精品解析：广西壮族自治区崇左市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024年秋季学期期末质量监测 八年级数学 （满分：120分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下面四个图形分别是可回收垃圾、其它垃圾、厨余垃圾、有害垃圾标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）. A. B. C. D. 2. 下列命题是假命题的是（ ） A. 同角（或等角）的余角相等 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. 三角形的内角和为 D. 三角形的任意两边之和大于第三边 3. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 点关于轴的对称点为点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 下面各组变量的关系中，成正比例关系的是（ ） A. 圆的周长与它的半径 B. 人的身高与年龄 C. 正方形的面积与它的边长 D. 汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 6. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ） A. ，， B. ， C. ，， D. ，， 9. 对于一次函数，下列说法中正确的是（ ） A. 当时，该函数图象不经过第三象限 B. 函数值随自变量值的增大而增大 C. 当时，该函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为2 D. 该函数的图象一定经过点 10. 如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝6，DE＝2，则△BCE的面积是( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 11. 已知直线与轴，轴分别交于，两点，若以为直角顶点在第二象限作等腰直角，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，与是两个全等的等边三角形，，有下列四个结论：①；②；③直线垂直平分；④四边形是轴对称图形．其中结论正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 函数y=中，自变量x的取值范围是___________． 14. 在平面直角坐标系中，把点向左平移2个单位长度，得到的点坐标是______． 15. 如图，在ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝15°，则ABC的面积为____________． 16. 如图，内有一定点P，且，在上有一点Q，上有一点R，若周长最小，则最小周长是_____ 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明或演算步骤．） 17. 如图，已知直线，的直角顶点在直线上，点在直线上，点在直线上，与交于点，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）求的度数． 18. 如图，ABC的周长是28cm，AB＝2BC，BD是AC边上的中线． （1）当BC＝6cm时，求AD的长； （2）当BC＝8cm时，能否求出AD的长？若能，则请求出AD的长度；若不能，请说明理由． 19. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为：，，．求： （1）的面积； （2）作出关于轴对称的，并写出点的坐标； （3）若以，，为顶点的三角形与全等，请直接写出所有符合条件的点的坐标．（点与点重合除外）． 20. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC， （1）作图：作BC边的垂直平分线分别交BC，BD于点E，F（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数. 21. 学完第五章《平面直角坐标系》和第六章《一次函数》后，老师布置了这样一道思考题： 已知：如图，在长方形ABCD中，，，点E为AD的中点，BD和CE相交于点P．求的面积． 小明同学应用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的：建立适当的“平面直角坐标系”，写出图中一些点的坐标．根据“一次函数”的知识求出点P的坐标，从而可求得的面积． 请你按照小明的思路解决这道思考题． 22. 如图，中，，，点是上的一动点，，，连接． （1）求证：； （2）当点在什么的位置时，是直角三角形？请说明理由． 23. 如图，已知与轴交于点，与轴交于点，与函数的图象交于点． （1）在该坐标系中画出函数的图象，并说明点也在函数的图象上； （2）设直线与轴交于点，与轴交于点，求证：平分； （3）连接，求的面积； （4）已知，在轴上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期期末质量监测 八年级数学 （满分：120分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下面四个图形分别是可回收垃圾、其它垃圾、厨余垃圾、有害垃圾标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A不是轴对称图形，本选项错误； B是轴对称图形，本选项正确； C不是轴对称图形，本选项错误； D是轴对称图形，本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合． 2. 下列命题是假命题的是（ ） A. 同角（或等角）的余角相等 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. 三角形的内角和为 D. 三角形的任意两边之和大于第三边 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，三角形内角和定理，构成三角形的条件，平行线的性质，同角的余角相等等等，根据三角形内角和定理可判断C；根据构成三角形的条件可判断D；根据平行线的性质可判断B；根据余角的定义可判断A． 【详解】解：A、同角（或等角）的余角相等，原命题是真命题，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，符合题意； C、三角形的内角和为，原命题是真命题，不符合题意； D、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，不符合题意； 故选：B． 3. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答． 【详解】解：由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 4. 点关于轴的对称点为点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：∵点关于轴的对称点为点， ∴点的坐标为， 故选D． 5. 下面各组变量的关系中，成正比例关系的是（ ） A. 圆的周长与它的半径 B. 人的身高与年龄 C. 正方形的面积与它的边长 D. 汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定;如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，由此逐项判断即可，熟练掌握正比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意； B、人的身高与年龄不成正比例关系，故此选项不符合题意； C、正方形的面积与它的边长的平方成正比例关系，故此选项不符合题意； D、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到该线段两端的距离相等，据此可得，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长， 故选：A． 7. 如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，先由平角的定义求出的度数，再由三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ） A. ，， B. ， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，构成三角形的条件， 画出唯一三角形的条件是知道两边长及其夹角的度数，知道三边长，知道两个内角的度数和其中一边长，据此可得答案． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴此时不能构成三角形，即不能画出，不符合题意； B、由，不能唯一画出，不符合题意； C、由，可得，再结合能唯一画出，符合题意； D、，，不能唯一画出，不符合题意； 故选：C． 9. 对于一次函数，下列说法中正确的是（ ） A. 当时，该函数图象不经过第三象限 B. 函数值随自变量值的增大而增大 C. 当时，该函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为2 D. 该函数的图象一定经过点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数的关系，一次函数的增减性，一次函数与坐标轴的交点问题，根据一次函数图象与其系数的关系可判断A；根据一次函数增减性与一次项系数的关系可判断B；求出一次函数与两坐标轴的交点坐标即可判断C；求出当自变量的值为1时的函数值即可判断D． 【详解】解：A、当时，该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，原说法错误，不符合题意； B、当时，函数值随自变量值的增大而增大，当时，函数值随自变量值的增大而减小，原说法错误，不符合题意； C、当时，原函数解析式为，当时，，当时，，则该函数与坐标轴的两个交点坐标为，则该函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为，原说法错误，不符合题意； D、在中，当时，，则该函数的图象一定经过点，原说法正确，符合题意； 故选：D． 10. 如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝6，DE＝2，则△BCE的面积是( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到EF=DE=2，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作EF⊥BC于F， ∵AC=BC=6，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线， ∴CD⊥AB， ∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC， ∴EF=DE=2， ∴△BCE的面积=×BC×EF=6， 故选：B． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 11. 已知直线与轴，轴分别交于，两点，若以为直角顶点在第二象限作等腰直角，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，过点C作轴于Q，先求出A、B坐标，进而得到的长，再证明求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于Q， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴； ∵是以点B为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 12. 如图，与是两个全等的等边三角形，，有下列四个结论：①；②；③直线垂直平分；④四边形是轴对称图形．其中结论正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的性质；根据等边三角形的性质和全等三角形的性质得到，则可由周角的定义求出的度数，进而可求出的度数，据此可判断①；分别求出的度数即可判断②；延长交于E，可求出的度数，进而可求出的度数，据此可判断③；根据轴对称图形的定义即可判断④． 【详解】解：∵与是两个全等的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图所示，延长交于E， 同理可得， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴直线垂直平分，故③正确； ∵，且， ∴沿着的垂直平分线折叠四边形，可以使得该图形两边完全重合， ∴四边形是轴对称图形，故④正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 函数y=中，自变量x的取值范围是___________． 【答案】x≠1 【解析】 【分析】根据分式中分母不等于0列式求解即可. 【详解】解:根据题意得, x-1≠0, 解得x≠1. 故答案为: x≠1. 【点睛】本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负. 14. 在平面直角坐标系中，把点向左平移2个单位长度，得到的点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，把点向左平移2个单位长度，得到的点坐标是，即， 故答案为：． 15. 如图，在ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝15°，则ABC的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】过B点作BD⊥AC，交CA的延长线于点D，可得∠DAB＝30°，从而BD＝ AB＝4，即可求解． 【详解】解：过B点作BD⊥AC，交CA的延长线于点D， ， ∵AB＝AC，∠ABC＝15°， ∴∠C＝∠ABC＝15°， ∴∠DAB＝∠ABC+∠C＝30°， ∵AB＝AC＝8， ∴BD＝ AB＝4， ∴△ABC的面积为： ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的面积，含30°角的直角三角形的性质，求解BD的长是解题的关键． 16. 如图，内有一定点P，且，在上有一点Q，上有一点R，若周长最小，则最小周长是_____ 【答案】12 【解析】 【分析】作点P关于的对称点E，关于的对称点F，连接，，，，．由轴对称的性质可得出，即当E，Q，R，F四点共线时，最小，即为的长．又可证为等边三角形，从而可求出的长，即得出结果． 【详解】如图，作点P关于的对称点E，关于的对称点F，连接，，，，． 由轴对称的性质可知，，，， ∴，且当E，Q，R，F四点共线时，最小，即为的长． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的最小周长为12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查轴对称的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质等知识．正确作出辅助线，并理解当E，Q，R，F四点共线时，最小，即为的长是解题关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明或演算步骤．） 17. 如图，已知直线，的直角顶点在直线上，点在直线上，点在直线上，与交于点，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边，三角形内角和定理： （1）由平行线的性质可得，则，据此可证明结论； （2）由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，ABC的周长是28cm，AB＝2BC，BD是AC边上的中线． （1）当BC＝6cm时，求AD的长； （2）当BC＝8cm时，能否求出AD的长？若能，则请求出AD的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）5cm；（2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先求出AB＝12cm，再利用ABC的周长求出AC＝10，最后根据BD是AC边上的中线即可求得AD的长； （2）先求出AB＝16cm，再利用ABC的周长求出AC＝4，然后根据三角形的三边关系即可判断此时的三角形是不存在的，由此可得答案． 【详解】解：（1）∵AB＝2BC，BC＝6cm， ∴AB＝12cm， ∵ABC的周长是28cm， ∴AB＋BC＋AC＝28cm， ∴AC＝28－12－6＝10cm， 又∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝AC＝5cm， ∴AD的长为5cm； （2）不能求出AD的长，理由如下： ∵AB＝2BC，BC＝8cm， ∴AB＝16cm， ∵ABC的周长是28cm， ∴AB＋BC＋AC＝28cm， ∴AC＝28－16－8＝4cm， ∵4＋8＜16， ∴AC＋BC＜AB（与AC＋BC＞AB矛盾）， ∴此时的ABC不存在， ∴此时不能求出AD的长． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及三角形的中线，三角形的周长等相关知识，注意运用三角形的三边关系解决（2）是解决本题的关键． 19. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为：，，．求： （1）的面积； （2）作出关于轴对称的，并写出点的坐标； （3）若以，，为顶点的三角形与全等，请直接写出所有符合条件的点的坐标．（点与点重合除外）． 【答案】（1） （2） 如图所示，即为所求； ∵与关于轴对称，， ∴； AI （3）或， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，全等三角形的判定： （1）根据三角形面积计算公式求解即可； （2）关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （3）根据全等三角形的判定定理结合网格的特点画出点D的位置即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，，，即为所求． 20. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC， （1）作图：作BC边的垂直平分线分别交BC，BD于点E，F（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数. 【答案】（1）如图： （2）48° 【解析】 【详解】试题分析：（1）按照尺规作图的基本作图的步骤作图即可；（2）根据BD平分∠ABC，可得∠FBC=24°，根据EF垂直平分BC，可得出∠FCB=∠FBC=24°，然后利用三角形外角的性质和三角形的内角和可求出∠ACF的度数. 试题解析：（1） 略 （2）∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°， ∴∠FBC=24° ∵EF垂直平分BC， ∴BF=CF ∴∠FCB=∠FBC="24°" 在△FDC中，∠FDC=∠A+∠ABD="60°+24°=84°" ∠DFC=∠FCB+∠FBC="24°+24°=48°" ∴∠ACF="180°-84°-48°=48°" 考点：1.尺规作图2.线段垂直平分线的性质3.角的计算. 21. 学完第五章《平面直角坐标系》和第六章《一次函数》后，老师布置了这样一道思考题： 已知：如图，在长方形ABCD中，，，点E为AD的中点，BD和CE相交于点P．求的面积． 小明同学应用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的：建立适当的“平面直角坐标系”，写出图中一些点的坐标．根据“一次函数”的知识求出点P的坐标，从而可求得的面积． 请你按照小明的思路解决这道思考题． 【答案】 【解析】 【分析】以点B为原点、BC为x轴、BA为y轴建立直角坐标系，由此可得出点B、A、C、E的坐标，利用待定系数法即可得出直线BD、CE的解析式，联立两直线解析式成方程组，解之即可得出点P的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△BPC的面积． 【详解】解：如图建立直角坐标系， ∵四边形ABCD 为长方形， ∴AD＝BC＝8， AB＝CD＝4， ∵E 为AD的中点， ∴C（8，0），D（8，4），E（4，4）， 设yBD＝kx，代入D点坐标得8k＝4，解得k＝， ∴yBD＝x， 设yCE ＝nx＋b，代入C（8，0），E（4，4）得到 解得n＝−1，b＝8， ∴yCE ＝−x＋8， 联立直线BD、CE的解析式成方程组，， 解得， ∴P（，）， ∴的面积＝×8×＝． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质以及三角形的面积公式，建立合适的直角坐标系，利用待定系数法求出直线BD、CE的解析式是解题的关键． 22. 如图，中，，，点是上的一动点，，，连接． （1）求证：； （2）当点在什么的位置时，是直角三角形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）当点在的中点时或与点C重合时，是直角三角形， 理由：∵点在的中点， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴是直角三角形； 当点P与点C重合时，是直角三角形． 理由：∵点P与点C重合， ∴， ∴是直角三角形． 综上，点P在中点时或与点C重合时，是直角三角形．（方法不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，等边对等角等等： （1）先由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再证明得到．据此求出的度数即可证明结论； （2）当点在的中点时，根据，得，结合，得四边形是矩形，，是直角三角形；当点P与点C重合时，，是直角三角形．（方法不唯一） 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，已知与轴交于点，与轴交于点，与函数的图象交于点． （1）在该坐标系中画出函数的图象，并说明点也在函数的图象上； （2）设直线与轴交于点，与轴交于点，求证：平分； （3）连接，求的面积； （4）已知，在轴上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析，见解析 （2）见解析 （3） （4）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的定义和性质： （1）求出直线与坐标轴的交点即可画出对应的函数图象，再联立直线解析式求出点P的坐标即可判断点也在函数的图象上； （2）求出B、D坐标，得到，再根据点P在直线得到，据此证明，得到，则可证明平分； （3）求出A、C坐标，得到的长，再根据列式求解即可； （4）分，和三种情况，根据等腰三角形的定义和性质讨论求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 联立，解得， ∴点P的坐标为， 在中，当时，， ∴点P在函数的图象上； 【小问2详解】 证明：在中，当时，， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， ∵点P在直线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：当时，则点M的坐标为或； 当时，则此时点M与原点重合，即此时点M的坐标为； 当时， ∵， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $