精品解析：浙江省衢州市2024-2025学年高二上学期1月教学质量检测数学试题

2024-2025学年浙江省衢州市高二上学期1月教学质量检测数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 2. 已知数列是等差数列，，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知方向向量为的直线倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的最短弦长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 已知正项数列，满足，，则（ ） A. 2 B. C. 2024 D. 7. 反比例函数的图象是双曲线，两条坐标轴是它的渐近线，若以其中心为原点，实轴所在的直线为x轴，重新建立直角坐标系，则双曲线在新坐标系中的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 纸上画有一圆O，在圆内任取一定点异于点，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过A，然后展开纸片，得到一条折痕继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知数列、都是正项等比数列，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等差数列 D. 数列是等比数列 10. 已知抛物线C：，过焦点F的直线与抛物线交于、两点，准线与x轴交于点D，则下列结论正确的是（ ） A. B. 线段AB中点到准线的距离最小值为2 C. 若直线AB的斜率为，则 D. 为直线AB的倾斜角 11. 已知为正方体，点P为棱上的动点，点Q为平面上的任意一点，Q到直线和到平面ABCD的距离相等，则下列表述正确的是（ ） A. 存在点P使得直线与平面所成的角为 B. 存在直线PQ与平面所成的角大于二面角 C. 点Q所在的曲线可能为双曲线 D. 点Q所在的曲线可能为抛物线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆E：的左右焦点为、，上顶点为P，则________. 13. 类似二维向量，定义n维向量空间中，，两点间“距离”校服公司根据经验，得出8种标准型号及相应测量参数，如表．学生身材数据按身高、胸围、腰围、肩宽排列，用四维向量表示，看作四维向量空间中的一个点．8种标准型号为8个标准点．按“距离”分类，学生身材点与8个标准点的距离，哪个最近就归入哪一类．某学生身高172 cm，胸围89 cm，腰围73 cm，肩宽38 cm，此人身材点应归类为________型号． 型号 身高 胸围 腰围 肩宽 XXS 150 76 62 34 XS 155 80 66 36 S 160 84 70 38 M 165 88 74 40 L 170 92 78 42 XL 175 96 82 44 XXL 180 100 86 46 XXXL 185 104 90 48 14. 已知双曲线C：，直线l是双曲线C右支的一条切线，与C的渐近线交于A、B两点，若AB的中点为，且三角形OAB的面积，则双曲线离心率为________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆M经过和，且圆心在直线上． （1）求圆M的方程； （2）若圆N：与圆M外切，求实数a的值． 16. 已知在三棱锥中，，，，， （1）证明：平面平面ABC； （2）求二面角的正弦值． 17. 已知数列满足且，数列满足且 （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前n项和 18. 已知椭圆E：的右焦点为F，点在椭圆E上，轴． （1）求椭圆E的方程； （2）过点的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当的面积为9时，求直线l的方程． 19. 集合，，称…为集合A的交错和，为集合A所有子集的交错和之和. （1）若，求； （2）若，求； （3）若（），求集合B的元素个数有多少种情况 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省衢州市高二上学期1月教学质量检测数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】因为，，， 所以， 解得 故选：B 2. 已知数列是等差数列，，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式先求公差，再求 【详解】，， ， 则， ， 故选：C 3. 已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线C的方程化为标准方程为，可得，即可得出准线方程． 【详解】抛物线C的方程为，化为标准方程为， 即，， 则其准线方程为 故选：A. 4. 已知方向向量为的直线倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，再结合同角基本关系式和正弦二倍角公式即可求解. 【详解】由题意可知， . 故选：C 5. 已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的最短弦长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求得直线过定点，再根据当定点与圆心连线垂直于直线l时，被圆截得的弦长最短，结合勾股定理即可求解. 【详解】由题意，直线l：过定点， 圆心，半径， 因为， 所以点P在圆内， 当直线CP与弦垂直时，弦长最短，  且， 所以最短弦长为 故选：C 6. 已知正项数列，满足，，则（ ） A. 2 B. C. 2024 D. 【答案】D 【解析】 【分析】用相减法求得的关系，用连乘法求得结论． 【详解】因为， 所以当时，， 两式相减，得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为数列为正项数列， 所以， 所以， 所以， 所以， 又， 所以， 所以 故选：D． 7. 反比例函数的图象是双曲线，两条坐标轴是它的渐近线，若以其中心为原点，实轴所在的直线为x轴，重新建立直角坐标系，则双曲线在新坐标系中的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实轴与函数的交点得出，即可得出双曲线方程. 【详解】反比例函数的图象是等轴双曲线，且实轴所在的直线为， 联立，得或， 则， 则双曲线在新坐标系中的方程为 故选：C. 8. 纸上画有一圆O，在圆内任取一定点异于点，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过A，然后展开纸片，得到一条折痕继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】B 【解析】 【分析】记圆O半径为，设点A关于直线的对应点为，连接交直线于点，连接，计算，根据椭圆定义可得． 【详解】如图，圆半径为，是一条折痕，点关于的对称点在圆上，连接交直线于，则， 所以， 所以点轨迹是以为焦点的椭圆，椭圆长轴长为． 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知数列、都是正项等比数列，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等差数列 D. 数列是等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】利用特例法可判断AD选项；利用等比数列的定义可判断B选项；利用等差数列的定义可判断C选项. 【详解】因为数列、都是正项等比数列， 所以设数列，的公比分别为、，且，， 且对任意的正整数有，成立, 对于A选项，不妨设，，满足、都是正项等比数列， 此时， 因为，， 所以，此时数列不是等比数列，故A不正确； 对于B选项，因为，所以数列是等比数列，故B正确； 对于C选项，因为为常数， 所以数列是等差数列 ，故C正确； 对于D，设，，满足、都是正项等比数列，此时， ，， 所以，，所以，所以数列不是等比数列，故D不正确. 故选：BC. 10. 已知抛物线C：，过焦点F的直线与抛物线交于、两点，准线与x轴交于点D，则下列结论正确的是（ ） A. B. 线段AB中点到准线的距离最小值为2 C. 若直线AB的斜率为，则 D. 为直线AB的倾斜角 【答案】BCD 【解析】 【分析】设直线方程为联立，，进行代换，得到.根据点到准线距离确定位置为垂直，得到答案；利用直线的斜率，和两角的和差正切公式可得到答案. 【详解】解：对于A：由题意，焦点，，直线AB的斜率不为0，不妨设. 设直线方程为，由，消去x可得， 则，则， 所以，A错误； 对于B；， 故中点到准线的距离为， 当且仅当，即直线轴时，等号成立. 故线段AB中点到准线的距离最小值为2，B正确； 若直线AB的斜率为，则， 则，C正确； 当时，轴，，，则， 此时；当时， ，则，根据两角的差的正切公式可得， ， 则， 又，，所以，则， 综上，D正确. 故选：BCD. 11. 已知为正方体，点P为棱上的动点，点Q为平面上的任意一点，Q到直线和到平面ABCD的距离相等，则下列表述正确的是（ ） A. 存在点P使得直线与平面所成的角为 B. 存在直线PQ与平面所成的角大于二面角 C. 点Q所在的曲线可能为双曲线 D. 点Q所在的曲线可能为抛物线 【答案】ACD 【解析】 【分析】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出直线与平面所成的角的正弦值范围可判断A；求出直线PQ与平面所成的角以及二面角的平面角的正切值，比较正切值的大小可以判断B；根据为轴，A为顶点，与轴夹角为的圆锥面与平面的交线不同情况下的轨迹形状可判断CD. 【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 不妨设正方体的棱长为2， 则，，，， 可设，，则，， ，，，， 对于A，设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 设直线与平面所成的角为， 则， 因为，所以， 即，而， 故存在点P使得直线与平面所成的角为，故A正确； 对于B，如上图，取的中点为O，连接，PO，则， 又，所以， 可知即为二面角的平面角， 则， 设直线PQ与直线交于点H， 因为平面， 所以即为直线PQ与平面所成的角， 则， 因为，所以， 则，即， 即直线PQ与平面所成的角小于等于二面角，故B错误； 对于CD，如图： 因为点Q到直线和到平面ABCD的距离相等， 则点Q的轨迹即为以为轴，A为顶点，与轴夹角为的圆锥面与平面的交线， 当点P不与点A和点重合时， 因为，，，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 则直线与平面所成角为， 则， 当时，， 此时直线与平面所成角等于， 则点Q的轨迹为抛物线； 当时，，即， 则点Q的轨迹为双曲线，故CD正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两点：1，建立空间直角坐标系，求线面角与二面角平面角；2，利用平面与圆锥曲面的交点判断动点轨迹形状. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆E：的左右焦点为、，上顶点为P，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由椭圆的方程可得的值，由椭圆的定义可得的值，在中求得，进而可得. 【详解】由题意，得，， 在中，， 又，则， 则 故答案为：. 13. 类似二维向量，定义n维向量空间中，，两点间“距离”校服公司根据经验，得出8种标准型号及相应测量参数，如表．学生身材数据按身高、胸围、腰围、肩宽排列，用四维向量表示，看作四维向量空间中的一个点．8种标准型号为8个标准点．按“距离”分类，学生身材点与8个标准点的距离，哪个最近就归入哪一类．某学生身高172 cm，胸围89 cm，腰围73 cm，肩宽38 cm，此人身材点应归类为________型号． 型号 身高 胸围 腰围 肩宽 XXS 150 76 62 34 XS 155 80 66 36 S 160 84 70 38 M 165 88 74 40 L 170 92 78 42 XL 175 96 82 44 XXL 180 100 86 46 XXXL 185 104 90 48 【答案】 【解析】 【分析】根据两点间“距离”定义对各种型号的四维数据分别进行计算验证可得结果. 【详解】设某学生身材点为， 则， ， ， ， ， ， ， ， 可知最小，所以此人身材点应归类为L， 故答案为： 14. 已知双曲线C：，直线l是双曲线C右支的一条切线，与C的渐近线交于A、B两点，若AB的中点为，且三角形OAB的面积，则双曲线离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据得出，再联立求出点A的横坐标，点B的横坐标，再结合中点为即可求出离心率. 【详解】如图： 设，，A到直线OM的距离为d， 由题意解得， 过点A作直线OM的平行线，设其方程为，直线OM的方程为， 可知两平行线距离，则，得， 所以过点A作直线OM的平行线： 同理得过点B作直线OM的平行线： 联立，，解得点A的横坐标， 同理联立，，解得点B的横坐标， 因为AB的中点为，则，  得 ，     得，， 解得或（舍）， 所以双曲线离心率 故答案为: 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆M经过和，且圆心在直线上． （1）求圆M的方程； （2）若圆N：与圆M外切，求实数a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出以和为端点的线段的垂直平分线，将所得直线与联立，可得圆心坐标，进而得到圆的方程； （2）根据圆与圆的位置关系求解即可. 【小问1详解】 以和为端点的线段的中点为，斜率为， 所以以和为端点的线段的垂直平分线为：， 即圆心在上， 又圆心在直线上，由，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆M的方程为：； 【小问2详解】 圆，所以圆心，半径， 因为圆M与圆N外切，所以， 所以，所以 16. 已知在三棱锥中，，，，， （1）证明：平面平面ABC； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：取BC的中点为点O，AC的中点为点E，连接DO，EO， 因为为等腰直角三角形，故， 在中，，， 在中，，，，， ，，且EO、面ABC， 面ABC，又面BCD，面面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明； （2）用向量法求二面角的余弦值即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得面ABC，，所以可以以点为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面BCD的法向量， ， 设平面ABD的法向量， ， ， ，， ，， 二面角的正弦值为 17. 已知数列满足且，数列满足且 （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前n项和 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用构造法求，裂项相消法求； （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，， 因为， 所以 ， 又因为也适合，所以； 【小问2详解】 因为， 所以①， ②， ①-②得， 所以. 18. 已知椭圆E：的右焦点为F，点在椭圆E上，轴． （1）求椭圆E的方程； （2）过点的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当的面积为9时，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可直接求得，代入点的坐标即可求得椭圆方程； （2）分别写出直线的方程，求得的坐标，表示三角形的面积，根据三角形的面积即可求得直线的斜率，进而得到直线方程. 【小问1详解】 轴，， 又点在曲线上， ， 椭圆E的方程为 【小问2详解】 根据题意画如下图： ①当直线l的斜率不存在时，不符合题意 ②设直线l的方程为，， 直线I方程与椭圆方程联立得， ，，得或， ， 直线BA所在的直线方程为：，得 直线CA所在的直线方程为：，得 ， 或舍去 直线l的方程为 19. 集合，，称…为集合A的交错和，为集合A所有子集的交错和之和. （1）若，求； （2）若，求； （3）若（），求集合B的元素个数有多少种情况 【答案】（1）11 （2）16 （3）种 【解析】 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）首先求出所有子集的交错和，然后求和即可 （3）采用从特殊到一般的方法，然后证明即可 【小问1详解】 【小问2详解】 分类列举A所有子集： 单元素集为 单元素集所有交错和之和为 双元素集为，，， ，, ， 双元素集所有交错和之和为， 三元素集为， ， ， 三元素集所有交错和之和为 四元素集为，, ， 四元素集所有交错和之和 五元素集为， 五元素集所有交错和之和 所以， 【小问3详解】 要使元素少，那么出现重复的数值就要多. 先考虑特殊情况，取， 此时共个元素最少为 一般的，不妨设，显然， 共有个. 同理，要使元素最多，所取的数必须不小于前面两个最大数的和， 如取斐波那契数列和等比数列构成集合， 元素最多为 再证元素个数能取遍到所有整数. 证明：考虑特殊情况，此时共个元素. 设， ， 则， 若使中元素最多，则， 此时共有个元素， 即最大元素变化时，集合元素个数从连续取到最大 当最大数字变大时，新集合中数字与原来由形成的集合重复元素减少， 当最大值大于的最大值后就不再有重复数字，这时所有这样的比多个元素. 以此类推，比多2个元素，而有1个元素， 则最多有个元素. 所以，对于，， 元素个数能取遍到所有整数. 综上：集合 B元素有种情况. 【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识. 4、若新定义与集合的运算有关，要熟记集合的性质以及集合的运算法则，必要时可利用集合的韦恩图，更加直观的求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $