5.2.1 简单的轴对称图形——等腰三角形的性质课件2024-2025学年北师大版数学七年级下册

5.2.1 等腰三角形的性质 5.2 简单的轴对称图形 第五章 生活中的轴对称 学习目标（1分钟） 1、理解等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其相关性质. 2、会应用等腰三角形和等边三角形的性质解决实际问题. 中考考点：利用等腰三角形和等边三角形的性质解决问题. 复习提问 1、 的三角形叫做等腰三角形 3、 的三角形是等边三角形； 有两条边相等 腰、底边、腰 底角、顶角、底角 三边都相等 腰 腰 顶角 底边 底角 底角 ( ) ) 2、等腰三角形的三边分别叫做 ； 三个内角分别叫做 。 A B C 顶角 底角 底角 腰 腰 底边 (1)等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴． 是轴对称图形. (2)等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？ 是它的对称轴. 自学指导1 等腰三角形的性质 (3)等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴 吗？底边上的高所在的直线呢？ 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴， 底边上的高所在的直线也是对称轴. (4)沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？ 说说你的理由． 等腰三角形的两个底角相等. 自学课本P127的内容,解决以下问题: 等腰三角形是轴对称图形． 等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线、 底边上的高重合（也称 “三线合一” ）， 它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴． 等腰三角形的两个底角相等． 怎样用数学语言表示等腰三角形的 “三线合一” ？ 如图，在△ABC中， (1)∵ AB=AC ， AD⊥BC ∴∠ ____= ∠_____; ____=____ (2) ∵ AB=AC， AD是中线 ∴____⊥____; ∠_____= ∠_____ (3) ∵ AB=AC，AD是角平分线 ∴____ ⊥____; _____=____ CAD BD CD AD BC BAD CAD AD BC BD CD B A C D BAD 等腰三角形知一得二 自学检测1 (2分钟) 2、在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=108°，那么∠B= ，∠C= ，一腰上的高与另一腰的夹角为 . 36° 36° 1、下列图形一定是轴对称图形的是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、不等边三角形 C （变式题）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 . 18° 65°或25° 3.如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1＋∠2的度数是(　　) A．60° B．70° C．80° D．90° B B A C D 5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=70° ，点D为BC的中点，求∠BAD的度数。 解：∵AB=AC (已知) ∴∠C=∠B=70°(等腰三角形的两个底角相等) ∴∠BAC=180° -70° -70° =40° ∴∠BAD= ∠BAC=20° ∵点D为BC的中点, AB=AC 点拨：等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、 顶角的平分线三线合一. 4.已知△ABC是等腰三角形，若∠A＝40 °， 则△ABC的顶角度数是____________． 40°或100° 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥ BC于点D． (1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数； 解：∵AB＝AC，AD⊥BC ∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°. ∵∠C＝42°， ∴∠BAD＝∠CAD＝90°－42°＝48°. (2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F，试说明：AE＝FE． 解：∵EF∥AC， ∴∠F＝∠CAD. 由(1)知，∠BAD＝∠CAD ∴∠BAD＝∠F. ∴AE＝FE. 讨论、更正、点拨（3分钟） 等腰三角形的对称轴有几种描述方法？ “三线合一”是指哪三线？ 等腰三角形的对称轴有3种描述方法： （1）顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴； （2）底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴； （3）底边上的高所在的直线是等腰三角形的对称轴； B A C D （1） 等边三角形有几条对称轴？ （2） 你能发现它的哪些特征？ 有3条对称轴 三个角相等 想一想 有三组“三线合一”. 笔记 自学指导2 等边三角形的性质 相同点 （特征） 不同点 （特征） 等腰三角形 (底与腰不相等） 等边三角形 1、是轴对称图形； 2、存在“三线合一” 的特征。 1、只有一条对称轴 2、只有一组“三线合一” 3、两腰相等、两底角相等 1、有三条对称轴 2、有三组“三线合一” 3、三边都相等，三内角都相等。 等腰三角形和等边三角形的异同点： 1.等边三角形是＿＿＿＿图形，内角均为＿＿，它有＿＿条对称轴， 有＿＿组“三线合一”。 自学检测2（5分钟) 60° 三 轴对称 三 2.等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为 ( ) A. 120° B. 130° C. 150° D. 160° A 4.如图，△ABC是等边三角形，高BD与CE交于点O，则∠BOC等于(　　) A．60° B．90° C．120° D．150° C 3.如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE=CD，则∠BDE的度数为（　　） A.100° B.105° C.120° D.150° C 5.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE＝(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° A 6.如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至点E，使CE＝CD，连接DE，则∠BDE的度数为(　　) A．105° B．120° C．135° D．150° B 7.如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是(　　) A．80° B．100° C．120° D．140° B 8.如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE 是等边三角形，有下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD； ③BE＝BD．其中正确结论的个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 A 9.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有(　　) A．1条　 B．2条 C．1条或3条　 D．不确定 C 课堂小结 4、等腰三角形和等边三角形的异同点: 1、等腰三角形 轴对称图形, 它有 条对称轴 2、 等腰三角形的顶角的 、底边上的 、底边上的 重合称为“三线合一”。它们所在的直线是等腰三角形的 。 是 一 平分线 中线 高线 对称轴 3、等腰三角形的两个底角 。 相等 相同点： 1、都是轴对称图形；2、都存在“三线合一”； 3、都有两个底角相等”的特征。 不同点： 等腰三角形：1、只有一条对称轴；2、只有一组“三线合一”3、两腰相等、两底角相等。 等边三角形：1、有三条对称轴；2、有三组“三线合一”；3、三边都相等，三内角都相等。 当堂训练 3.等腰三角形一内角为80 °，另两内角度数分别是 。 50°、50°或80°、20° 800角可以是顶角 也可以是底角 1000角只能是顶角 40°、40° 1000 2.如图2，在△ABC中，已知AB=AC，AD是中线， ∠B=70°，BC=15cm，则∠BAC= ， ∠DAC= ，BD= cm． 1．如图1，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（ ） A．36° B．60° C．72° D．108° C 40° 20° 7.5 图1 图2 4.如图，P，Q是△ABC边上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数. A B C P Q 5.如图，AB=AC,BD=CD,AD的延长线与BC交于点E， 试说明：AE⊥BC，BE=CE. A B C D E 4.如图，P，Q是△ABC边上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数. A B C P Q 解：在△ABC中， ∵PQ=AP=AQ ∴△APQ是等边三角形 ∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=600 ∴∠APB=∠AQC=1200 ∵AP=BP ∴∠B=∠BAP=300 同理：∠C=∠CAQ=300 ∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠CAQ =300+600+300 =1200 5.如图，AB=AC,BD=CD,AD的延长线与BC交于点E， 试说明：AE⊥BC，BE=CE. 解：在△ABD和△ACD中， AB=AC AD=AD（公共边） BD=CD ∴△ABD≌△ACD（SSS） ∴∠BAD=∠CAD 又∵AB=AC ∴AE⊥BC，BE=CE A B C D E （课本变式题）如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A村与B村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下图中找出点E的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图所示 解析：如图作点A 关于CD的对称点A’ ， 连接A’ B交CD于点E，点E就是自来水厂的位置． 理由：两点之间线段最短． ∴点E为所求． （选做题）在旷野上,一个人骑马从A地出发,他欲使马到河 l1 饮水后,再到河 l2 饮水,然后返回A地,如图,问他怎样走才使总路程最短.（保留作图痕迹，不写作法） 22 解：如图所示 解析：分别作点A关于直线 l1 的对称点 A1,A 关于直线 l2 的对称点 A2 , 连结 A1A2 ,分别交 l1、l2 于B、C,连结AB、AC; 由轴对称的性质可知 AB=A1B,AC=A2C 由于两点之间,线段最短 所以沿路线A→B→C→A,可使总路程最短 因此沿路线A→B→C→A,可使总路程最短。 23 $$