精品解析：重庆市奉节县2024—2025学年九年级上学期期末考试数学试题

奉节县2024年秋季九年级期末水平测试数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面都给出了四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 如图所示的几何体的从左面看到的图形为（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是，则估计盒子中大约有红球（ ） A. 6个 B. 10个 C. 40个 D. 60个 4. 如图，与是位似图形，且位似中心为点O．若，则与的周长之比为（） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 有一个角是的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 7. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点H为边的中点．若菱形的周长为20，则的长为（） A. B. 4 C. 5 D. 10 8. 如图，在中，点D，E分别在边，上，下列条件中不能满足的是（） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，，点F为边上的一点，连接交于点G，且，点E是对角线上的一点，连接，．若，则的面积为（ ） A. 8 B. 16 C. 20 D. 24 10. 对两个整式，进行如下操作：将B加上A，结果为，称为第1次操作；将第1次操作的结果加上，结果为，称为第2次操作；将第2次操作的结果加上，结果为，称为第3次操作；将第3次操作的结果，加上，结果为，称为第4次操作；……．下列说法正确的个数有（ ） ①第5次操作的结果为：； ②若，则； ③若，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知关于x的方程是一元二次方程，则______． 12. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O．若，则的度数为_____． 13. 已知点、、都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 14. 已知，则的值为_______． 15. 有形状、质地、大小、颜色完全相同的3张卡片，卡片上分别标有数字，1，2．将它们洗匀后，背面朝上，从中随机抽取1张，把抽得的数字记作a，再从剩下的卡片中随机抽取1张，把抽得的数字记作b，则使得反比例函数的图象经过第一、三象限的概率为______． 16. 如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，窗户的高在教室地面上的影长米，点M到墙角的距离米，窗户的下沿到教室地面的距离米（点M，N，C在同一直线上），则窗户的高为_______． 17. 若关于x的不等式组有且只有三个整数解，且关于y的方程的解均为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和为_______． 18. 如果四位数m满足千位上的数字与百位上的数字的差等于十位上的数字与个位上的数字的差的一半，则称这个数为“半差数”．对于一个四位数m，将这个四位数m千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数n，记，计算______．若s，t都是“半差数”，其中，（，，，，x，y，a，b都是整数），规定，若，则k的最大值为________． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98； 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：82，83，86，89，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 87 86 b 52.4 八年级 87 a 89 62.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级共有900人参赛，八年级共有850人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有多少人？ 21. 如图，在四边形中，，连接，且． （1）用直尺和圆规作的角平分线交于点E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，若，求证：；（补全证明过程） 证明：， ① ， ∵， ② ， ， ，平分， ， ③ ， ④ ． 22. 某水果店出售A、B两种水果，现有如下信息： ①两种水果的进货单价之和是12元； ②A水果的销售单价比进货单价多3元，B水果的销售单价比进货单价的2倍少3元； ③小明在该水果店购买4斤A水果和5斤B水果，共付了75元． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求两种水果的进货单价分别为多少元？ （2）该水果店平均每天可卖出A水果60斤和B水果80斤．由于A水果的保质期较短，水果店老板为加快销售速度，打算将A水果的销售单价降低m元，B水果的销售单价和销量保持不变．经调查发现：A水果的销售单价每降元，A水果每天多卖4斤．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，水果店每天出售A、B两种水果可获利340元？ 23. 如图，在矩形中，，，点P为边上的一个动点，设，点M为射线上的一个动点，且，连接和，记的面积为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 24. 如图，在菱形中，，点M，N分别为线段，上的点，且，连接，相交于点E． （1）证明：； （2）证明：平分． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标； （3）若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 26. 在中，，，点E、F分别为边、上的动点，交于点D，连接交于点G． （1）如图1，连接，若，求的面积； （2）如图2，若，作交于点H，交于点I，求证：； （3）如图3，若，连接，并将绕点E逆时针旋转至，连接，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奉节县2024年秋季九年级期末水平测试数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面都给出了四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 如图所示的几何体的从左面看到的图形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从左面看是两个矩形，从而可确定答案． 