精品解析：广东省佛山市三校2024-2025学年高三上学期1月第一次模拟考试数学试题

2024-2025学年度上学期 广东省三校一月第一次模拟考试 数学 试卷 参加学校：诺德安达学校、金石实验中学、英广实验学校 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，请2B用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】由得，所以，， 因为，所以，， 因此，. 故选：D. 2. 已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】分离常数，得到当，时，，且随着的变大，变大，当，时，，且随着的变大，变大，从而得到答案. 【详解】， 当，时，，，且随着的变大，变大， 当，时，，，且随着的变大，变大， 故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是，. 故选：C 3. 下列三个数：，，，大小顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数、对数的知识确定正确答案. 【详解】， ，，所以， 所以， ， 所以. 故选：C 4. 在等差数列中，， 则公差等于（  ） A. 1   B.   C. 2  D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解即可 【详解】由等差数列的性质，. 故选：B. 5. 随机变量服从二项分布，且，，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的均值与方差公式列式计算． 【详解】由题意，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查二项分布的均值与方差公式，属于基础题． 6. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的图象得到的单调区间，从而得到的取值情况，从而得解. 【详解】由图可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以时，时， 时，时， 所以不等式的解集为. 故选：C 7. 已知斜三棱柱中，O为四边形对角线的交点，设四棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由柱体与锥体体积公式求解即得. 【详解】因为O为四边形对角线的交点，所以O为的中点， 所以, 所以. 故选:B. 8. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是的极大值点 C. 当时， D. 在区间上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的极值以及函数的单调性，推出结果． 【详解】解：由导函数的图象可知：导函数在，导函数的符号为正，函数单调递增，A正确； 时，，函数单调递增，，，函数单调递减， 所以是的极大值点，B正确； 在区间上单调递减，D正确； 当时，函数单调递增，可能，所以C不正确； 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. AM与DF是异面直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】 还原正方体，画出正方体的直观图，利用直观图，结合正方体的几何性质对选项中的结论逐一判断即可. 【详解】还原正方体，画出正方体的直观图，如图， 由图可知，AM与DF是相交直线，D错误； 设正方体的棱长为，则，C正确； 由正方体的性质可得与平行且相等，所以是平行四边形，可得，A正确； 由正方体的性质可得与平行且相等，所以是平行四边形，可得，在正方形中，，所以，B正确， 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是还原正方体，画出正方体的直观图，进而根据正方体的性质作出判断. 10. 已知函数是定义在R上的减函数，实数a，b，满足，若是函数的一个零点，则下列结论中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先根据函数的单调性可得出，然后由可得到中有一个函数值为负或三个函数值都为负，从而可判断选项. 【详解】因为函数是定义在R上的减函数，且，所以， 又，所以中有一个函数值为负或三个函数值都为负， 若中有一个函数值为负时， 则，此时，故选项C正确； 若中三个函数值都为负，则，此时，选项A正确. 若，则，此时不满足,故选项B错误； 若，则只能得到，不满足，故选项D不正确. 故选：AC. 11. 已知在的展开式中，设前项的系数分别为，，，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 展开式的中间项为 C. 展开式中有项有理项 D. 展开式中系数最大项为第项和第项 【答案】BD 【解析】 【分析】写出展开式的通项，依题意可求得，进而利用其通项公式对各个选项逐一分析可得答案． 【详解】展开式的通项为其中且， 由于前项的系数为，，，且， ，整理可得， 解得或（舍去），故A错误； 所以展开式的通项为其中且 则展开式的中间项为，故B正确； 令，且，所以或或， 则当，，时为有理项，共项，故C错误； 由，解得， 故展开式中系数最大项为第项和第项，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域为__． 【答案】[,2] 【解析】 【分析】先换元令t＝sinx，t∈[-1,1]，再分离常数，然后逐一求式子的范围，即可求函数的值域． 【详解】解：令t＝sinx，t∈[-1,1]， 所以原式可化为：， ∵﹣1≤t≤1，∴2≤t+3≤4， ∴，则， ∴，函数的值域为． 故答案为：． 13. 已知函数，，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】原方程等价于或，则只需有个根，数形结合即可得答案. 【详解】函数是偶函数，大致图象，如图所示： 方程， 分解因式得， 解得：或， 由函数的图象可知，只有个根， 所以需有个根才满足题意， 所以实数的取值范围是：， 故答案为：． 14. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是_________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型知识即可求解. 【详解】由题意知，样本空间为：{《论语》《孟子》，《论语》《大学》，《论语》《中庸》，《孟子》《大学》，《孟子》《中庸》，《大学》《中庸》}，共6个样本点； 抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的样本点只有1个， 故概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角 所对的边分别为，已知. （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若，，且，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先由正弦定理将边转化为角，利用求出角 ； （Ⅱ）利用三角形内角和将角转化为，再利用诱导公式和两角和与差的正弦公式展开表达式，由于，所以时，需先利用余弦定理求出 边长，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（Ⅰ）由正弦定理，得， 因为，解得，又，∴． （Ⅱ）由，得， 整理，得． 因为，，则，故. 由余弦定理，得，解得． ． 所以，的面积为． 16. 随着经济的发展，到某岛进行旅游观光的人数越来越多，交通问题已成为制约经济发展的重要因素，因此政府欲在大陆和岛屿之间如图建立一条高速通道以便于大陆和岛屿之间来往，大陆沿海线可近似看作函数的图象，且正好与直线相切，而岛屿海岸线可近似看作函数的图象．每单位代表十万米 （1）试求的值及切点坐标． （2）已知建成后的高速通道将开通高铁，并且高铁的最高时速不能超过，试问高铁能否在半小时内穿过高速通道？请说明理由． 【答案】（1），； （2）不能，理由如下： 由（1）及函数与函数互为反函数，且的图象与相切， 得函数的图象与函数的图象有且只有一个公共点， 而的图象可由的图象向右平移个单位而得到， 因此函数与的图象之间的最短距离大于直线与直线之间的距离， 即（十万米）．则高铁穿过通道的时间. 所以高铁不能在半小时内穿过高速通道. 【解析】 【分析】（1）由题意可设切点为，求出函数的导数，求出切点的斜率，得到切点的横坐标，求出纵坐标，得到结果. （2）利用同底的指数函数、对数函数互为反函数，结合函数图象平移，将问题转化为两个函数图象间最短距离大于直线与直线之间的距离求解. 【小问1详解】 依题意，设切点为，由函数求导得， 则，即，解得， 而，则，解得，， 所以，切点坐标为. 【小问2详解】 略 17. 三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，右面是它的正视图和侧视图.(单位：cm) (1)画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积. 【答案】 （1）作出俯视图如下. （2） 【解析】 【分析】(1)由几何体的特征绘制俯视图即可. (2)结合几何体的空间结构特征可得其体积为cm3. 【详解】(1)略. (2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－×(×2×2)×2＝(cm3). 【点睛】本题主要考查三视图的画法，多面体体积的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 18. 设等差数列的前项和为，， （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足，，记的前项和为，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，解得，，从而得数列的通项公式； （2）根据题意有，可得，故可得， 利用二项式系数和可得结论. 【小问1详解】 由题意得： 解得：，， 【小问2详解】 由题意得： ， 由于 所以 19. 近年来骑行成为热门的户外运动方式之一.某同学近来5次骑行期间的身体运动参数评分与骑行距离（单位：公里）的数据统计如下表： 身体运动参数评分 2 4 6 8 10 骑行距离（公里） 38 37 32 33 30 （1）根据上表的样本数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并推断身体运动参数评分和骑行距离的相关程度； （2）根据这些成对数据，建立骑行距离关于身体运动参数的线性经验回归方程.并估计当身体运动参数评分为11分时，该同学的骑行距离. 参考数据和参考公式： ①； ②对于一组数据（），样本相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【答案】（1），身体运动参数评分和骑行距离的相关程度很强 （2），29公里 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据先求出，然后分别求出，和，再代入公式可求出相关系数，再根据其值进行判断； （2）利用公式求出，从而可求出关于身体运动参数的线性经验回归方程，将代入可求出该同学的骑行距离. 【小问1详解】 由表中的数据可得，， 所以 ， ， ， 所以， 因为接近于1，所以身体运动参数评分和骑行距离的相关程度很强； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 所以， 当时，， 所以当身体运动参数评分为11分时，该同学的骑行距离约为29公里. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期 广东省三校一月第一次模拟考试 数学 试卷 参加学校：诺德安达学校、金石实验中学、英广实验学校 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，请2B用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列三个数：，，，大小顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在等差数列中，， 则公差等于（  ） A. 1   B.   C. 2  D. －2 5. 随机变量服从二项分布，且，，则等于（ ） A. B. C. 1 D. 0 6. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知斜三棱柱中，O为四边形对角线的交点，设四棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是的极大值点 C. 当时， D. 在区间上单调递减 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. AM与DF是异面直线 10. 已知函数是定义在R上的减函数，实数a，b，满足，若是函数的一个零点，则下列结论中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知在的展开式中，设前项的系数分别为，，，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 展开式的中间项为 C. 展开式中有项有理项 D. 展开式中系数最大项为第项和第项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域为__． 13. 已知函数，，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是______． 14. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是_________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角 所对的边分别为，已知. （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若，，且，求的面积. 16. 随着经济的发展，到某岛进行旅游观光的人数越来越多，交通问题已成为制约经济发展的重要因素，因此政府欲在大陆和岛屿之间如图建立一条高速通道以便于大陆和岛屿之间来往，大陆沿海线可近似看作函数的图象，且正好与直线相切，而岛屿海岸线可近似看作函数的图象．每单位代表十万米 （1）试求的值及切点坐标． （2）已知建成后的高速通道将开通高铁，并且高铁的最高时速不能超过，试问高铁能否在半小时内穿过高速通道？请说明理由． 17. 三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，右面是它的正视图和侧视图.(单位：cm) (1)画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积. 18. 设等差数列的前项和为，， （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足，，记的前项和为，求 19. 近年来骑行成为热门的户外运动方式之一.某同学近来5次骑行期间的身体运动参数评分与骑行距离（单位：公里）的数据统计如下表： 身体运动参数评分 2 4 6 8 10 骑行距离（公里） 38 37 32 33 30 （1）根据上表的样本数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并推断身体运动参数评分和骑行距离的相关程度； （2）根据这些成对数据，建立骑行距离关于身体运动参数的线性经验回归方程.并估计当身体运动参数评分为11分时，该同学的骑行距离. 参考数据和参考公式： ①； ②对于一组数据（），样本相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $