精品解析：广东省深圳市桃源居中澳实验学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

广东省深圳市桃源居中澳实验学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与直线互相垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 在长方体中，，，则异面直线与所成角余弦值为 A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和为，若，则等于（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 25 4. 如图，点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为θ，则（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（ ） A B. 8 C. 9 D. 10 7. 已知两条平行直线与间的距离为，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知两点和到直线距离相等，则值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 已知圆心为C的圆经过，两点，且点C在直线上，则此圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 10. 若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 11. 记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 12. 设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 在数列中，，且，则__________． 14. 直线与直线平行，则_______ 15. 已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________． 16. 已知为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5= _______ 17. 过点(3，1)作圆的弦，其中最短的弦长为__________. 18. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是__________． 三、解答题：本题共4小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 如图，在几何体中，，，平面平面，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角正弦值. 20. 已知：等差数列中，，，公差． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和的最大值及相应的n的值． 21 已知圆C：． （1）过点向圆C作切线l，求切线l的方程； （2）若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值． 22. 已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 （1）求此椭圆的方程 （2）若点满足，求面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市桃源居中澳实验学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与直线互相垂直，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线的位置关系得到方程，求解参数即可. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，解得. 故选：D 2. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果. 详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以, 因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 3. 设等差数列的前项和为，若，则等于（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解. 【详解】设公差为， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4. 如图，点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为θ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直接求解． 【详解】∵点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上， ，平面的法向量为， 二面角的大小为θ， 故选：C． 5. 若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，结合在上，在上及中点坐标公式求解. 【详解】设，由题意得，， 又的中点是，则，故， 又在上，则，故， 又，故，于是， 根据斜率公式，. 故选：A 6. 已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用对称求关于直线对称点为，结合将军饮马模型求最小值. 【详解】令关于直线对称点为，则，可得， 由，则， 当且仅当共线时取等号，故最小值为10. 故选：D 7. 已知两条平行直线与间的距离为，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据平行线间距离公式求解即可. 【详解】由题意，根据平行线间的距离公式，， 即，解得或. 故选：D 8. 已知两点和到直线距离相等，则值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 解答】两点和到直线距离相等， ，解得，或． 故选：B． 9. 已知圆心为C的圆经过，两点，且点C在直线上，则此圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出圆的方程，列出方程组可得答案. 【详解】设圆C的方程为，因为经过，两点，且点C在直线上， 所以，解得， 所以圆的标准方程为. 故选：D. 10. 若椭圆弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点差法求解得，再根据点斜式求解即可得答案. 【详解】设，则 所以，整理得， 因为为弦的中点， 所以， 所以， 所以弦所在直线的方程为，即. 故选：A. 11. 记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差. 【详解】设等差数列的公差为， 则，， 联立，解得. 故选：C. 12. 设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得． 详解：由题可知 在中， 在中, 故选B. 点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 13. 在数列中，，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得数列是以为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式即可求出. 【详解】，数列是以为公差的等差数列， ， . 故答案为：. 14. 直线与直线平行，则_______ 【答案】2 【解析】 【分析】两直线斜率存在时，由两直线平行，可得斜率相等，进而可求解. 【详解】由，可得，所以直线的斜率为， 所以的斜率存在，且为 由两直线平行，可得，解得或， 经检验，，两直线重合，符合题意. 故答案为：2. 15. 已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解. 【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距. 故答案为：4. 【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键. 16. 已知为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5= _______ 【答案】15 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解． 【详解】∵为等差数列，∴，∴． 故答案为：15． 【点睛】本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质是解题关键，等差数列中，若正整数满足，则．特别地若，则． 17. 过点(3，1)作圆的弦，其中最短的弦长为__________. 【答案】 【解析】 【详解】最短弦为过点与圆心连线的垂线与圆相交而成，，所以最短弦长为 【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力. 圆的半径、弦心距、半弦构成的直角三角形在解决直线和圆问题常常用到，本题只需要简单判断最短弦的位置就能轻松解答,有时候可能会出现点到直线的距离公式来求弦心距的长度. 18. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出曲线，并求出直线的定点，进而通过数形结合求得答案. 【详解】由题意，，直线是与平行的直线， 如图所示： 当直线与曲线相切时，(负舍) 当时，，结合图形分析得的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题：本题共4小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19. 如图，在几何体中，，，平面平面，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，由几何关系可证得四边形是平行四边形，则，结合线面平行的判断定理可得平面； （2）结合几何关系，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，由题意可得直线AB的方向向量为，设平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为. 【小问1详解】 取中点，连接，， 又∵为的中点，，， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 而且平面，平面， ∴平面； 【小问2详解】 ∵，∴, 又∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面， 由（1）知，∴平面， 又∵，为中点， ∴， 如图，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴，，， 设平面的法向量为，则 ，即， 令，得， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 20. 已知：等差数列中，，，公差． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和的最大值及相应的n的值． 【答案】（1） （2）当n＝10或11时，最大值55． 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式求解即可； （2）先求出，再由二次函数的性质求解即可 【小问1详解】 ∵为等差数列， ∴． ∴ 解得或 因， 所以， 故解得 ∴． 【小问2详解】 ∵， 又，函数图像的对称轴为直线， 故当n＝10或11时，取得最大值，其最大值为55． 21. 已知圆C：． （1）过点向圆C作切线l，求切线l的方程； （2）若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值； （2）确定直线与圆相离，由切线长公式最小即可，只要求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得切线长的最小值． 【小问1详解】 若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为． 若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以圆心到l距离为2，即，解得， 所以切线l的方程为，即． 综上，切线l的方程为或． 小问2详解】 圆心到直线的距离为，直线m与圆C相离， 因为，所以当最小时，有最小值． 当时，最小，最小值为， 所以的最小值为． 22. 已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 （1）求此椭圆的方程 （2）若点满足，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】设椭圆的方程为,由焦点坐标求出，根据，求出，从而可求，即可得出椭圆方程； 在焦点三角形中，运用余弦定理结合椭圆的定义，求出，再利用三角形的面积公式，可求的面积． 【小问1详解】 由题意，设椭圆的方程为， ∵焦点为，， ∴， 又， 所以，， ，． 所求椭圆的方程为． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得 即， ∴， ∴， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $