精品解析：江西省景德镇市2024-2025学年高一上学期1月期末质量检测数学试题

景德镇市2024-2025学年上学期期末质量检测卷 高一数学 命题：景德镇二中 李昊 乐平一中 舒道伟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则下列错误的是（ ） A B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数，，，平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ） A. 11，4 B. 8，8 C. 11，8 D. 4，2 5. 在，，三个数中，按从小到大排序，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知函数，若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 高一上学期某高一班进行了6次数学测验，甲乙两同学6次测验成绩情况如下表： 场次 1 2 3 4 5 6 甲成绩 90 106 80 115 120 109 乙成绩 90 88 98 101 95 93 则下列说法正确的是（ ） A. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B. 甲、乙成绩中位数分别为107.5和94 C. 甲成绩的平均值大于乙成绩的平均值 D. 甲的成绩比乙的成绩稳定 10. 下列说法正确的有（ ） A. 函数既是奇函数也是偶函数 B. 函数为偶函数 C. 函数是定义在上的奇函数且有最大值4 D. 函数为偶函数且值域为 11. 已知函数，有4个零点，，，，则（ ） A. 实数的取值范围是 B. 函数的图象关于轴对称 C. D. 的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，它的反函数经过点，则______. 13. 已知某组数据分别为3，5，6，7，8，9，9，11，则这组数据的分位数为______. 14. 已知实数，满足，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简：，（） （2）计算： 16. 现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100°C的水泡制，待茶水温度降至60°C时，饮用口感最佳.某中学学生利用课余时间探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 100 92 84.8 78.32 72.49 67.24 设茶水温度从100°C经过后温度变为°C，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. （1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：，）； 17. 课外阅读有很多好处，可以帮助学生提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力等．某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生一个学期的课外阅读时间（单位：时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人． （1）求n和a值； （2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）估计该校学生一个学期课外阅读时间的中位数． 18. 已知奇函数与偶函数满足. （1）求，的解析式； （2）若，，求的值； （3）若函数，求在上的最小值. 19. 已知. （1）当时，方程恰有一个解，求的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）当时，已知函数在上至少有3个零点，请求出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇市2024-2025学年上学期期末质量检测卷 高一数学 命题：景德镇二中 李昊 乐平一中 舒道伟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由补集、交集和并集定义依次求出、、和，再由子集定义结合交集和并集定义即可逐项判断各选项得解. 【详解】由题，，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式的形式，列出满足函数定义域的不等式，即可求解. 【详解】， 函数的定义域需满足不等式，得. 所以函数的定义域是. 故选：A 3. 幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的定义和性质，求得m的值，再利用指数 函数的图象过定点问题，得出结论. 【详解】幂函数在上单调递增， ，且， 求得， 故， 令， 求得， 可得的图象过定点， 故选：B. 4. 已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ） A. 11，4 B. 8，8 C. 11，8 D. 4，2 【答案】C 【解析】 【分析】根据数据()的平均数、方差分别、求解. 【详解】根据题意，数，，，的平均数是，方差， 则，，，的平均数为， 方差为. 故选：C 5. 在，，三个数中，按从小到大排序，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“分段法”判断出的大小关系. 【详解】由于，所以. 故选：A 6. 历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势.已知，则的估算值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先计算，再根据指对运算公式即可求解. 【详解】， 所以. 故选：D 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，即可求参数的取值范围. 【详解】函数为增函数，的对称轴为，开口向上， 若函数区间上单调递增，则且， 解得：. 故选：C 8. 已知函数，若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则为奇函数且是增函数，由可得，即，再利用基本不等式可得答案. 【详解】设 ，定义域为 ，关于原点对称， 且 ，故 为奇函数； 则 ， ，故 ； 因为为增函数，故 ，即 ， ，故与同号，显然它们都是正数 ； 当且仅当 ，即时等号成立； 故选： D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 高一上学期某高一班进行了6次数学测验，甲乙两同学6次测验成绩情况如下表： 场次 1 2 3 4 5 6 甲成绩 90 106 80 115 120 109 乙成绩 90 88 98 101 95 93 则下列说法正确的是（ ） A. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B. 甲、乙成绩的中位数分别为107.5和94 C. 甲成绩的平均值大于乙成绩的平均值 D. 甲的成绩比乙的成绩稳定 【答案】BC 【解析】 【分析】分别根据极差，中位数和平均数，以及数据的稳定性，即可判断选项. 【详解】A.甲成绩的极差是，乙成绩的极差是，故A错误； B.甲成绩按照由小到大排列为80,90,106,109,115,120，中位数是，乙成绩按照由小到大排列为88,90,93,95,98,101，中位数是，故B正确； C.甲成绩的平均数是，乙成绩的平均数是，故C正确； D.分别对比数据可知，甲的成绩极差比较大，并且比较分散，而乙的成绩极差小，而且比较集中，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，故D错误. 故选：BC 10. 下列说法正确的有（ ） A. 函数既是奇函数也是偶函数 B. 函数为偶函数 C. 函数是定义在上的奇函数且有最大值4 D. 函数为偶函数且值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性首先判断函数的定义域，再结合函数奇偶性的定义，即可判断. 【详解】A.函数的定义域需满足，得，此时，既满足，也满足，所以函数既是奇函数也是偶函数，故A错误； B.函数的定义域是，得，函数的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误； C. ，设，， ， 设，，， 所以函数是奇函数， 当时， 当时，， 所以函数的值域为，无最大值，故C错误； D. 函数的定义域是， ， 当时，，当时，， 所以，所以函数的值域是， ，所以函数是偶函数，故D正确. 故选：AD 11. 已知函数，有4个零点，，，，则（ ） A. 实数的取值范围是 B. 函数的图象关于轴对称 C. D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出时的函数解析式，判断函数是偶函数，则函数图象关于轴对称，根据题意，作出函数的图象，结合图象，可得 ，，逐项分析判断即可求解. 【详解】因为 ， 所以当 时， ， 所以 ， 即， 当 时， ， 所以是偶函数，所以函数 的图象关于轴对称，所以选项B正确； 函数有4个零点，所以时有两个零点，有两个的正根， 则 ，解得 ，所以选项 A 正确； 由题意，作出函数的图象，根据函数的图象关于轴对称，可得 ， 又因为的两根，所以， 所以 ，所以选项 C 错误； 因为， 根据图象，可得 ，所以 ， 所以选项 D 正确误， 故选： ABD . 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据解析式画出函数图象，并根据图象分析判断；函数图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，它的反函数经过点，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】先由反函数性质得函数经过点，进而将点代入函数式即可求解. 【详解】因为函数的反函数经过点， 所以函数经过点， 所以，又且， 所以. 故答案为：2. 13. 已知某组数据分别为3，5，6，7，8，9，9，11，则这组数据的分位数为______. 【答案】 【解析】 【分析】将数据由小到大进行排序，利用百分位数的定义可求得这组数据的分位数. 【详解】将8个数据由小到大排序依次为：3，5，6，7，8，9，9，11， 因为，因此，这组数据分位数是由小到大第5个数. 故答案为：8. 14. 已知实数，满足，，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】同构：把化为与同构，由函数的单调性得，从而可得结论． 【详解】由题意，而 易知函数为单调增函数， 因为，所以，从而， 所以， 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简：，（） （2）计算： 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算法则计算即可； （2）由对数运算法则和对数运算性质即可计算求解. 【详解】（1）原式； （2）原式 . 16. 现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100°C的水泡制，待茶水温度降至60°C时，饮用口感最佳.某中学学生利用课余时间探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 100 92 84.8 78.32 72.49 6724 设茶水温度从100°C经过后温度变为°C，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. （1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：，）； 【答案】（1）选模型②，且 （2） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数性质确定模型，再结合数据求解析式； （2）根据（1）求出的模型进行计算. 【小问1详解】 由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则，可得， 所以且； 【小问2详解】 令，则， 所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为. 17. 课外阅读有很多好处，可以帮助学生提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力等．某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生一个学期的课外阅读时间（单位：时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人． （1）求n和a的值； （2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）估计该校学生一个学期课外阅读时间的中位数． 【答案】（1）400； （2）105 （3）106.25 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图，先求得课外阅读时间在内的频率，进而求得的值，利用各小组频率之和为1求得a的值； （2）利用频率分布直方图对应的平均数公式计算即得； （3）根据中位数的定义，结合频率分布直方图列方程计算即得. 【小问1详解】 根据题意，课外阅读时间在内的有80人，频率为， 所以． 由频率分布直方图可知，， 解得． 【小问2详解】 估计该校学生一个学期课外阅读时间平均数为： ． 【小问3详解】 因为，所以中位数位于内， 设中位数为x，则，解得， 所以估计该校学生一个学期课外阅读时间的中位数为106.25． 18. 已知奇函数与偶函数满足. （1）求，的解析式； （2）若，，求的值； （3）若函数，求在上的最小值. 【答案】（1），； （2）； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由奇偶性得，联立即可求解解析式； （2）由求得和，再结合立方差公式即可计算求解. （3）令，构造函数，分、和三种情况结合一元二次函数性质研究函数的单调性求出即可得解. 【小问1详解】 由①，得②， ①②得，即. ①②得，即. 【小问2详解】 由（1）得，即， 因为又因为 所以 则. 【小问3详解】 由题，， 令，则在上单调递增，. 则， 当，即时，在上单调递减，. 当，即时，在上单调递增，. 当，即时， 综上：时，；时，；时，. 19. 已知. （1）当时，方程恰有一个解，求的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）当时，已知函数在上至少有3个零点，请求出的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）画出此时的函数图象，数形结合得到或； （2）得到，变形得到，求出不等式解集； （3）转化为在上至少有3个根，根据在上单调递增，则，因为，从而得到无解，令，由得或，而，只需，又，解得，当，即时，对应一个根，对应两个根，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 时，， 画出函数图象，如下： 数形结合可得：或； 小问2详解】 ， 由于，故， ，即， 变形为， 即， 故 解得，故， 又，故， 所以原不等式的解集为； 【小问3详解】 令，即，故， 当时，在上至少有3个零点， 故在上至少有3个根， 因为，所以在上单调递增， 故当时，， 又开口向上，对称轴为， 且时，，时，， 所以在上单调递增， 则， 因为， 当时，，故无解， 令，由，得， 解得或，而， 由于在R上至少有3个零点， 只需，又， 解得，此时，故至少对应一个根，满足要求， 当时，解得，负值舍去， 此时对应一个根，，对应两个根， 从而有3个根，符合题意， 因此. 所以的取值范围是. 【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $