5.2.3 简单的轴对称图形——角平分线的性质课件2024-2025学年北师大版数学七年级下册

5.2.3 角平分线的性质 5.2 简单的轴对称图形 第五章 生活中的轴对称 学习目标 1.了解角是轴对称图形,对称轴是这个角的角平分线所在的直线; 2.理解并掌握角平分线的性质定理并能解决实际问题. 3.能利用尺规作一个角的角平分线。 __________ 复习提问 2.线段垂直平分线上的点到这条线段的___________的距离相等。 两个端点 1. 于一条线段并且 这条线段的直线叫这条线段的垂直平分线（简称中垂线）. 垂直 平分 角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？ O A B 将 ∠ AOB 对折， 你发现了什么？ 角是轴对称图形， 角平分线所在的直线是它的对称轴． 自学指导1 角平分线的性质 做 一 做 (2)在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE 能重合吗？ 重合 (3)改变点C 的位置，CD 和 CE 还相等吗？ 解：CD=CE，改变位置后仍成立 你能说一说CD与CE 相等的理由吗？ 解：CD=CE，改变位置后仍成立 解：∵OC平分∠AOB ∴∠COA=∠COB ∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴∠CDO=∠CEO=90° 在△CDO和△CEO中， ∠CDO=∠CEO ∠COD=∠COE OC=OC ∴△CDO ≌ △CEO（AAS） ∴CD=CE. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． (3)改变点C 的位置，CD 和 CE 还相等吗？ 用几何语言表示“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等” 用几何语言表示为： A O B c E D 推理的理由有三个， 必须写齐全，缺一不可。 ∵ OC是∠AOB的平分线, CD⊥OA,CE⊥OB ∴ CD=CE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) 笔记 自学检测1 (2分钟) (变式题)如图所示，在△ABC中，∠A=900，BD平分∠ABC，AD=3cm，BC=8cm， 则△BDC的面积为________. A B C D 12cm2 E 1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=5，则点D到AB的距离是 . 5 E 2.判断正误：(1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)， 所以 ＝ . ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)， 所以 = . ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 3.已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是它的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 试说明：EB = FC. A B C D E F 解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠DEB=∠DFC= 90° 在△BDE 和△CDF 中， ∴△BDE≌△CDF (AAS). ∴ EB = FC. ∠DEB =∠DFC， DE = DF ∠B =∠C， ∵AB=AC ∴∠B=∠C. 自学指导2 角平分线尺规作图 A B D E C O 已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 3.作射线 OC. OC就是∠AOB的平分线. 2.分别以 D，E为圆心、以大于 DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C． 作法： 1.在OA和OB上分别截取OD，OE，使 OD = OE. 你能说明这样作的道理吗? 自学检测2（5分钟) 1.已知△ABC，利用尺规，作△ABC的三个内角的平分线. A Ｃ Ｂ Ｐ 1.作∠A的平分线，交BC于点D，连接AD； 2.作∠B的平分线，交AC于点E，连结BE。AD、BE交于点P； ∴AD、BE、CＦ就是△ABC三个内角的平分线. D E 3.连结CP，并延长CP交ＡＢ于点Ｆ 。 Ｆ 解析： 解：如图所示 需不需要再作∠C的平分线呢？ 2.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC =∠BOC 的依据是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到 角两边的距离相等 A B M N C O A 课堂小结 角是轴对称图形， 角平分线所在的直线是它的对称轴． 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 几何语言: E D O A B P C ∵ OC是∠AOB的平分线, PD⊥OA,PE⊥OB ∴ PD=PE(角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等). 推理的理由有三个，必须写齐全，缺一不可。 这节课我们学习了哪些知识？ 随堂演练 1．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点 B 2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为E,若AB=10cm,则△DBE的周长为（ ） A.10cm B.8cm C.12cm D.9cm A 凉亭到草坪三条边的距离相等 3.如图，在△ABC 中，AD是它的角平分线，AB:AC = 5:3，则 S△ABD:S△ACD =_______. 5:3 A B C D 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为______． 15 E 5.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE垂直AB,DF垂直AC,垂足分别为E、F，求证：DE=DF ∵AB=AC,D是BC的中点 ∴AD是等腰△ABC的中线 ∴AD是△ABC的角平分线（三线合一） 又∵DE⊥AB,DF⊥AC ∴DE=DF (角的平分线上的点到角的两边距离相等). 解：如图，连接AD 解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵AD∥BC， ∴MN⊥BC，MN为AD与BC间的距离. ∵AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB， ∴PM=PE. 同理，得 PN=PE. ∴PM=PN=PE=3. ∴MN=6， 即AD与BC之间的距离为6. 6.如图，已知 AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点， PE⊥AB于E，且PE=3. 求AD与BC间的距离. 7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E．若AB＝10 cm，求△DBE的周长． 解：∵AD平分∠CAB，且∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DC＝DE，∠CAD＝∠EAD，　∠C＝∠DEA＝90°. ∴△ACD≌△AED(AAS)． ∴AC＝AE. 又∵AC＝BC， ∴AC＝AE＝BC. ∴DE＋EB＋BD＝DC＋EB＋BD＝BC＋EB＝AE＋EB＝AB. 又∵AB＝10 cm， ∴△DBE的周长为10 cm. $$