17.5 实践与探索 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

17.5 实践与探索 一、函数的应用与图象分析 1.理解并应用一次函数、反比例函数等解决实际问题，如复印费用问题、存款增长问题、路程与时间关系问题等。 2.通过观察函数图象，分析函数的增减性、交点、与坐标轴的交点等，从而获取问题的解。 二、二元一次方程与方程组 1.掌握二元一次方程与一次函数的关系，理解一个二元一次方程的解可以看作一次函数图象上的一个点。 2.掌握二元一次方程组的解与一次函数图象交点的关系，学会利用图象求解二元一次方程组。 三、不等式与图象 1.理解不等式与函数图象的关系，学会利用图象求解不等式。 2.通过观察图象，分析不等式的解集。 四、实践与探索 1.结合实际问题，进行函数的建模与应用，培养自主探究和合作交流的能力。 2.通过观察、分析、归纳等数学活动，加深对函数、方程、不等式等知识的理解与应用。 巩固课内例1:计费问题 1．郑州市出租车计费方式如下：以内（包含）只收起步价元，超过的除收起步价外，超出部分按元/进行计费． 则能反映该地出租车行驶路程与所收费用（元）之间的函数关系的图像是（   ） A． B． C． D． 2．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过240度时，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费．设每个家庭月用电量为x度时，应交电费为y元．具体收费情况如折线图所示，根据图象，得出以下结论：①“基础电价”是元/度；②当时，y与x的函数表达式为；③若明明家五月份缴纳电费132元，则明明家这个月用电量为200度．以上结论正确的是 ．（写序号即可） 3．暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往青岛旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去中山公园看樱花．甲公司：按日收取固定租金元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是元．设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，其关系如图所示．    根据以上信息，解决下列问题： (1)请直接写出，关于的表达式 ； (2)当租车时间为多少小时时，两个公司所需费用相同； (3)根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明直接写出选择怎样的出游方案更合理． 巩固课内例2:一次函数与二元一次方程组结合 1．一次函数与图象的交点为，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ． 3．如图，已知函数和的图象交于点，根据图象解答下列问题： (1)求的值； (2)求出方程的解． 巩固课内例3:一次函数与一元一次不等式结合 1．如图，一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知函数和的图像相交于点，则不等式的解集是 ． 3．如图，直线：和直线：交于点． (1)求k，m的值． (2)根据图象求：当时，自变量x的取值范围． 巩固课内例4:温度变化问题 1．在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间x（分钟）之间满足一次函数关系，如表记录了实验中温度和时间x（分钟）变化的部分数据． 时间x/分钟 6 10 15 … 时间 28 40 55 … 则加热18分钟时水的温度是（   ） A． B． C． D． 2．某恒温棚升温过程中，温度与时间成一次函数关系．已知升温时间为时，棚内温度为，升温时间为时，棚内温度为，则棚内温度与升温时间之间的一次函数表达式为 ． 3．学校劳动课上开展烘焙实践中，同学们发现烘焙蛋挞时，当温度为时，烘焙时间是分钟；当温度为时，烘焙时间是分钟．假设烘焙时间t（分钟）和温度满足一次函数关系． (1)求烘焙时间t（分钟）和温度的一次函数关系式． (2)若将烤箱温度设定为，则烘焙时间为多少分钟？ (3)若想要蛋挞烘焙时间，则烤箱温度T设定范围为__________． 类型一、一次函数与x轴交点 1．若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 2．将直线沿y轴向上平移4个单位后，与x轴的交点坐标是 ． 3．如图，函数和的图象相交于点．    (1)求m，a的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． (3)求的面积． 类型二、一次函数与二元一次方程组 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是 ． 3．综合与探究 【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和．作出直线． 【解决问题】 (1)已知、、，则点______（填“A或B或C”）在方程的图象上． (2)请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程） (3)观察图象，两条直线的交点坐标为______，由此你得出这个二元一次方程组的解是______． 类型一、一次函数与不等式问题 1．在平面直角坐标系中，两个一次函数的表达式分别为和，则下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 2．如图，一次函数（、是常数，且），的图像交于点，则关于的不等式的解集为 ． 3．如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线交于点，直线与x轴交于点A． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)直接写出不等式的解集． 类型二、反比例函数中的实际问题 1．充满气体的气球能够用脚踩爆，这里涉及气体压强与体积的关系．在温度恒定的情况下，气体的压强与气体体积是反比例函数关系，其图象如图所示．则下列说法中错误的是（    ） A．这个反比例函数解析式为 B．当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小 C．若压强由减压到，则气体体积增加了 D．若气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应小于 2．当灯泡两端电压恒定时，通过灯泡的电流与其电阻成反比例，关于的函数图象如图所示，当电流时，电阻的值是 ． 3．光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出y与x之间的函数表达式； (2)君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意．它适宜在照度至的室内生长，那么智能玻璃的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由． 类型三、反比例函数中的分配方案问题 1．2016年元旦假期，某市各大商场、超市纷纷采取满额减赠、团购等等多种促销方式聚人气，热卖商品主要集中在服装、数码产品、生鲜果蔬等方面．若该市某商场中所有服装均降价20%，且某件服装的原价为x元，则降价后的价格y(元)与原价x(元)之间的函数关系式为(　　) A．y＝0.8x B．y＝0.2x C．y＝1.2x D．y＝x－0.2 2．某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下： 车型 大巴车 （最多可坐55人） 中巴车 （最多可坐39人） 小巴车 （最多可坐26人） 每车租金 （元∕天） 900 800 550 则租车一天的最低费用为 元. 3．在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就是金山银山”理念，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． 设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元． (1)求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过20000元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求出最低费用． 类型四、反比例函数中的最大利润问题 1．某超市以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.3元，直至全部售完．销售金额y与售出西瓜的千克数x之间的关系如图所示，那么超市销售这批西瓜一共赚了（　　） A．20元 B．32元 C．35元 D．36元 2．某商店销售型和型两种电脑，其中型电脑每台的利润为400元，型电脑每台的利润为500元，该商店计划一次性购进两种型号的电脑共100台，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，则关于的函数解析式是 . 3．成都世博会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”．若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元． (1)求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格； (2)小明准备购买两款吉祥物共10件，若购买A款吉祥物数量为m件，购买A，B两款吉祥物总费用为W元，请写出总费用为W与数量m之间的函数关系式，并求出总费用最少为多少元？ 类型一、一次函数中的三角形 1．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2．如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 ． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若直线交轴负半轴于点，求的面积； (3)在轴上是否存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、反比例函数中的三角形 1．如图，已知为反比例函数图象上的两点，连接，则三角形的面积是（    ） A．4 B． C． D． 2．如图，直线与反比例函数交于点，与轴交于点，过双曲线上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点．若将四边形分成两个面积相等的三角形，则点坐标为 ． 3．如图，与次函数的图像交于点，的图像交y轴于点B．将过点A、B的直线向下平移，平移后的直线与反比例函数的图像交于点C，交y轴于点D，且点C的横坐标为3． (1)求k，m的值； (2)直接写出当时，不等式的解集：______； (3)在x轴负半轴上确定一点E，使得以A、D、E三点为顶点的三角形是等腰三角形，请求出所有符合条件的点E的坐标． 类型三、一次函数中的新定义 1．对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．例如：．若关于x的函数为，则该函数的最小值是（    ） A． B．0 C．5 D．7 2．定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，任意两点、，称的值为、两点的“坐标和距离”．若，为直线上任意一点，则，的“坐标和距离”的最小值为 ． 3．定义：在平面直角坐标系中，将直线中和的值都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“倍伴随线”，例如直线的“2倍伴随线”的函数解析式为． (1)求直线的“3倍伴随线”的函数表达式； (2)若点在直线的“2倍伴随线”上，求的值． 类型四、反比例函数中的新定义 1．定义新运算：例如：，，则的图象是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与BC交于点E，与AB交于点F． (1)当点E是BC的中点时，点F的纵坐标为 ； (2)定义：矩形OABC内所有横、纵坐标均为整数的点记为整点．若规定矩形的边AB，BC与曲线EF围成的封闭图形为M，当M内（不含边界）整点个数为5个时，k的取值范围是 ． 3．定义：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫作闭区间，表示为，对于一个函数，如果它的自变量与函数值y满足：当时，有，我们称此函数是闭区间上的“闭函数”．如函数，当时，；当时，，即当时，有，所以函数是闭区间上的“闭函数”．根据定义解答下列问题： (1)试判断函数是不是闭区间上的“闭函数”并说明理由； (2)若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求它的表达式； (3)若函数（，）是闭区间（）上的“闭函数”，求的取值范围． 1．电压为定值，电流与电阻成反比例，其函数图象如图所示，则电流与电阻之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（   ）． A． B． C． D． 3．如图是某游乐场每天的利润y（票价总收入减去运营成本）与每天售出的门票张数x的函数图象．目前该游乐场亏损，为了扭亏，游乐场同时采取降低运营成本、提高票价两种措施，下列图象中能表示采取措施后的图象是（   ） A． B． C． D． 4．某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流与可变电阻之间的函数关系如图所示，当某种使用这种蓄电池的用电器的安全电流最大为时，原电路中已经有一个的定值电阻，则至少应再串联一个 的电阻才可以保证电路安全（已知：串联电路的总电阻等于各电阻之和）． 5．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，．若要火焰的像高不低于，则小孔到蜡烛的最大距离为 ． 6．如图，一次函数与轴分别交于，两点，已知，另一函数过点和点，，交轴于点． （1） ； （2）在坐标平面内存在点，使，点的坐标为 ． 7．已知y关于x的一次函数． (1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若y是x的正比例函数，求m的值． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，． (1)求直线的解析式； (2)根据函数图象，直接写出当反比例函数中时，自变量的取值范围． 9．材料一：如图1，由画函数与的图象可知，直线可以由直线向上平移5个单位长度得到．由此我们得到正确的结论一：在直线：与直线：中，如果且，那么，反过来，也成立． 材料二：如图2，由画函数与的图象可知，利用所学知识一定能证出这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二：在直线：与：中，如果，那么，反过来，也成立． 应用举例：已知直线与直线互相垂直，则，所以． 解决问题： (1)请写出一条直线解析式，使它与直线平行． (2)如图3，点A坐标为，点P是直线上一动点，当点P运动到何位置时，线段的长度最小？画出图形，并求出此时点P的坐标． 10．如图①，某实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气．某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到4组数据(如下表)．该同学经过分析数据发现，m与对应的h的值成反比例关系． 重物质量m/kg 2 3 4 6 活塞与桶底的距离h/cm 24 16 12 t (1)计算：t =_____； (2)请你以m的值作为一个点的横坐标，对应的h 值作为该点的纵坐标，利用表中数据得到4个点的坐标，将这4个点描在如图②所示的平面直角坐标系中，并用平滑曲线连接； (3)要使活塞与筒底的距离h满足：时，求出m 的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.5 实践与探索 一、函数的应用与图象分析 1.理解并应用一次函数、反比例函数等解决实际问题，如复印费用问题、存款增长问题、路程与时间关系问题等。 2.通过观察函数图象，分析函数的增减性、交点、与坐标轴的交点等，从而获取问题的解。 二、二元一次方程与方程组 1.掌握二元一次方程与一次函数的关系，理解一个二元一次方程的解可以看作一次函数图象上的一个点。 2.掌握二元一次方程组的解与一次函数图象交点的关系，学会利用图象求解二元一次方程组。 三、不等式与图象 1.理解不等式与函数图象的关系，学会利用图象求解不等式。 2.通过观察图象，分析不等式的解集。 四、实践与探索 1.结合实际问题，进行函数的建模与应用，培养自主探究和合作交流的能力。 2.通过观察、分析、归纳等数学活动，加深对函数、方程、不等式等知识的理解与应用。 巩固课内例1:计费问题 1．郑州市出租车计费方式如下：以内（包含）只收起步价元，超过的除收起步价外，超出部分按元/进行计费． 则能反映该地出租车行驶路程与所收费用（元）之间的函数关系的图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目数量关系，列出函数解析式，由此即可求解． 【详解】解：以内（包含）只收起步价元，超过的除收起步价外，超出部分按元/进行计费，出租车行驶路程， ∴， 当，函数是平行与轴的线段；当时，函数是一条射线，函数值随自变量的增大而增大， 故选：． 【点睛】本题主要考查分段函数，理解题目数量关系，列出函数解析式是解题的关键． 2．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过240度时，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费．设每个家庭月用电量为x度时，应交电费为y元．具体收费情况如折线图所示，根据图象，得出以下结论：①“基础电价”是元/度；②当时，y与x的函数表达式为；③若明明家五月份缴纳电费132元，则明明家这个月用电量为200度．以上结论正确的是 ．（写序号即可） 【答案】①② 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图示，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数解实际问题的方法是解题的关键． 根据题意，当时，运用待定系数法可得直线的解析式为，判定①；当时，运用待定系数法可得直线的解析式为，可判定②；根据明明家五月份缴纳电费元大于元，明明家这个月用电量为度，运用第二档的计算方法可判定③；由此即可求解． 【详解】解：当时，设直线的解析式为，把点代入， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴“基础电价”是元/度，故①正确； 当时，设直线的解析式为，把点代入， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴当时，y与x的函数表达式为，故②正确； ∵第二档是当用电量超过240度时，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费，明明家五月份缴纳电费元大于元， ∴设明明家这个月用电量为度， ∴这个月的费用为：， 解得，， ∴明明家这个月用电量为260度，故③错误； 综上所述，正确的有①②， 故答案为：①② ． 3．暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往青岛旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去中山公园看樱花．甲公司：按日收取固定租金元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是元．设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，其关系如图所示．    根据以上信息，解决下列问题： (1)请直接写出，关于的表达式 ； (2)当租车时间为多少小时时，两个公司所需费用相同； (3)根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明直接写出选择怎样的出游方案更合理． 【答案】(1)； (2)租车时间为小时，两个公司所需费用相同 (3)见解析 【分析】本题考查一次函数的运用，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，即可． （1）设，，把，代入即可，把代入，即可； （2）当，求出，即可； （3）分类讨论：当，解出；当，解出；，解出，进行讨论，即可． 【详解】（1）解：设，， ∴把，代入， ∴， 解得：， ∴； 把代入， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：由函数图象可知，当时，两个公司所需费用相同， ∴， 解得：； 当租车时间为小时，两个公司所需费用相同． （3）解：当， ∴当租车时间为小时，两个公司所需费用相同； 当，， ∴当租车时间为小时，甲公司所需费用较高，选择乙公司比较划算； 当，， ∴当租车时间为小时，乙公司所需费用较高，选择甲公司比较划算． 巩固课内例2:一次函数与二元一次方程组结合 1．一次函数与图象的交点为，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，满足函数解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点就一定满足函数解析式，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案． 【详解】解：一次函数与图象的交点为 方程组的解是， 故选：D ． 2．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，明确一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键．根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，方程组的解对应两个一次函数的交点坐标，从而可写出方程组的解． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴方程组的解是． 故答案为：． 3．如图，已知函数和的图象交于点，根据图象解答下列问题： (1)求的值； (2)求出方程的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，掌握相关结论即可． （1）分别将代入和即可求解； （2）方程的解表示函数和的图象的交点横坐标，据此即可求解； 【详解】（1）解：将代入函数，得， 解得， 将代入函数，得，解得； （2）解：根据图象可得方程的解是． 巩固课内例3:一次函数与一元一次不等式结合 1．如图，一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式解集即可． 【详解】解：函数过点， ∴， 解得：， ∴ ∴不等式得解集为． 故选：A． 2．如图，已知函数和的图像相交于点，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用函数图像求一元一次不等式的解集，确定点坐标是解题关键．首先将点代入函数，求解即可获得点坐标，然后结合图像即可获得答案． 【详解】解：将点代入函数， 可得，解得， ∴， 结合图像可知，不等式的解集是． 故答案为：． 3．如图，直线：和直线：交于点． (1)求k，m的值． (2)根据图象求：当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了求两直线的交点问题，图象法解不等式等知识，正确求出两直线的交点坐标是解题的关键． （1）把代入得到，得到，把代入得到即可； （2）根据交点找到直线在直线上方的点的横坐标的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入得到，， 解得， ∴， 把代入得到 ， 解得， （2）解：由（1）可知，， 由函数图象可知，当直线在直线上方时，， ∴当时，自变量x的取值范围是． 巩固课内例4:温度变化问题 1．在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间x（分钟）之间满足一次函数关系，如表记录了实验中温度和时间x（分钟）变化的部分数据． 时间x/分钟 6 10 15 … 时间 28 40 55 … 则加热18分钟时水的温度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，设y与x的解析式为，知：当时，； 当时，，将两组数据分别代入解析式得到关于k，b二元一次方程组，求解可得y与x的解析式，然后将代入解析式求解即可．掌握用待定系数法确定y与x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：设y与x的解析式为， 由表格数据知：当时，； 当时，． ∴， 解得：， ∴y与x的解析式为， 当时， （）， ∴加热18分钟时水的温度是． 故选：B． 2．某恒温棚升温过程中，温度与时间成一次函数关系．已知升温时间为时，棚内温度为，升温时间为时，棚内温度为，则棚内温度与升温时间之间的一次函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的运用，根据题意，设一次函数解析式为，运用待定系数法即可求解． 【详解】解：根据题意，设一次函数解析式为， 当升温时间为时，温度为，当升温时间为时，温度为的值代入， ， 解得，， ∴棚内温度与升温时间的一次函数解析式为：， 故答案为： ． 3．学校劳动课上开展烘焙实践中，同学们发现烘焙蛋挞时，当温度为时，烘焙时间是分钟；当温度为时，烘焙时间是分钟．假设烘焙时间t（分钟）和温度满足一次函数关系． (1)求烘焙时间t（分钟）和温度的一次函数关系式． (2)若将烤箱温度设定为，则烘焙时间为多少分钟？ (3)若想要蛋挞烘焙时间，则烤箱温度T设定范围为__________． 【答案】(1) (2)分钟 (3) 【分析】此题考查了一次函数的实际应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）设烘焙时间t（分钟）和温度的一次函数关系式为．当温度为时，烘焙时间是分钟；当温度为时，烘焙时间是分钟．据此列方程组，解方程组即可得到答案； （2）求出当时的函数值即可； （3）分别求出当时和当时的的值，根据一次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：设烘焙时间t（分钟）和温度的一次函数关系式为．根据题意可得， ， 解得， ∴烘焙时间t（分钟）和温度的一次函数关系式为； （2）当时，， 即若将烤箱温度设定为，则烘焙时间为分钟； （3）当时，，解得， 当时，，解得， 对于， ∵， ∴随着增大而减小， ∴ 类型一、一次函数与x轴交点 1．若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程的解就是一次函数与轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标即可得答案． 【详解】解：一元一次方程的解是， 当时，， 故直线的图像与x轴的交点坐标是． 故选：A． 2．将直线沿y轴向上平移4个单位后，与x轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令，解得即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数的图象向上平移4个单位长度所得函数的解析式为， ∵此时与x轴相交，则， ∴，即， ∴与x轴的交点坐标是． 故答案为： 3．如图，函数和的图象相交于点．    (1)求m，a的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)5 【分析】（1）首先把代入，求得m的值，然后利用待定系数法求出a的值； （2）以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可； （3）分别求得A，B 坐标，即可得答案． 【详解】（1）把代入得，， 解得， ∴点P的坐标为， ∵函数的图象经过点P， ∴， 解得； （2）由图象得，不等式的解集为； （3）对于直线，当时，， 对于直线，当时，， ∴， ∴的面积． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，以及坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键． 类型二、一次函数与二元一次方程组 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确； ②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确； ③．由图象可知：当时，，故选项③错误； ④．由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为；故选项④正确； 故正确的有①②④共三个， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 2．如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解决问题的关键．先求点A的横坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解． 【详解】解：将代入得，解得：， 所以A点坐标为， 所以方程组的解是， 故答案为：． 3．综合与探究 【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和．作出直线． 【解决问题】 (1)已知、、，则点______（填“A或B或C”）在方程的图象上． (2)请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程） (3)观察图象，两条直线的交点坐标为______，由此你得出这个二元一次方程组的解是______． 【答案】(1)A (2)作图见解析 (3)，； 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系，熟练掌握数形结合是解题的关键． （1）分别把，代入求出值，根据是否一致进行判断即可； （2）求出方程的两组解，确定两个点，即可画出的图象，用同样的方法画出的图象即可； （3）观察（2）中的图象，找出交点坐标，即可解答； 【详解】（1）代入得：， 所以点A在方程的图象上； 代入得：， 所以点B不在方程的图象上； 代入得：， 所以点C不在方程的图象上； 故答案为：A， （2）解：把代入得：，解得：； 把代入得：，解得：； ∴的图象经过，，； 把代入得：，解得：； 把代入得：，解得：； ∴的图象经过，； 如图即为所求： （3）解：由（2）可得：的图象与的图象相交于， ∴这个二元一次方程组的解是， 故答案为：，； 类型一、一次函数与不等式问题 1．在平面直角坐标系中，两个一次函数的表达式分别为和，则下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，两个一次函数交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先求出两个一次函数与轴的交点坐标，再根据函数图象，进行解答即可． 【详解】解：在一次函数中令，则， 一次函数的图象过点， 在一次函数中令，则， 一次函数的图象过点， 如图，画出两个一次函数图象， 由函数图象可以得出：当时，，当或时，， 故选：D 2．如图，一次函数（、是常数，且），的图像交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察函数图象得到，当时，函数的图象都在函数的图象的上方，由此得到不等式，即的解集． 【详解】解：如图所示，一次函数与的图像交于点， ∴不等式，即的解集为 故答案为：． 3．如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线交于点，直线与x轴交于点A． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为10； (3)． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题及三角形的面积公式等，熟练掌握一次函数的图形性质是解决本题的关键． （1）由直线求得P的坐标，代入即可得到结论； （2）由直线的解析式求得B、C的坐标，由直线求得A的坐标，然后根据四边形的面积等于的面积减去的面积即可得到结论； （3）利用图象直接得出结论． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：把代入，得： ，解得， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， ∴， 过P点作轴于H，如下图所示： ∴四边形的面积为 ； （3）解：∵， ∴由图象知：不等式的解集为． 类型二、反比例函数中的实际问题 1．充满气体的气球能够用脚踩爆，这里涉及气体压强与体积的关系．在温度恒定的情况下，气体的压强与气体体积是反比例函数关系，其图象如图所示．则下列说法中错误的是（    ） A．这个反比例函数解析式为 B．当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小 C．若压强由减压到，则气体体积增加了 D．若气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应小于 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据题意可知P与V的函数的表达式为，利用待定系数法即可求得函数解析式可判断A；根据图象可判断B；求出压强为和时的函数值可判断C；求出压强为时的函数值，结合反比例函数的性质可判断D． 【详解】解：A．设P与V的函数关系式为：， 则， 解得， ∴函数关系式为，故A正确； B．由图象可知，当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小，故B正确； C．将代入得，将代入得，，故C正确； D．将代入得， ∵当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的减小而增大，球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应大于，故D不正确． 故选D． 2．当灯泡两端电压恒定时，通过灯泡的电流与其电阻成反比例，关于的函数图象如图所示，当电流时，电阻的值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了反比例函数的运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式式解题的关键． 根据题意，点在反比例函数图象，运用待定系数法即可求解反比例函数解析式，再把代入计算即可． 【详解】解：根据题意，设反比例函数， ∵点在反比例函数图象， ∴， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， 故答案为：10 ． 3．光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出y与x之间的函数表达式； (2)君子兰承载着传统文化中的高贵典雅、温和有礼等寓意．它适宜在照度至的室内生长，那么智能玻璃的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】设y与x之间的函数表达式为，把代入即可得到结论； 把和3000分别代入得，即可得到结论． 本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为， 把代入得，， 与x之间的函数表达式为； （2）解：智能玻璃的透明度x应控制在范围内， 理由：把和3000分别代入得， ，， 智能玻璃的透明度x应控制在范围内． 类型三、反比例函数中的分配方案问题 1．2016年元旦假期，某市各大商场、超市纷纷采取满额减赠、团购等等多种促销方式聚人气，热卖商品主要集中在服装、数码产品、生鲜果蔬等方面．若该市某商场中所有服装均降价20%，且某件服装的原价为x元，则降价后的价格y(元)与原价x(元)之间的函数关系式为(　　) A．y＝0.8x B．y＝0.2x C．y＝1.2x D．y＝x－0.2 【答案】A 【分析】所有服装均降价20%，且某件服装的原价为x元，这降价后为(1－20%)x，则可列出函数关系式. 【详解】依题意得：y＝(1－20%)x＝0.8x， 故选A. 【点睛】此题主要考查列函数关系式，解题的关键是根据题意列出等量关系. 2．某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下： 车型 大巴车 （最多可坐55人） 中巴车 （最多可坐39人） 小巴车 （最多可坐26人） 每车租金 （元∕天） 900 800 550 则租车一天的最低费用为 元. 【答案】1450 【分析】根据题意，求出大巴车，中巴车，小巴车每个座位的费用，方案中最好有大巴车，写出方案再进行比较即可. 【详解】解：大巴车每个座位的费用为：（元）， 中巴车每个座位的费用为：（元）， 小巴车每个座位的费用为：（元）， 方案1：用大巴车，需要2辆，费用为：1800元. 方案2：用中巴车，需要2辆，费用为：1600元. 方案3：用小巴车，需要3辆，费用为：元. 方案4：用大巴车1辆和中巴车1辆，费用为：1700元. 方案5：用大巴车1辆和小巴车1辆，费用为：1450元. 则租车一天的最低费用为1450元. 故答案为1450. 【点睛】此题主要考查了方案的选择，解题的关键是读懂题意，找出几种方案进行比较． 3．在学习习总书记关于生态文明建设重要讲话精神，树立“绿水青山就是金山银山”理念，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1440名师生到某林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． 设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元． (1)求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过20000元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？求出最低费用． 【答案】(1)且为整数) (2)共有种方案，当型租辆，型租辆时，最省钱，最低费用为元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题． （1）根据租车总费用、两种车的费用之和，列出函数关系式即可； （2）列出不等式，求出自变量的取值范围，利用函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解： ； ∵，， ∴； 函数解析式为，自变量取值范围为：且为整数； （2）解：， ， ， 因为取整数， 所以x可取20，21，22，23，24，25，26， 所以有种方案. 在中， 随的增大而增大， 所以当时，最省钱，费用元， 答：共有种方案，当型租辆，型租辆时，最省钱，最低费用为元． 类型四、反比例函数中的最大利润问题 1．某超市以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.3元，直至全部售完．销售金额y与售出西瓜的千克数x之间的关系如图所示，那么超市销售这批西瓜一共赚了（　　） A．20元 B．32元 C．35元 D．36元 【答案】B 【分析】通过审题，发现题目中不知道购进的西瓜重量，而问题一共赚了多少元，由出售的总价格-进货的总价格=赚了多少和右图所示出售的总价格是72元，那么可以用一次函数求出购进的西瓜重重，就可以求出进货的总价格； 【详解】解：由图可求：60÷40=1.5元， 由于后来每千克降价0.3元，可以求后来的出售的西瓜重量：（72-60）÷（1.5-0.3）=10 （千克） 所有进货的总重量：10+40=50 （千克）； 所以进货总进价：50×0.8=40 （元） 赚了：出售总价格-进货总价格=72-40=32 （元） 故选B． 【点睛】考查一次函数的应用，经济问题相关公式，看图分析问题能力；要理解题目意思和看懂图中的信息，易错点是：看懂图中的信息，把两次不同价格出售的西瓜重量加起来． 2．某商店销售型和型两种电脑，其中型电脑每台的利润为400元，型电脑每台的利润为500元，该商店计划一次性购进两种型号的电脑共100台，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，则关于的函数解析式是 . 【答案】 【分析】根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式. 【详解】解：根据题意， y=400x+500（100-x）=-100x+50000； 故答案为 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据总利润与销售数量的数量关系列出关系式． 3．成都世博会吉祥物为可爱的“桐妹儿”，寓意和平友好、包容互鉴，富有深刻的文化内涵和巴蜀特色．五一假期，小明参观完世博会后，准备购买世博会纪念品送给同学，现有A，B两款吉祥物“桐妹儿”．若购买A款吉祥物1件和B款吉祥物3件，则需190元；若购买A款吉祥物2件和B款吉祥物1件，则需180元． (1)求每件A款吉祥物和每件B款吉祥物的价格； (2)小明准备购买两款吉祥物共10件，若购买A款吉祥物数量为m件，购买A，B两款吉祥物总费用为W元，请写出总费用为W与数量m之间的函数关系式，并求出总费用最少为多少元？ 【答案】(1)每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元； (2)总费用为W与数量m之间的函数关系式为，总费用最少为520元． 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握一次函数的增减性和二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）分别设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据“总费用=每件A款吉祥物的价格×购买A款吉祥物数量+每件B款吉祥物的价格×购买B款吉祥物数量”写出W与m之间的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：设每件A款吉祥物的价格是a元，每件B款吉祥物的价格是b元． 根据题意，得， 解得． 答：每件A款吉祥物的价格是70元，每件B款吉祥物的价格是40元； （2）解：， ∵， ∴W随m的减小而减小， ∵， ∴当时，W值最小，． 答：总费用为W与数量m之间的函数关系式为，总费用最少为520元． 类型一、一次函数中的三角形 1．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．由，得出直直线经过点，如图，当直线经过或时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的的值，结合图象即可得到结论． 【详解】解：， 直线经过点，如图， 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， 则，解得； 直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则的取值范围是且， 故选：D． 2．如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，先求出两点的坐标，进而求出的长，分或两种情况进行讨论求解即可．利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点B的坐标为， ∴， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示， ∵，， ∴， 当以C、D、A为顶点的三角形与全等时，共有或两种情况， 当时，， ∴点D的坐标为，即； 当时，， ∴点D的坐标为． 综上所述，点D的坐标为或． 故答案为：或． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若直线交轴负半轴于点，求的面积； (3)在轴上是否存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）将点代入即可求解； （2）设，根据勾股定理可以求出的值，即可得到的面积； （3）分、、三种情况分别求出点坐标． 【详解】（1）解：将点代入得，解得：， 故直线的表达式为． （2）解：设， ， ，即， ， 解得：， ． （3）解：存在 由题意可得， ∴可分三种情况考虑，如图所示． 当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为； 当时，设，则， ∴，解得：， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为． 综上所述：轴上存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或或． 类型二、反比例函数中的三角形 1．如图，已知为反比例函数图象上的两点，连接，则三角形的面积是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例图象上点的坐标特征，分别过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，且的延长线交于点．根据求得即可． 【详解】解：分别过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，且的延长线交于点， 都是反比例函数图象上的两点， ， ， ， ， ， 故选：D． 2．如图，直线与反比例函数交于点，与轴交于点，过双曲线上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点．若将四边形分成两个面积相等的三角形，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质．先求得直线，反比例函数解析式，设，根据将四边形分成两个面积相等的三角形，得到，据此列出关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵反比例函数经过点，直线经过点， ∴，， ∴ ∴，， 令，则， 即． 设，且， ∴． ∵将四边形分成两个面积相等的三角形， ∴， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验是原方程的解， ∴点的坐标为． 故答案为：． 3．如图，与次函数的图像交于点，的图像交y轴于点B．将过点A、B的直线向下平移，平移后的直线与反比例函数的图像交于点C，交y轴于点D，且点C的横坐标为3． (1)求k，m的值； (2)直接写出当时，不等式的解集：______； (3)在x轴负半轴上确定一点E，使得以A、D、E三点为顶点的三角形是等腰三角形，请求出所有符合条件的点E的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数的解析式为：； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，定义三角形的定义： （1）分别把点A的坐标代入两函数解析式中利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）先求出点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点坐标，再分三种情况利用勾股定理进行讨论求解． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴反比例函数解析式为， 把代入，得：，解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：由函数图象可知，当时，一次函数图象在反比例函数图象下方， ∴当时，不等式的解集为； （3）解：∵点在反比例函数的图象上，且横坐标为3， ∴， ∴， ∵直线是直线平移得到的 ∴可设直线的解析式为， 把，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设， ∵， ∴， 当以A、D、E三点为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①时，，解得：或（舍去）； ②时，，解得：或（舍去）； ③时，，解得：（舍去）． 综上：或， ∴点或． 类型三、一次函数中的新定义 1．对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．例如：．若关于x的函数为，则该函数的最小值是（    ） A． B．0 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查一次函数，联立与成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据的意义即可得出函数的最小值． 【详解】解：联立与得， 解得， 当时，， ； 当时，， ； 综上可知，该函数的最小值是5， 故选C． 2．定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，任意两点、，称的值为、两点的“坐标和距离”．若，为直线上任意一点，则，的“坐标和距离”的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，绝对值的意义，关键是明确、两点的“坐标和距离”的含义．由坐标和距离的定义得P，Q的“坐标和距离”为，由绝对值的意义求出最小值即可． 【详解】解：为直线上任意一点， 设， ， ，的“坐标和距离”为， 而表示数轴上的到和的距离之和，其最小值为； 故答案为： 3．定义：在平面直角坐标系中，将直线中和的值都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“倍伴随线”，例如直线的“2倍伴随线”的函数解析式为． (1)求直线的“3倍伴随线”的函数表达式； (2)若点在直线的“2倍伴随线”上，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质． （1）根据“倍伴随线”的定义即可得到答案； （2）先根据“倍伴随线”的定义得到直线的“2倍伴随线”，再把代入求出x的值即可． 【详解】（1）解：， 直线的“3倍伴随线”的函数表达式为． （2）直线的“2倍伴随线”的函数表达式为． 在中，令， 得， 解得 ∴的值为1． 类型四、反比例函数中的新定义 1．定义新运算：例如：，，则的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，根据新定义运算，写出函数解析式，再根据函数解析式即可判断求解，掌握反比例函数的图象是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 即为反比例函数，当时，图象在第一象限；当时，图象在第二象限； 故选：． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与BC交于点E，与AB交于点F． (1)当点E是BC的中点时，点F的纵坐标为 ； (2)定义：矩形OABC内所有横、纵坐标均为整数的点记为整点．若规定矩形的边AB，BC与曲线EF围成的封闭图形为M，当M内（不含边界）整点个数为5个时，k的取值范围是 ． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据题意可知点E的坐标，反比例函数解析式可求，点F横坐标为4，纵坐标可求． （2）分别找出当M内（不含边界）整点个数为5个时的反比例函数临界位置，分别求出k的值即可求出k的取值范围． 【详解】（1）∵点E是BC的中点，点B的坐标为 ∴点E的坐标为 将点E代入中 得 解得： ∴反比例函数解析式为 ∵反比例函数与AB交于点F ∴点F横坐标为4， 将代入解析式中可得： ∴点F的纵坐标为3， 故答案为3． （2） 如图所示：当反比例函数的图像经过点时，图像必经过点，此时图形M内的整点有4个，此时；当反比例函数的图像经过点时，图像必经过点，此时图形M内的整点有5个，此时； ∴当M内（不含边界）整点个数为5个时，k的取值范围是． 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质及数形结合的思想，充分理解题意是解答本题的关键． 3．定义：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫作闭区间，表示为，对于一个函数，如果它的自变量与函数值y满足：当时，有，我们称此函数是闭区间上的“闭函数”．如函数，当时，；当时，，即当时，有，所以函数是闭区间上的“闭函数”．根据定义解答下列问题： (1)试判断函数是不是闭区间上的“闭函数”并说明理由； (2)若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求它的表达式； (3)若函数（，）是闭区间（）上的“闭函数”，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，反比例函数的增减性，新定义，理解闭函数的定义是解答关键． （1）根据反比例函数的增减性结合闭函数的定义来求解； （2）根据闭函数的定义，结合一次函数的增减性可求出和，进而求出一次函数的解析式； （3）根据函数在时的增减性，结合闭函数的定义得到图象过点和两点，得到，结合来求解． 【详解】（1）解：反比例函数是闭区间上的“闭函数”． 理由如下： 反比例函数在第一象限内随的增大而减小， 当时，；当时，， 即图象过点和， 当时，有，符合闭函数的定义． 所以反比例函数是闭区间上的“闭函数”． （2）解：因为一次函数是闭区间上的“闭函数”， 根据一次函数的图象与性质，当时，随的增大而增大， 即图象过点和两点，… 则， 解得， 所以，此时函数的表达式是． （3）解：因为函数在时，随的增大而增大， 又函数（，）是闭区间（）上的“闭函数”， 即图象过点和两点， 代入有， 即， 又， 故，是方程的两个不相等正根， 即有， 解得：， 所以的取值范围是． 1．电压为定值，电流与电阻成反比例，其函数图象如图所示，则电流与电阻之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题求反比例函数解析式，点在函数图象上，就一定适合这个函数解析式．设函数解析式为，由于点在函数图象上，故代入可求得的值． 【详解】解：设函数解析式为，代入点， 那么有 解得 故选：A． 2．物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式和求自变量的值等知识．利用待定系数法求出函数解析式为，再把代入求解即可． 【详解】解：∵浸在液体中的高度h是液体的密度的反比例函数， ∴可设， ∵当密度计悬浮在密度为的水中时，， ∴， 解得 ∴， 当时，，解得， 故选：D 3．如图是某游乐场每天的利润y（票价总收入减去运营成本）与每天售出的门票张数x的函数图象．目前该游乐场亏损，为了扭亏，游乐场同时采取降低运营成本、提高票价两种措施，下列图象中能表示采取措施后的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，从降低运营成本、提高票价两种措施结合函数图象，逐项分析判断，即可求解． 【详解】根据直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，故CD选项，不合题意， 直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了降低成本而保持票价不变，故B选项不合题意； 综上所述，乐场同时采取降低运营成本、提高票价两种措施，只有A选项中的图象符合题意， 故选：A． 4．某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流与可变电阻之间的函数关系如图所示，当某种使用这种蓄电池的用电器的安全电流最大为时，原电路中已经有一个的定值电阻，则至少应再串联一个 的电阻才可以保证电路安全（已知：串联电路的总电阻等于各电阻之和）． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由图可知电流与可变电阻之间符合反比例函数关系，可先设出，代入已知点求解系数，再求解电流为时用电器的电阻，从而可得答案． 【详解】解：由图可知电流与可变电阻之间符合反比例函数关系， 设，代入， ∴， ∴解析式为； 当时，， ∴原电路中已经有一个的定值电阻，则至少应再串联一个的电阻才可以保证电路安全； 故答案为：2 5．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，．若要火焰的像高不低于，则小孔到蜡烛的最大距离为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 根据火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，，可求出反比例函数解析式，由此即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 当时，， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为， 当火焰的像高为3时， 即时，， 解得，． ∴要火焰的像高不低于，则小孔到蜡烛的最大距离为为． 故答案为：4． 6．如图，一次函数与轴分别交于，两点，已知，另一函数过点和点，，交轴于点． （1） ； （2）在坐标平面内存在点，使，点的坐标为 ． 【答案】 4 或或 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）依据一次函数，求得，，依据D是的中点，可得，运用待定系数法即可得到直线的函数表达式；求得，，再根据的面积的面积的面积，进行计算即可； （2）在另三个象限内分别找到点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与全等． 【详解】解：（1）一次函数， 令，则；令，则， ∴，， ∵， ∴D是的中点， ∴，即， 设直线的函数表达式为， 把代入解析式得， ， 解得，， ∴直线的函数表达式为， 当时，， 解得，， ∴， ∴ ∴ ∴的面积的面积的面积； （2）如图， 当点F在第二象限时，点F的坐标为； 当点F在第三象限时，点F的坐标为； 当点F在第四象限时，点F的坐标为． 7．已知y关于x的一次函数． (1)若y随x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若y是x的正比例函数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的增减性以及正比例函数的定义，熟记相关结论即可． （1）对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．据此即可求解； （2）对于一次函数，当时，此时为正比例函数，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵y随x的增大而减小， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是； （2）解：∵y是x的正比例函数 ∴ 解得 ∴ 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，． (1)求直线的解析式； (2)根据函数图象，直接写出当反比例函数中时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，根据交点求不等式的解集是解题的关键． （1）根据点在反比例函数图象上，且，可得，运用待定系数法，把点代入一次函数解析式即可求解． （2）根据图示，由点即可得到反比例函数中时自变量的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的函数图象上，且， ∴， 解得，， 检验，当时，反比例函数函数有意义， ∴， ∵点在一次函数图象上， ∴设一次函数， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：∵， ∴当反比例函数中时，． 9．材料一：如图1，由画函数与的图象可知，直线可以由直线向上平移5个单位长度得到．由此我们得到正确的结论一：在直线：与直线：中，如果且，那么，反过来，也成立． 材料二：如图2，由画函数与的图象可知，利用所学知识一定能证出这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二：在直线：与：中，如果，那么，反过来，也成立． 应用举例：已知直线与直线互相垂直，则，所以． 解决问题： (1)请写出一条直线解析式，使它与直线平行． (2)如图3，点A坐标为，点P是直线上一动点，当点P运动到何位置时，线段的长度最小？画出图形，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)线段的长度最小时，点的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、垂线段以及两直线平行或相交，解题的关键是：（1）根据材料一找出与已知直线平行的直线；（2）利用点到直线之间垂直线段最短找出点的位置． （1）由两直线平行可得出 ，取即可得出结论； （2）过点作直线于点，此时线段的长度最小，由两直线垂直可设直线的解析式为由点的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式，联立两直线解析式成方程组，再通过解方程组即可求出：当线段的长度最小时，点的坐标． 【详解】（1）解：∵两直线平行， ， ∴该直线可以为 故答案为： （答案不唯一）； （2）解：过点作⊥直线于点，此时线段的长度最小，如图所示． ∵直线与直线垂直， ∴设直线的解析式为， ∵点)在直线上， ，解得：， ∴直线的解析式为 联立两直线解析式成方程组，得：， 解得； ∴当线段的长度最小时，点的坐标为． 10．如图①，某实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气．某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到4组数据(如下表)．该同学经过分析数据发现，m与对应的h的值成反比例关系． 重物质量m/kg 2 3 4 6 活塞与桶底的距离h/cm 24 16 12 t (1)计算：t =_____； (2)请你以m的值作为一个点的横坐标，对应的h 值作为该点的纵坐标，利用表中数据得到4个点的坐标，将这4个点描在如图②所示的平面直角坐标系中，并用平滑曲线连接； (3)要使活塞与筒底的距离h满足：时，求出m 的取值范围． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)m的取值范围是 【分析】本题考查反比例函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、画函数图象，理解题意，正确求出函数解析式并利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据反比例函数的定义可求解； （2）根据题意，利用描点法画出图形即可； （3）将，代入分别求出m的值，再根据函数的性质得到m取值范围． 【详解】（1）解：设m与对应的h的值反比例关系为， 将代入，得， ∴， 当时，， 故答案为8； （2）图象如图： （3）当时，， 当时，， ∵， ∴m随h的增大而减小， ∴时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$