5.2.2 简单的轴对称图形——线段的垂直平分线课件2024-2025学年北师大版数学七年级下册

5.2.2 线段的垂直平分线 5.2 简单的轴对称图形 第五章 生活中的轴对称 学习目标 __________ 1、探索线段的轴对称性。 2、理解线段垂直平分线的定义和有关性质。 3、会用尺规作线段的垂直平分线。 中考考点：线段垂直平分线的性质的应用及会用尺规作线段的垂直平分线. 等腰三角形是轴对称图形． 等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线、 底边上的高重合（也称 “三线合一” ）， 它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴． 等腰三角形的两个底角相等． 复习提问 自学指导1 线段AB是轴对称图形吗?你能画出它的对称轴吗? A B O 如图，画一条线段AB，然后对折AB，使A，B两点重合，设折痕与AB的交点为O．你发现了什么？ 线段是轴对称图形， 垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴． 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的 垂直平分线（简称中垂线） 线段垂直平分线的性质 认真看课本P128-129的内容，思考并完成下列问题: （用笔在课本上做标注） 如图 ， 点 C 是线段 AB 的垂直平分线上的一点， AC 和 BC 相等吗？ 改变点 C 的位置， 结论还成立吗？ AC = BC 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 数学语言： ∵CO是线段AB的垂直平分线 笔记 ∴CA=CB 成立 自学检测1 (2分钟) BD+DC+BC=AD+DC+BC =AC+BC 1.如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=_____, DA=____. A B E D C 第1题 4cm 6cm 2.如图，在△ABC中，AB=AC=16cm， AB的垂直平分线交AC于D，如果BC=10cm， 那么△BCD的周长是_______cm. A B C D E 第2题 26 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等 . (变式题)如图，在△ABC中，AB=AC AB的垂直平分线交AC于D，如果∠A=40° 那么∠DBC=_______ 30° 3.在△ABC中，AB的中垂线与AC边所在直线相交所得的锐角为50°，则∠A的度数为（ ） A.50° B.40° C.40°或140° D.40°或50° C 解：∵AD⊥BC，BD = DC， ∴AD 是 BC 的垂直平分线. ∴AB = AC． ∵点C在AE的垂直平分线上， ∴AC = CE． ∴AB = AC = CE． ∴AB + BD = CE + DC， 即AB + BD = DE. 4. 如图，AD⊥BC，BD = DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ A B C D E 自学指导2 用尺规作线段的垂直平分线 例 利用尺规，作线段AB的垂直平分线. 作法： 1.分别以点A和点B为圆心，以 大于AB一半的长为半径作弧， 已知：线段AB. 求作：AB的垂直平分线. 2. 作直线CD． • • A B C D 两弧相交于点C和D； • • 则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线. 你能说明这样作的道理吗? 1.你能解释例1用尺规作AB的垂直平分线CD的道理吗？ 解：连接AC、AD、BC、BD 则AC=AD=BC=BD CD=CD △ACD ≌ △BCD（SSS) 在△ACD和△BCD中 ∴∠1 =∠2 ∴ CD平分∠ACB ∵△ACB是等腰三角形 ∴CD平分AB，CD⊥AB 即CD是AB的中垂线 AD=BD AC=BC 2 1 自学检测2 (2分钟) E C D 2.画一条线段AB，利用尺规求作它的四等分点 A B ． ． 分析：先用尺规找到AB的中点D （作AB的中垂线的交点） 再用同样的方法分别找到AD、BD 的中点C、E. 则点C、D、E为AB的四等分点。 解：如图所示 ∴点C、D、E为AB的四等分点. ． 3.利用尺规作如图所示△ABC的重心. 作法：①作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D； ②作线段AC的垂直平分线GH交AC于点E； ③连接AD，BE，并且AD与BE相交于点O. 因此，点O就是△ABC的重心 C A B D E ． O 4.如图，一张纸上有A、B、C、D四个点，请找出一点M， 使得MA=MB，MC=MD. ·M 解：如图所示 ∴点M为所求作的点， MA=MB,MC=MD. 课堂小结 2. 于一条线段并且 它的直线叫这条线段的 垂直平分线（简称中垂线）. 线段是 ，它的垂直平分线是它的一条对称轴. 线段垂直平分线上的 到这条线段 的 相等. 3.线段垂直平分线的性质： 数学语言： ∵ PO是线段AB的垂直平分线 ∴ PA=PB 4.会用尺规作线段垂直平分线 A B P O 轴对称图形 垂直 平分 点 两个端点 距离 当堂训练 图1 图2 1.如图1，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（ ） A．13 B．15 C．17 D．19 B 2.如图2，在Rt△ABC中，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，AC=3cm，则AE+DE= cm． 3 3．如图3，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC=15cm，△BCE的周长等于25cm． （1）求BC的长； （2）若∠A=36°，并且AB=AC．求证：BC=BE． 解：(1)∵AB的垂直平分线MN交AB于点D ∴AE=BE ∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC ∵AC=15cm ∴BC=25﹣15=10（cm） 3．如图3，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC=15cm，△BCE的周长等于25cm． （2）若∠A=36°，并且AB=AC．求证：BC=BE． （2）∵∠A=36°，AB=AC ∴∠C= （180°﹣∠A）= （180°﹣36°）=72° ∵AB的垂直平分线MN交AB于点D ∴AE=BE ∴∠ABE=∠A ∵∠BEC是△ABE的一个外角 ∴∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72° ∴∠BEC=∠C ∴BC=BE 4.如图4：A，B，C三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P，请给予说明做法。 A● B● c ● ● （1）连接AB，BC； （2）分别作AB和BC的中垂线 （3）两直线有一交点记为P点 因此点P为所求的供水站的位置 P 图4 解：如图所示: （选做题）利用尺规，作三角形三条边的垂直平分线， 观察这三条垂直平分线的位置关系，你发现了什么？ C A B 0 ． 解：如图所示： △ABC的三条边的垂直平分线 相交于一点O; 发现:这个交点O到△ABC的 三个顶点的距离相等. 即OA=OB=OC $$