【详解】从左面看是两个矩形， 故选：D． 【点睛】本题主要考查左视图，掌握三视图是解题的关键． 2. 反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，根据反比例函数的图象经过点，代入即可求解，熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 3. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是，则估计盒子中大约有红球（ ） A. 6个 B. 10个 C. 40个 D. 60个 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率．利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：设红球有个，根据题意得， ， 解得． 估计盒子中大约有红球6个， 故选：A． 4. 如图，与是位似图形，且位似中心为点O．若，则与的周长之比为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长比等于相似比．利用位似的性质得，，然后根据三角形相似的性质解决问题． 【详解】解：与是位似图形，且位似中心为，， ， ， 与的周长之比等于相似比，即与的周长之比为． 故选：A． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程，，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 有一个角是的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定逐项判断即可． 【详解】解：A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项符合题意； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； C．有一个角是的平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行四边形及特殊平行四边形的判定．掌握平行四边形及特殊平行四边形的对角线所满足的条件是解题的关键． 7. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点H为边的中点．若菱形的周长为20，则的长为（） A. B. 4 C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地求出菱形的边长是解题的关键．由菱形的性质得，，则，由，求得，而点为边的中点，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是菱形，对角线、相交于点， ，， ， 菱形的周长为20， ， ， 点为边的中点， ， 故选：A． 8. 如图，在中，点D，E分别在边，上，下列条件中不能满足的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似．由相似三角形你的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、B、有两组角对应相等的两个三角形相似，由此判定，故A、B不符合题意； C、和，和不是对应边，不能判定，故C符合题意； D、由，得到，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定，故D不符合题意； 故选：C． 9. 如图，在正方形中，，点F为边上的一点，连接交于点G，且，点E是对角线上的一点，连接，．若，则的面积为（ ） A. 8 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定和性质求得点F为中点，过点F作于M，先利用勾股定理求出，则，再求出；证明是等腰直角三角形，得到，则，设，则，证明，得到，解方程求出；再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即点F为中点， 如图所示，过点F作于M， ∵四边形是正方形， ∴，，，，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵点F为中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴； ∴； ∴的面积为； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 10. 对两个整式，进行如下操作：将B加上A，结果为，称为第1次操作；将第1次操作的结果加上，结果为，称为第2次操作；将第2次操作的结果加上，结果为，称为第3次操作；将第3次操作的结果，加上，结果为，称为第4次操作；……．下列说法正确的个数有（ ） ①第5次操作的结果为：； ②若，则； ③若，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减运算，归纳出当n为奇数时，，当n为偶数时，是解题的关键． 根据、、、，归纳可得：当n为奇数时，，当n为偶数时，，然后逐个判断即可． 【详解】解：根据题意可知：、、、，…… ∴当n为奇数时，，当n为偶数时，， ∴，故①正确； ∵， ∴，解得：， ∴，故②正确； ∵， ∴，即：， ∴， ， ∴，故③误； 综上，正确的有①②，共2个． 故选：C． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，，求解即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O．若，则的度数为_____． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质、三角形外角性质、等腰三角形的性质等知识点．根据矩形性质可得，推出，根据三角形外角性质求出，然后代入相关数据即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 已知点、、都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特点．分别把点、、代入反比例函数求出，即可比较出大小． 【详解】解：∵点、、在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴． 故答案为：． 14. 已知，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，那么，，把它们代入，计算即可． 【详解】解：设，那么，， 则． 故答案为． 15. 有形状、质地、大小、颜色完全相同的3张卡片，卡片上分别标有数字，1，2．将它们洗匀后，背面朝上，从中随机抽取1张，把抽得的数字记作a，再从剩下的卡片中随机抽取1张，把抽得的数字记作b，则使得反比例函数的图象经过第一、三象限的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，列表法与树状图法，根据题意画出树状图是解题的关键．根据反比例函数的性质可知：使得反比例函数的图象经过第一、三象限则，根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，然后直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：反比例函数经过第一、三象限， ， 画树状图得： 由树状图可知，共有6中情况，为正数的情况有2种， 反比例函数的图象经过第一、三象限的概率为：． 故答案为：． 16. 如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，窗户的高在教室地面上的影长米，点M到墙角的距离米，窗户的下沿到教室地面的距离米（点M，N，C在同一直线上），则窗户的高为_______． 【答案】2米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可得：，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， 解得：， （米）， 窗户的高为2米， 故答案为：2米． 17. 若关于x的不等式组有且只有三个整数解，且关于y的方程的解均为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了含字母参数的一元一次不等式组和分式方程的求解能力，关键是能准确计算、讨论．先分别解该不等式组和分式方程求得所有满足条件的整数的值，再求和计算． 【详解】解：解不等式组， 得， 可得其三个整数解为：1，2，3， ， 解得； 解方程得， ， 且， 解得且， 且， 所有满足条件的整数的值为：，0，2， ， 即所有满足条件的整数的值之和为1， 故答案为：1． 18. 如果四位数m满足千位上的数字与百位上的数字的差等于十位上的数字与个位上的数字的差的一半，则称这个数为“半差数”．对于一个四位数m，将这个四位数m千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数n，记，计算______．若s，t都是“半差数”，其中，（，，，，x，y，a，b都是整数），规定，若，则k的最大值为________． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的化简求值、一次函数的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先根据题意列代数式并化简，再由半差数特征即可求得的值；先根据半差数特征得到、，再结合半差数的定义以及已知条件得到，然后根据一次函数的性质得到有最小值为，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵，，且s，t都是“半差数”， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ， ； ∴， ∵， ∵， ∴当时，分母有最大值，有最小值为，此时k取最大值． 故答案为：6，． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）整理后，利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：整理得， 因式分解得， ∴或， 解得：，． 20. 某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98； 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：82，83，86，89，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 87 86 b 52.4 八年级 87 a 89 62.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级共有900人参赛，八年级共有850人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有多少人？ 【答案】（1）；； （2）七年级的成绩更好， 理由如下： ∵两个年级的平均数相同，而七年级的成绩的方差小于八年级的， ∴七年级的成绩更好； （3）估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有525人． 【解析】 【分析】本题考查了数据的统计与分析，熟练掌握平均数，众数，中位数，样本估计总体等知识是解题的关键． （1）八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有2名，故中位数在等级的5人中，根据中位数的计算方法即可得到的值；根据七年级名学生的竞赛成绩，利用众数的定义可得到的值；八年级名学生的竞赛成绩中，等级有3名，由此可得的值； （2）由于平均数相同，比较方差即可得到答案； （3）由样本中优秀人数的占比来估计总体中优秀人数的占比进行计算，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题可得：八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有名，等级中有5人， ∴八年级名学生的竞赛成绩的中位数为：， ∵七年级名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98；； ∴众数， ∵八年级名学生的竞赛成绩中，等级有2名，等级中有5人， ∴等级有3名， ∴等级所占的百分比为：， ∴， 故答案为：；；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题可得：（人） 答：估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有525人． 21. 如图，在四边形中，，连接，且． （1）用直尺和圆规作的角平分线交于点E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，若，求证：；（补全证明过程） 证明：， ① ， ∵， ② ， ， ，平分， ， ③ ， ④ ． 【答案】（1） 如图：即为所求． （2），，，四边形是矩形 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）直接运用尺规作图按要求作角平分线即可； （2）根据垂直的新定义、平行线的性质、等腰三角形的性质证明四边形是矩形，再利用矩形的性质即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某水果店出售A、B两种水果，现有如下信息： ①两种水果的进货单价之和是12元； ②A水果的销售单价比进货单价多3元，B水果的销售单价比进货单价的2倍少3元； ③小明在该水果店购买4斤A水果和5斤B水果，共付了75元． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求两种水果的进货单价分别为多少元？ （2）该水果店平均每天可卖出A水果60斤和B水果80斤．由于A水果的保质期较短，水果店老板为加快销售速度，打算将A水果的销售单价降低m元，B水果的销售单价和销量保持不变．经调查发现：A水果的销售单价每降元，A水果每天多卖4斤．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，水果店每天出售A、B两种水果可获利340元？ 【答案】（1）A水果的进货单价为7元，B水果的进货单价为5元 （2）当m为时，水果店每天出售A、B两种水果可获利340元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程组、一元二次方程是解题的关键． （1）设A水果的进货单价为x元，B水果的进货单价为y元，利用“”结合“两种水果的进货单价之和是12元，且小明在该水果店购买4斤A水果和5斤B水果，共付了75元”，可列出关于x，y的二元一次方程组求解即可； （2）利用“”列出关于m的一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设A水果的进货单价为x元，B水果的进货单价为y元， 根据题意得：，解得：． 答：A水果的进货单价为7元，B水果的进货单价为5元． 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 答：当m为时，水果店每天出售A、B两种水果可获利340元． 23. 如图，在矩形中，，，点P为边上的一个动点，设，点M为射线上的一个动点，且，连接和，记的面积为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1）， （2） 如图 函数的一条性质是∶ 随x的增大而增大(答案不唯一)； 函数的一条性质是： 随x的增大而减小(答案不唯一)． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积、一次函数和反比例函数图象的性质等知识点，掌握数形结合思想是解本题的关键． （1）根据三角形的面积公式结合矩形的性质即可解答； （2）正确画函数的图象，再根据图象写出性质即可； （3）根据函数图象由的图象在上边时对应的x的值即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由函数图象得：当时x的取值范围是：． 24. 如图，在菱形中，，点M，N分别为线段，上的点，且，连接，相交于点E． （1）证明：； （2）证明：平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由菱形的性质得，因为，所以是等边三角形，则，，而，即可根据“”证明； （2）设、交于点，延长、交于点，由，推导出，可证明是等边三角形，由，，证明，得，则，所以，得，推导出，而，所以，则平分． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ． 【小问2详解】 证明：设、交于点，延长、交于点， 由（1）得， ， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标； （3）若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】（1） （2） （3）所有符合条件的点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键． （1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案； （2）设，则，利用坐标与图形的性质表示出和的长，从而列出方程解决问题； （3）首先求出点的坐标，设，，再利用中点坐标公式可得点的横坐标，从而解决问题． 【小问1详解】 解：过点作轴于， 对于一次函数， 当时，， ， 的面积为1． ， ， 当时，， ， 将点代入反比例函数得： ， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：设，则， ，， ， ， 解并经检验得， 点在直线下方的双曲线上， ， 当时，， ； 【小问3详解】 解：所有符合条件的点的坐标为或或；理由如下： 当时， 解得或， 经检验，或都是方程的根， ， 设，， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，， 当、为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， ； 综上所述，点的坐标为或或． 26. 在中，，，点E、F分别为边、上的动点，交于点D，连接交于点G． （1）如图1，连接，若，求的面积； （2）如图2，若，作交于点H，交于点I，求证：； （3）如图3，若，连接，并将绕点E逆时针旋转至，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）12 （2） 证明：如图2，延长至，使，连接， 由（1）知：， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在四边形中， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，可推出，，进一步得出结果； （2）延长至，使，连接，根据三角形中位线的性质得出，，可证明，进而得出； （3）连接，，作于，作于，并延长至，使，过点作的平行线，延长交于点，当点在点处时，点在处，，可证明，从而，，进而得出，，进而的呼出、、共线，可证得，从而得出，从而，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：如图1，取的中点，连接， ，， ， ， ， 同理可得， ，， ，， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，连接，，作于，作于，并延长至，使，过点作的平行线，延长交于点， ，， ， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 绕点逆时针旋转至， ，， ，， 、、共线， ， ， ， ， ， ， 点在过点且与平行的直线上运动， 当点在处时，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质及旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $