精品解析：重庆市万州区2024—2025学年上学期九年级期末考试数学试题

2024~2025学年度（上）教学质量监测 九年级数学试题卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，2﹣x≥0， 解得x≤2． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 掷一枚硬币落地后正面朝上 B. 打开电视机正在播放新闻节目 C. 买一张福利彩票开奖后会中奖 D. 在标准大气压下把水加热到并持续吸热会沸腾 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的判断， 根据必然事件，随机事件的定义逐项判断即可． 【详解】因为投掷一枚硬币落地后正面朝上是随机事件，所以A不符合题意； 因为打开电视机正在播放新闻类节目是随机事件，所以B不符合题意； 因为买一张福利彩票开奖后会中奖是随机事件，所以C不符合题意； 因为在标准大气压下把水加热到并持续吸热会沸腾是必然事件，所以D符合题意． 故选：D． 3. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：由原方程移项，得， 等式的两边同时加上，得， 配方，得． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 4. 如图，在小孔成像问题中，已知木棒与它的物像平行，小孔到木棒的距离为，小孔到物像的距离为，木棒长为，那么它的物像的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可得，相似比为，由此即可求解． 【详解】解：∵木棒与它的物像平行，小孔到木棒的距离为，小孔到物像的距离为，如图所示， ∴，， ∴， ∴， 故选：C ． 5. 如图，点A、B、C是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求正切值．根据网格得到于点D，，由正切定义即可求出答案． 【详解】解：如图，由题意可知，于点D， ∵ ∴， 故选：C 6. 估计的值应在（ ） A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算，无理数的估算，掌握二次根式的计算方法，无理数估算法则是解题的关键． 根据二次根式的计算，再运用无理数的估算即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的值应在2到3之间， 故选：C ． 7. 2024年12月8日，在四川成都举行的国际乒联混合团体世界杯比赛中中国队卫冕冠军．本次比赛一共有支队伍参赛，在第一轮的比赛中组委会把支队伍平均分成4组，每组内以循环赛的形式展开角逐，即组内的x个队相互之间都要安排一场比赛，第一轮一共安排了24场比赛，则x满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式是解题的关键． 根据题意，每组有支队伍，每支队伍都要与其余的支队伍进行比赛，组内的x个队相互之间都要安排一场比赛，由此列式即可求解． 【详解】解：第一轮的比赛中组委会把支队伍平均分成4组， ∴每组有支队伍， ∴每支队伍都要与其余的支队伍进行比赛， ∵组内的x个队相互之间都要安排一场比赛， ∴， 故选：B ． 8. 如图，在中，，的两边分别与函数，的图象交于两点，则之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积，相似三角形的性质，掌握几何图形面积与反比例系数，相似三角形的性质是解题的关键．如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，可得，，根据题意可证，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 9. 如图，已知在正方形中，点M是边的中点，连接，过点B作于点N，连接，若，则的度数用含的代数式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握正方形的性质和勾股定理、以及等角对等边是解答的关键．设正方形的边长为，利用勾股定理和三角形的面积公式分别求得，，过N作，交、于E、F，则四边形是矩形，可得，，再由勾股定理和三角形的面积求得，，在中，利用勾股定理求得，进而根据等角对等边得到，然后求得即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，则，， ∵点M是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过N作，交、于E、F，如图， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 故选：D． 10. 已知关于x的多项式：，． ①若，则代数式的值为3； ②当时，若，则或； ③若代数式的最小值不是负数，那么n取值范围为． 以上结论正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求代数式的值，二次函数与一元二次方程，解一元二次方程， 将代入，再两边除以x，可判断①；然后将代入，再解一元二次方程，可判断②； 接下来将整理为，再根据二次函数与一元二次方程的关系判断③． 【详解】解：若，则， 即， 两边除以x，得， 解得． 所以①不正确； 当时，， 即或， 解得或． 所以②正确； 代数式， 二次函数的图象开口向上，有最小值，当抛物线与x轴有一个交点或没有交点时，符合题意， 当时，的值不是负数， 即， ∴或， ∴． 所以③正确． 综上，正确的个数有2个． 故选：C． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方和零指数幂，再算加法即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 12. 若，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查比例性质、代数式求值，先得到，然后代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 13. 在一个不透明的盒子中装有4个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，分式方程的运用，根据摸出白球的概率，运用概率的计算公式列分式方程求解即可，掌握概率的计算，分式方程的求解是解题的关键． 【详解】解：∵从中随机摸出一个球是白球的概率为， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴是原分式方程的解， 故答案为：2 ． 14. 关于x的一元二次方程有一个根为，则方程的另一个根__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，利用根与系数的关系求解是解题的关键．根据题意，把代入计算得到的值，再运用根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有一个根为， ∴， 解得，，则方程为， ∵， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，在中，，点、分别是、的中点，连接，已知，则的度数为__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据特殊角的三角函数值可得，由此即可得． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 故答案为：． 16. 若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，一元二次方程根的判别式，掌握不等式组的解法和根的判别式是解题的关键． 先求解不等式组，再根据不等式组有且仅有4个整数解，求出a的取值范围，然后根据一元二次方程有实数根，求出a的取值范围，最后根据两个取值范围求整数a的值，即可求解． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴ 解得：； ∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， ∴且， ∴整数a的值为，0，2，3，4， ∴所有满足条件的整数a的值之和． 故答案为：8． 17. 如图，在中，，，，为边上一点，把沿对折后得到，交于点，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可得，由折叠的性质得到，是的垂直平分线，即，根据，，则有平分，即，再证，，，得到四边形是菱形，则，所以有，则，设，则，列式得，由此即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 如图所示，连接，交于点， ∵折叠， ∴，，且， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平分，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵，且 ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，， ∴的长为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 18. 对于一个各个数位上的数字均不为零的四位自然数（其中，b，c，，且a，b，c，d为整数），若满足，则称这个数为“幂差数”．如四位数6713，因为，所以6713是“幂差数”．若（且x、y为整数）是“幂差数”，那么这个数是__________．把“幂差数”A的千位数字与百位数字对调，得到另一个“幂差数”B，若能被37整除，则满足条件的A的最大值和最小值的差是__________． 【答案】 ①. 7524 ②. 7830 【解析】 【分析】由“幂差数”的定义结合题意可得，且，从而得出或或或，求解并结合题意分析即可得出答案；由题意可得，，求出，再分情况：当时，存在最大值，此时；当时，存在最小值，此时；分别求出最大值与最小值，求差即可得解． 【详解】解：∵（且x、y为整数）是“幂差数”， ∴， ∵且x、y为整数， ∴，， ∴，且， ∴或或或， 解得：或或或， ∵且x、y为整数， ∴，即这个数是， ∵把“幂差数”A的千位数字与百位数字对调，得到另一个“幂差数”B， ∴，， ∴， ∵，b，c，，且a，b，c，d为整数， ∴当时，存在最大值，此时， ∴ ， ∵能被37整除，，b，c，，且a，b，c，d为整数， ∴能被整除， ∵， ∴能被整除， ∵，b，c，， ∴， ∴， ∴， ∴要使最大，此时，则，，即，， ∴的最大值为； 当时，存在最小值，此时， ∴ ， ∵能被37整除，，b，c，，且a，b，c，d为整数， ∴能被整除， ∵， ∴能被整除， ∵，b，c，， ∴， ∴， ∴， ∴要使最小，此时，则，，即，， ∴的最小值为； ∴满足条件的A的最大值和最小值的差是， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了整式的加减的应用、解二元一次方程组、利用平方差公式分解因式、新定义运算等知识点，正确理解题中的“幂差数”的概念，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，解一元二次方程， 对于（1），先根据二次根式的乘除法法则计算，再根据二次根式的加减法法则计算即可； 对于（2），根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 因式分解，得， 即或， ∴． 20. 如图，在平行四边形中，于． （1）尺规作图：过点作于．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：． 证明：四边形是平行四边形， ，， _____①_____， ，， _____②_____， 在、中， ， ， _____④_____， ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求线段， （2）①，②，③，④ 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作垂线，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质可得，，由平行线的性质得到，可证明，得到，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 实验探究：甲、乙两个不透明的纸盒中分别装有形状、大小和质地完全相同的两张和三张卡片， 甲盒中两张卡片上分别标有数字1和2， 乙盒中的三张卡片分别标有数字3、4、5. 小红从甲盒中随机抽取一张卡片，并将其卡片上的数字作为十位数字，再从乙盒中随机抽取一张卡片，将其卡片上的数字作为个位数字，从而组成一个两位数. (1)请你用树状图或列表的方式写出所有组成的两位数； (2)求出所组成两位数是奇数的概率. 【答案】（1）13，14，15，23，24，25；（2） 【解析】 【分析】（1）列出给出所有可能组成的两位数即可. （2）根据（1）中可知可以组成6个两位数，其中奇数的个位为4个，所以组成的两位数是奇数的概率为两位数是奇数的个数与总个数之比. 【详解】（1） 所以可以组成6个两位数，分别是13，23,14,24,15,25 （2）其中奇数有13,23,15,25共4个，所以所组成的两位数是奇数的概率为 【点睛】本题主要考查树状图或列表法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或表格，再由概率等于所求情况数与总情况数之比来求解. 22. 已知如图1，四边形是平行四边形，，，，点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线方向运动，同时点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达点D时，两个点都停止运动．设运动时间为t秒，点P、Q之间的距离为y． （1）请直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若的图象如图2，结合函数图象，直接写出时t的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2） 如图所示： 性质：时，y随t的增大而减小；时，y随t的增大而增大 （3） 【解析】 【分析】对于（1），分两段讨论：当时，先表示出即可得出，再说明，根据相似三角形的对应边成比例表示；当时，表示，再根据得出关系式即可； 对于（2），根据关系式画出图象，再写出性质； 对于（3），观察图象得出交点坐标，再根据图象在上方的函数值大可得答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴． 在中，． 当时，根据题意可知 ∴． ∵， ∴， ∴； 当时，， ∴． 综上所述：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：观察图象可知当或时，， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式，画一次函数图象，根据两直线的交点解不等式，理解根据函数图象的位置判断函数值的大小是解题的关键． 23. 2024年暑期，因连续高温和干旱，我区一居民小区的部分绿化树枯死，小区物业管理公司决定补种绿化树，计划找苗圃公司购买桂花树和香樟树共150棵进行补栽，其中桂花树每棵20元，香樟树每棵30元，一共需要4000元． （1）计划购买桂花树、香樟树各多少棵？ （2）实际购买时，物业管理公司与苗圃公司协商，给与一定优惠：每棵桂花树的价格降低2元；如果每棵香樟树的价格每降低1元（香樟树的价格不能低于桂花树的价格），则物业管理公司要多购买10棵香樟树，最后，物业管理公司购买的桂花树数量不变，香樟树的棵树增加了，实际付款金额比计划多260元．求物业管理公司实际购买香樟树多少棵？ 【答案】（1）桂花树50棵、香樟树100棵 （2）120棵 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程（组）是解答的关键． （1）设购买桂花树、香樟树各x、y棵，根据题意列方程组，然后解方程组即可； （2）设每棵香樟树的价格下降了a元，根据题意列出一元二次方程求得a值，结合已知进而求解即可． 【小问1详解】 解：设购买桂花树、香樟树各x、y棵， 根据题意，得， 解得． 答：桂花树50棵、香樟树100棵． 【小问2详解】 解：设每棵香樟树的价格下降了a元， 根据题意，得， 即， 解得，． ∵香樟树的价格不能低于桂花树的价格，， ∴不合题意，舍去， ∴， ． 答：实际购买香樟树120棵． 24. 如图所示，在某公园里，有一条河流自北向南穿过该公园，原来在河流的上游修建有一座桥梁，地和地都有休闲步道与桥梁相连，由地到地的路径为．后来在河流的下游新建了桥梁和休闲步道，且桥梁与都平行，、两地之间可以沿路径直达．经过测量，桥梁的一端在地的北偏东方向，另一端在地的北偏西方向，地在地的正东方，、两地之间的休闲步道长为600米，、两地之间的距离为870米．（参考数据：，） （1）求桥梁的长度；（结果保留根号） （2）周末，小明和爷爷在公园里游玩，他们同时从地出发步行到B地，小明的路径为，平均速度为100米/分钟；爷爷的路径为，平均速度为70米/分钟．请判断，谁先到达地？并说明理由． 【答案】（1）米 （2）小明先到达，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的计算是解题的关键． （1）作交于点，作于点，由题意，，，在中，，，，在中，，即可求解； （2）在中，，由题意得到分钟；分钟；由此即可求解． 【小问1详解】 解：作交于点，作于点， 则四边形为平行四边形，， 由题意，，， 在中，， ，， 在中，， ， ， ， ∴桥梁的长度为米． 【小问2详解】 解：在中，， 路径的总长度约为米， 分钟；分钟； ， 小明先到达B地． 25. 如图，一次函数的图象交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，．在x轴的正半轴上有一点D，且，连接． （1）求点C的坐标和反比例函数的解析式； （2）点E是线段延长线上一点，连接，满足，求出点E的坐标； （3）在直线上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2） （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）对于一次函数，分别令，和令，求得点，，从而得到，．过点C作轴，交x轴于点H，根据平行线分线段成比例得到，求得，得到点C的横坐标为2，把代入函数中，可得，进而根据待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）根据，求得．根据得到，根据待定系数法求得直线的函数解析式为．过点E作轴，交于点F，设，则，则，进而根据，即可求出m的值，从而得到点E的坐标． （3）分两种情况讨论：①点P在的延长线上．过点P作轴于点N，证明，得到，设（），则，，根据列出方程，求解即可；②点P在线段上时，设为，过点作，交的延长线于点K，设点的坐标为（），证明，得到，由得到，根据两点间距离公式求出，， ，，代入后求解即可． 【小问1详解】 解：对于一次函数， 令，则；令，则， ∴，， ∴，． 过点C作轴，交x轴于点H， ∴，即， ∴， ∴点C的横坐标为2， 把代入函数中，得， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∵， ∴， 设直线的函数解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为． 过点E作轴，交于点F， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： ①当点P在的延长线上时，过点P作轴于点N， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线：上， ∴设（）， ∴， ∵ ∴，解得， ∴． ②当点P在线段上时，设为，过点作，交的延长线于点K， 设点的坐标为（）， ∵， ， ∴， ∴是的平分线， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ， ， ， ∴， 整理，得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，符合条件的P点的坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数，坐标与图形，待定系数法求解析式，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定及性质，两点间距离公式，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 26. 在中，，为的中线，点E为上一点，连接． （1）如图1，，，，求的长； （2）如图2，，把线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，点G为线段上一点，连接交于点H，且，求证：； （3）如图3，，，K为边上一点，满足，连接，当最小时，把线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理和等腰三角形的性质可得，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后求出，最后在中，解直角三角形即可得； （2）作，交的延长线于，连接．先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，，根据相似三角形的性质可得，然后根据即可得证； （3）在下方构造，先在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，再过点作，交延长线于点，作，交于点，利用勾股定理求出的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴，， 为的中线， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴． 【小问2详解】 证明：作，交的延长线于，连接． 由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，为的中线，， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图，在下方构造， ∵，为的中线，， ∴，是等边三角形，， ∴， ∵， ∴，，，， ∴， 又∵，即三点共线时，最小． ∴此时， 如图，过点作于点， 设， 在中，，， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 设， 过点作，交延长线于点，作，交于点， ∴，， ∴在中，，， ∴， 在中，，即， 解得（负值已舍）， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了解直角三角形、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识，综合性很强，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度（上）教学质量监测 九年级数学试题卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 掷一枚硬币落地后正面朝上 B. 打开电视机正在播放新闻节目 C. 买一张福利彩票开奖后会中奖 D. 在标准大气压下把水加热到并持续吸热会沸腾 3. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在小孔成像问题中，已知木棒与它的物像平行，小孔到木棒的距离为，小孔到物像的距离为，木棒长为，那么它的物像的长是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A、B、C是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 估计的值应在（ ） A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间 7. 2024年12月8日，在四川成都举行的国际乒联混合团体世界杯比赛中中国队卫冕冠军．本次比赛一共有支队伍参赛，在第一轮的比赛中组委会把支队伍平均分成4组，每组内以循环赛的形式展开角逐，即组内的x个队相互之间都要安排一场比赛，第一轮一共安排了24场比赛，则x满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，的两边分别与函数，的图象交于两点，则之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知在正方形中，点M是边的中点，连接，过点B作于点N，连接，若，则的度数用含的代数式表示为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的多项式：，． ①若，则代数式的值为3； ②当时，若，则或； ③若代数式的最小值不是负数，那么n取值范围为． 以上结论正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：__________． 12. 若，则__________． 13. 在一个不透明的盒子中装有4个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为，则__________． 14. 关于x的一元二次方程有一个根为，则方程的另一个根__________． 15. 如图，在中，，点、分别是、的中点，连接，已知，则的度数为__________． 16. 若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是__________． 17. 如图，在中，，，，为边上一点，把沿对折后得到，交于点，若，则的长为__________． 18. 对于一个各个数位上的数字均不为零的四位自然数（其中，b，c，，且a，b，c，d为整数），若满足，则称这个数为“幂差数”．如四位数6713，因为，所以6713是“幂差数”．若（且x、y为整数）是“幂差数”，那么这个数是__________．把“幂差数”A的千位数字与百位数字对调，得到另一个“幂差数”B，若能被37整除，则满足条件的A的最大值和最小值的差是__________． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）计算：； （2）解方程：． 20. 如图，在平行四边形中，于． （1）尺规作图：过点作于．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：． 证明：四边形是平行四边形， ，， _____①_____， ，， _____②_____， 在、中， ， ， _____④_____， ． 21. 实验探究：甲、乙两个不透明的纸盒中分别装有形状、大小和质地完全相同的两张和三张卡片， 甲盒中两张卡片上分别标有数字1和2， 乙盒中的三张卡片分别标有数字3、4、5. 小红从甲盒中随机抽取一张卡片，并将其卡片上的数字作为十位数字，再从乙盒中随机抽取一张卡片，将其卡片上的数字作为个位数字，从而组成一个两位数. (1)请你用树状图或列表的方式写出所有组成的两位数； (2)求出所组成两位数是奇数的概率. 22. 已知如图1，四边形是平行四边形，，，，点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线方向运动，同时点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达点D时，两个点都停止运动．设运动时间为t秒，点P、Q之间的距离为y． （1）请直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若的图象如图2，结合函数图象，直接写出时t的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 23. 2024年暑期，因连续高温和干旱，我区一居民小区的部分绿化树枯死，小区物业管理公司决定补种绿化树，计划找苗圃公司购买桂花树和香樟树共150棵进行补栽，其中桂花树每棵20元，香樟树每棵30元，一共需要4000元． （1）计划购买桂花树、香樟树各多少棵？ （2）实际购买时，物业管理公司与苗圃公司协商，给与一定优惠：每棵桂花树的价格降低2元；如果每棵香樟树的价格每降低1元（香樟树的价格不能低于桂花树的价格），则物业管理公司要多购买10棵香樟树，最后，物业管理公司购买的桂花树数量不变，香樟树的棵树增加了，实际付款金额比计划多260元．求物业管理公司实际购买香樟树多少棵？ 24. 如图所示，在某公园里，有一条河流自北向南穿过该公园，原来在河流的上游修建有一座桥梁，地和地都有休闲步道与桥梁相连，由地到地的路径为．后来在河流的下游新建了桥梁和休闲步道，且桥梁与都平行，、两地之间可以沿路径直达．经过测量，桥梁的一端在地的北偏东方向，另一端在地的北偏西方向，地在地的正东方，、两地之间的休闲步道长为600米，、两地之间的距离为870米．（参考数据：，） （1）求桥梁的长度；（结果保留根号） （2）周末，小明和爷爷在公园里游玩，他们同时从地出发步行到B地，小明的路径为，平均速度为100米/分钟；爷爷的路径为，平均速度为70米/分钟．请判断，谁先到达地？并说明理由． 25. 如图，一次函数的图象交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，．在x轴的正半轴上有一点D，且，连接． （1）求点C的坐标和反比例函数的解析式； （2）点E是线段延长线上一点，连接，满足，求出点E的坐标； （3）在直线上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 在中，，为的中线，点E为上一点，连接． （1）如图1，，，，求的长； （2）如图2，，把线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，点G为线段上一点，连接交于点H，且，求证：； （3）如图3，，，K为边上一点，满足，连接，当最小时，把线段绕点A逆时针旋转得线段，连接，，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $