求的最小值. 【详解】（1）由题意得，解得，所以函数的定义域为； （2）由题意得，所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为8. 16. 在中，角、、所对的边为、、，已知. （1）求角的值； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得的值，即可求得该三角形的周长. 【小问1详解】 由余弦定理可得，且，故. 【小问2详解】 由三角形的面积公式可得，可得， 由余弦定理可得，故， 因此，的周长为. 17. 已知在等差数列中，，. （1）求数列通项公式； （2）设，求数列前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）求得，利用裂项相消法可求得. 小问1详解】 设数列的公差为，由题意得，解得. 所以，， 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 所以，. 18. 如图所示，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，点F是PC的中点，AC交BD于点O，PA底面ABCD，EDPA，且. （1）证明：OF平面PAB ； （2）证明：BD平面PAC ； （3）若，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题设易知，再由线面平行的判定证明结论； （2）根据菱形、线面垂直的性质有PABD、ACBD，再由线面垂直的判定证明结论； （3）根据已知证明EF平面PAC，再应用棱锥的体积公式求体积. 【小问1详解】 底面ABCD是边长为2的菱形， 点O是BD的中点，又点F是PC的中点， OF是的中位线，则， 又平面PAB，平面PAB， 则平面PAB. 【小问2详解】 由PA底面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以PABD， 底面ABCD是边长为2的菱形，则ACBD， 又且都在平面PAC内， 则平面PAC. 【小问3详解】 底面ABCD是边长为2的菱形，， ∴△ABC是等边三角形，， 由PA底面ABCD，又平面ABCD，则PAAC， 所以， 由（1）得且， 又EDPA，，即， 且，则四边形OFED为平行四边形， 且，即， 又平面PAC，所以EF平面PAC，则EF是三棱锥的高. 所以三棱锥的体积为. 19. 为激发户外运动爱好者健身热情，增进群众健身获得感、幸福感. 某市体育部门随机抽取200名群众进行每天体育运动时间的调查，按照时长(单位:分钟)分成6组:[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]. 处理后绘制了如下图的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）求运动时长在[50，70)的样本群众人数； （3）估计该市群众每天体育运动时间的众数、平均数、中位数(保留1位小数). 【答案】（1） （2）90（人） （3）众数为，平均数，中位数为. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1计算求参即可； （2）先求出的频率再计算频数即可； （3）应用频率分布图计算众数，平均数及中位数定义分别计算求解即可. 【小问1详解】 根据题意， ， 解得. 【小问2详解】 运动时长为的频率为 所以运动时长为的样本群众人数为（人） 【小问3详解】 由图可知，该市群众每天体育运动时间的众数约为. 该市群众每天体育运动时间的平均数约为 由题意知， 前两组的频率为， 前三组的频率为. 所以 中位数在50和60之间，设为x，则+ (，解得， 即该市群众每天体育运动时间的中位数约为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$