2025年上海市普陀区中考数学一模试卷

2025年上海市普陀区中考数学一模试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，y关于x的二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.在中，，如果，那么的值是(    ) A. B. C. D. 3.下列二次函数的图象中，以直线为对称轴的是(    ) A. B. C. D. 4.设非零向量、，如果，那么下列说法中错误的是(    ) A. 与方向相同 B. C. D. 5.如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，，如果要证得与全等，那么可以添加的条件是(    ) A. B. C. D. 6.如图，矩形ABCD中，点P在对角线BD上，延长AP交DC于点G，过点P作，分别交AD、BC于点E、F，，如果，那么AP的长是(    ) A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.如果，那么          . 8.如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是______. 9.已知二次函数的图象经过原点，那么______. 10.已知抛物线经过点、，那么______填“>”、“<”或“=” 11.已知抛物线的开口向上，那么此抛物线的顶点在第______象限. 12.已知中，，AD是边BC上的高，如果，那么______. 13.如图，已知中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，，如果，，那么______. 14.如图，D、E分别是的边AB、AC上的点，，，垂足为点如果，，的面积为9，那么的面积为______. 15.如图，中，，AB的中垂线DE分别与AB、BC交于点E、如果，，那么的余弦值为______. 16.如图，斜坡BD的长为7米，在斜坡BD的顶部D处有一棵高为3米的小树点A、D、C在一直线上，，在坡底B处测得树的顶端A的仰角为，那么这个斜坡的坡度为______. 17.中，，，，点D在边BC上，，如图所示.点E在边AB上，将沿着DE翻折得，其中点B与点对应，交边AC于点G，交AC的延长线于点如果是等腰三角形，那么______. 18.在平面直角坐标系xOy中如图，点A、B在反比例函数位于第一象限的图象上，点B的横坐标大于点A的横坐标，如果的重心恰好也在这个反比例函数的图象上，那么点A的横坐标为______. 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题10分 计算： 20.本小题10分 如图，已知点E、F分别在的边AB和AC上，，，点D在BC的延长线上，，联结ED与AC交于点 求的值； 设，，那么______，______用向量、表示 21.本小题10分 如图，在平面直角坐标系xOy中，经过原点O的直线与双曲线交于点，点B在射线OA上，点C的坐标为 求直线OA的表达式； 如果，求点B的坐标. 22.本小题10分 如图，已知小河两岸各有一标大楼AB与CD，由于小河阻碍无法直接测得大楼CD的高度.小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼AB顶端A，并分别投射到大楼CD最高一层CG的顶端C和其底部G处，并测得，，点D，B，E，F在同一水平线上 小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼AB的高度，试求出大楼AB的高度； 为了能测得大楼CD的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼AB共有五层.据此信息能否测得大楼CD的高度？如果可以，试求出大楼CD的高度；如果不可以，说明理由. 参考数据：， 23.本小题12分 已知：如图，梯形ABCD中，，BD为对角线， 求证：； 为BC的中点，作，EF交边AD于点F，求证： 24.本小题12分 在平面直角坐标系xOy中如图已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点将抛物线沿射线BA方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为 求原抛物线的表达式； 求m关于n的函数解析式； 在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围. 25.本小题14分 在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”.它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系，这个性质的逆命题也成立. 利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题： 已知是“线垂”三角形，，是的“分角”. 如图1，BD是的角平分线，AE是的中线，AE与BD相交于点求BF：FD的值. 在图2 中画的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由. 在的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点O，点O与点A、B、C的距离分别为a、b、c，求a、b、c满足的等量关系. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、y不是关于x的二次函数，故此选项不符合题意； B、y是x的正比例函数，故此选项不符合题意； C、y是关于x的二次函数，故此选项符合题意； D、当时，y不是关于x的二次函数，故此选项不符合题意； 故选： 形如、b、c为常数，的函数叫做二次函数，由此判断即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：在中，，， ， 故选： 根据互余两角三角函数的关系进行解答即可． 本题考查互余两角三角函数的关系，掌握互余两角三角函数的关系是正确解答的关键． 3.【答案】D  【解析】解：的对称轴是直线，故选项A不符合题意； 的对称轴是直线，故选项不B符合题意； 的对称轴是直线，故选项C不符合题意， 的对称轴是直线，故选项D符合题意； 故选： 根据各个选项中的函数解析式可以得到相应的对称轴，从而可以解答本题． 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4.【答案】A  【解析】解：非零向量、，， ，，，与的方向相反． 故选项B，C，D正确，选项A错误． 故选： 由非零向量、，，判断出，，，与的方向相反即可． 不同楼层平面向量，解题的关键是掌握平面向量的有关性质． 5.【答案】D  【解析】解：对于选项A， ， ， 根据，，，不能判定与全等， 故选项A不符合题意； 对于选项B， 根据，，，不能判定与全等， 故选项B不符合题意； 对于选项C， 根据，，，不能判定与全等， 故选项C不符合题意； 对于选项D， ， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， 故选D符合题意， 故选： 对于选项A，根据得，由于，，不符合全等三角形的判定条件，进而可对该选项进行判断；对于选项B，由于，，不符合全等三角形的判定条件，进而可对该选项进行判断；对于选项C，由于，，不符合全等三角形的判定条件，进而可对该选项进行判断；对于选项D，根据得和均为直角三角形，由于，符合全等三角形的判定条件，进而可对该选项进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：如图，过点A作于点Q， 矩形ABCD中，，， ， ， ，即， ， 在中，， ，， ， 又， ∽， ，即， ，， 又， ， 又， ∽， ， ， 设，则， ， 解得：， 在中，， 的长是， 故选： 如图，过点A作于点Q，根据矩形的性质得，由得，由勾股定理得，证明∽得，即，证明∽得：，继而得到，设，则得，解得：，再根据可得结论． 本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等积变换等知识点．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：， 即 故答案为 根据分比性质计算即可． 本题考查了比例的性质：掌握常用的性质有：合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质． 8.【答案】  【解析】解：正比例函数的图象经过第二、四象限， ， 解得， 故答案是： 根据正比例函数的性质正比例函数，当时，该函数的图象经过第二、四象限解答． 本题主要考查了正比例函数的性质．正比例函数，当时，该函数的图象经过第二、四象限；当时，该函数的图象经过第一、三象限． 9.【答案】  【解析】解：二次函数的图象经过原点， ， 解得， 故答案为： 将代入解析式求解． 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 10.【答案】<  【解析】解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴， 点关于对称轴的对称点为点， ， 故答案为： 求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 11.【答案】四  【解析】解：抛物线的开口向上， ， ，， 抛物线的顶点在第四象限， 故答案为：四． 先根据抛物线开口向上得出，再求出顶点坐标即可判断． 此题考查了二次函数的性质，得出顶点坐标是解题关键． 12.【答案】6  【解析】解：在中，， ， 可以假设，， ， ，， ， ∽， ， ， ， ， ， 故答案为： 设，，利用相似三角形的性质构建方程求解． 本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 13.【答案】6  【解析】解：，，， ∽， ， ， ，， 四边形BDEF是平行四边形， ， 故答案为： 由，证明∽，则，求得，再证明四边形BDEF是平行四边形，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键． 14.【答案】4  【解析】解：过点A作于点H， 的面积为9， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ，， ∽， ， ， ， 故答案为： 过点A作于点H，根据的面积及BC的长求出AH的长，再证得∽，即可求出AE与AB的比值，再证∽，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可求出的面积． 本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：连接AD， ， ， 是AB的垂直平分线， ，， ， ， ， ∽， ， ， 或舍去， ， 在中，， 故答案为： 连接AD，先利用等腰三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，然后利用等量代换可得：，从而可证∽，最后利用相似三角形的性质求出BA的长，从而求出BE的长，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 16.【答案】1：  【解析】解：设米， 米， 米， ， ， 在中，， 米， 在中，， ， 整理得：， 解得：，舍去， 米，米， 这个斜坡的坡度：， 故答案为：1： 设米，则米，根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得米，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：由题意，画出图形如下：过点H作于点F， ， ， 交边AC于点G，交AC的延长线于点H， ， 如果是等腰三角形，则只能是为顶角，， ， 由对顶角相等得：， ， 由折叠的性质得：， ， 在中，，，，， ，，， ， ，即， 由折叠的性质得：，， 设，则， 在和中， ， ∽， ，即， 解得：，， ，， ，， ， 又，， ， ∽， ，即， 解得， ，， 在中，，即， 解得不符合题意，舍去， 即， 故答案为： 先画出图形，过点H作于点F，确定如果是等腰三角形，则只能是，设，则，再证出∽，根据相似三角形的性质可得，，然后证出∽，根据相似三角形的性质可得，从而可得CH，HD的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 18.【答案】  【解析】解：过点O作于点C，交反比例函数于点G，延长OC到E是，连接EA，EB，BG，AG，AG的延长线交OB于点H，过点G作轴于点M，过点C作轴于点N，如图所示： ， 是线段AB的垂直平分线， 的重心恰好也在反比例函数的图象上， 点G是的重心， 是OB边上的中线， ， 是线段AB的垂直平分线， 点A，B关于直线OC对称， 反比例函数关于直线OC对称， 直线OC的表达式为：， 解方程组：组， 得：，， 点A、B在反比例函数位于第一象限的图象上， 点G的坐标为， ， ，， 四边形AGBE是平行四边形， ， 又， 是的中位线， ， ， 轴，轴， ， ∽， ， ， ，， 点C的坐标为， 设直线AB的表达式为：， ，OC的表达式为：， ， 将，代入，得：， 解得：， 直线AB的表达式为：， 解方程组：， 得：，， 点B的横坐标大于点A的横坐标， 点A的横坐标为 故答案为： 过点O作于点C，交反比例函数于点G，延长OC到E是，连接EA，EB，BG，AG，AG的延长线交OB于点H，过点G作轴于点M，过点C作轴于点N，根据等腰三角形的性质及反比例函数的对称性得直线OC的表达式为，解方程组，得点，证明四边形AGBE是平行四边形得，则HG是的中位线，进而得，，证明和相似得，，则点，由此可求出直线AB的表达式为，然后解方程组即可得出点A的横坐标． 此题主要考查了三角形的重心，反比例函数图象上点的坐标，熟练掌握三角形重心的性质，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式是解决问题的关键． 19.【答案】解：原式   【解析】利用特殊锐角三角函数值计算即可． 本题考查特殊锐角三角函数值，熟练掌握该知识点是解题的关键． 20.【答案】   【解析】解：， ， ，， ∽， ， ， ，， ∽， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 由题意可得∽，则，即证明∽，可得 由题意得，，则由题意得，，则，，即可得 本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形法则、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 21.【答案】解：把点代入中得， ， ， 设直线OA的解析式为， 把代入中得， 解得， 直线OA的表达式为； 过点B作轴于点D， ， 设，则， ， ， 把点B代入中得， 解得， ，，   【解析】把点代入中求出m，确定点A，然后利用待定系数法求出直线OA的表达式； 过点B作轴于点D，根据可设，，则，进而得出B的坐标，代入直线OA的解析式解答即可． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 22.【答案】解：设AB为x m， 由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， 解得： 答：大楼AB的高度约为15m； 能测得大楼CD的高度． 每层楼的高度为：， ， 设DG为y m， ， 由题意得：， ， ， ， ， ， 解得：， 答：大楼CD的高度约为  【解析】设AB为x m，利用的正切值可得BE的长，进而表示出BF的长，那么根据的正切值可得AB的长； 设DG为y m，那么可得CD的长，利用的正切值可得DE的长，进而表示出DE的长，那么根据的正切值可得DG的长，加上CG的长即为大楼CD的高度． 本题考查解直角三角形的应用．合理应用直角三角形中所给锐角的正切值解决相关问题是解决本题的关键． 23.【答案】证明：， ， ， ， ∽， ； ， ， 又， ∽， ， ， ∽， ， ， ，   【解析】证明∽，即可得证； 证明∽，∽，即可得证． 本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24.【答案】解：原抛物线顶点的坐标为， ， 解得：，， 原抛物线的表达式是； 点A的坐标为，点B的坐标为， 直线AB的表达式为， 抛物线沿射线BA方向平移，可得顶点M始终落在射线BA上， 点M的坐标为，平移后抛物线的表达式为， 平移后的抛物线与原抛物线交于点N，其横坐标为n，点N的坐标为， ， 化简得：，得， ， ， 解得：， 关于n的函数解析式为； 过点B作，交原抛物线于点G， ， 当点N在AG之间的抛物线上运动时，是锐角． 当点N与点G重合时， 过点N作轴，垂足为点E，过点A作轴，垂足为点F， 点N的坐标为，点B的坐标为，点A的坐标为， 可得，，， ∽， ， ， ， 点M的坐标为， ， 点N位于原抛物线对称轴的右侧， 当是锐角时，平移距离的取值范围是  【解析】根据顶点的坐标为，列出方程，求解即可； 先求出直线AB的表达式为，根据题意求出点M的坐标为，点N的坐标为，计算即可； 分类讨论求出临界情况，即可得出取值范围． 本题考查了二次函数的性质，平移的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键． 25.【答案】解：过点E作，交AC于点G， 由是“线垂”三角形ABC的“分角”，， 可知， 是的中线， ， ， 是的角平分线， ， ， ，， ， ：FD的值等于3； 在边BC上取点M，使，联结AM，那么是“线垂三角形”，是“分角”； 可得， 为公共角， ∽， ， 也是“线垂三角形”，是“分角”； 作和的平分线，交点为O，联结OC，延长AO，交边BC于点N， 可得， 又，， ， ， ，，， 延长AN至点G，使，联结CG， 在和中， ， ≌， ，， 在中，由勾股定理得， 即  【解析】过点E作，交AC于点G，由题易得，，进而推出，进而得解； 根据“线垂”三角形的定义构造邻边之比1：2即可得解； 依题意作出角平分线，导角证边可得，作倍长中线：延长AN至点G，使，联结CG，易证≌，进而利用勾股定理求解即可． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的三条重要线段、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$