精品解析：江西省赣州市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

2024-2025学年江西省赣州市高一上学期1月期末数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是71，73，80，85，90，92，94，95，98，100，则分位数为（ ） A. 92 B. 93 C. 94 D. 3. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 命题“”为真命题的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则第10代得到的种子数为（ ）参考数据：， A. B. C. D. 7. 函数，且，则和的不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点;若实数使得，则称为函数的次不动点.若函数在区间上有且仅有一个不动点和一个次不动点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，都有”的否定为“，使得” B. 函数单调递增区间是 C. “”是“函数在区间单调递增”的充分不必要条件 D. 不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 在单调递增 D. 的值域为 11. 若、均为正实数，满足，则以下结论中正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，则__________. 13. 若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 14. 函数，若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设全集为，已知集合， （1）当时，求 （2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围. 16. 已知函数为幂函数. （1）判断函数的单调性，并加以证明； （2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 17. 近年来，中国新能源汽车持续领跑全球，引领着全球汽车产业的转型发展浪潮，年中国新能源汽车产销突破万辆.现有某种型号的新能源汽车经多次实验得到每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示. 为了描述该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择，，. （1）当时，选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，请说明理由;并求出相应的函数解析式； （2）当时，该型号新能源汽车应以多少速度行驶时百公里耗电量（单位：）最小?并计算出该最小值. 18. 赣州市是我国当今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之誉，是客家先民中原南迁的第一站，世称“客家摇篮”，被命名为“国家历史文化名城”、“中国优秀旅游城市”.目前，赣州市形成了“红色故都、客家摇篮、江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌年国庆假期，赣州旅游再次火爆“出圈”.据统计，10月1日至7日，全市共接待游客万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，并将收集到的游客满意度分值数据满分100分分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的中位数结果保留整数 （2）用分层随机抽样的方法从中抽取5个人，再从这5个人中随机抽两人进行深入访谈，求2人满意度分值在同一区间的概率; （3）已知满意度分值在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差 19. 函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.可以将其推广为：函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数 （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形; （2）判断函数的单调性不需要证明，若，求实数x的取值范围. （3）若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江西省赣州市高一上学期1月期末数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用列举法表示A，解出B，根据交集概念计算即可. 【详解】解：集合， 又， 则. 故选：D. 2. 为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是71，73，80，85，90，92，94，95，98，100，则分位数为（ ） A. 92 B. 93 C. 94 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用百分位数概念计算即可. 【详解】解：数据从小到大排序71，73，80，85，90，92，94，95，98，100， 因为， 故分位数为. 故选：B. 3. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据A，B是相互独立事件，结合对立事件和相互独立事件概率运算的性质，直接进行计算即可. 【详解】解：由，得， 则. 故选：A. 4. 若函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出参数值. 【详解】函数定义域为R，由为奇函数，得，解得， 函数，，是奇函数， 所以. 故选：A 5. 命题“”为真命题的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义判断可得答案. 【详解】要求命题“”为真命题的充分不必要条件， 只需要求是的非空真子集即可， 由选项可知，只有B满足题意， 故选：B. 6. 某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则第10代得到的种子数为（ ）参考数据：， A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数模型计算即可. 【详解】由题意，第10代得到的种子数为 故第10代得到的种子数约为 故选：C. 7. 函数，且，则和的不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，分，和，三种情况讨论，结合指数函数的单调性判断正负，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 当时，可得，，则，即； 当时，，，则，即； 当时，，，则，即， 综上可得，. 故选：C. 8. 给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点;若实数使得，则称为函数的次不动点.若函数在区间上有且仅有一个不动点和一个次不动点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中定义，结合对数与指数互化公式、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】解：由于函数在区间上有且仅有一个不动点和一个次不动点， 所以以及，都有且仅有1个零点， （1）由，即，即在有且仅有1个零点， 函数是上的增函数， 所以有，即， （2）由，即， 即在有且仅有1个零点， 函数在上单调递增， 则，即， 综合（1）、（2）可知，， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题中定义，利用指数函数的单调性进行解题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，都有”的否定为“，使得” B. 函数单调递增区间是 C. “”是“函数在区间单调递增”的充分不必要条件 D. 不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可判断A选项；利用复合函数法可判断B选项；利用分段函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可判断C选项；利用二次不等式恒成立求出实数的范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，命题“，都有”的否定为“，使得”，故A正确； 对于B选项，函数是由函数和复合而成， 由于函数单调递增，解得， 所以函数的单调递增区间为， 故函数单调递增区间是，故B错误； 对于C选项，因为， 所以，函数的增区间为， 若函数在区间单调递增，则，可得， 因为， 所以，“”是“函数在区间单调递增”的充分不必要条件，故C正确； 对于D选项，不等式对任意恒成立， 当时恒成立，合乎题意， 当时，则有，解得， 因此，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是，故D错误， 故选：AC. 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 在单调递增 D. 的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；代入检验可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用反函数法可判断D选项. 【详解】对于A选项，对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，  ，故为偶函数，故A选项正确； 对于B选项，当时，，故B选项正确； 对于C选项，因为， 设，因为在上单调递减，内层函数在上为减函数， 所以在单调递增，故C选项正确； 对于D选项，令，可得，解得或， 函数的值域为 ，故D选项错误. 故选：ABC. 11. 若、均为正实数，满足，则以下结论中正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断A选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断B选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】因为正实数、满足， 又因为，即，当且仅当时等号成立， ，故的最大值为，故A正确； 因为， 当且仅当 且 ，即时等号成立，故B错误； 因为，所以， ， 当且仅当且 ，即，时，等号成立， 又实数，，可知等号不成立，故C错误； 因为， 当，时，的最小值为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用指、对数的运算，即可求解. 【详解】因为，  所以 ,则， 故答案为：. 13. 若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的定义域为，可得，即的定义域为. 【详解】函数的定义域为， ，则， ， 函数的定义域为. 故答案为：. 14. 函数，若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先画出函数的图象，把方程有4个不同的实数根转化为函数的图象与有四个不同的交点，结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】因为， 当时，可知其对称轴为， 令，解得或 令，解得或 当时，令，解得或， 作出函数的图象，如图所示， 若方程有四个不同的实根，，，， 即与有四个不同的交点， 交点横坐标依次为，，，， 则， 对于，，则， 可得，所以； 对于，，则，，，可得 所以， 由对勾函数可知在上单调递增， 得， 所以的取值范围是 故答案为： 【点睛】方法点睛：已知方程的根，函数有零点，函数图象的交点求参数取值范围常用的方法和思路，（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设全集为，已知集合， （1）当时，求 （2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）运用指数函数单调性求出B，再根据集合的补运算和并集运算，求解即可； （2）根据题意得到集合之间的关系，分类讨论，列出不等关系，求解即可. 【小问1详解】 当时，， 或， 又因为， 则或 【小问2详解】 因为“”是“”成立的充分条件，则， 集合，， 当，即，即，符合题意； 当时，，解得： 综上所述，实数m的取值范围是 16. 已知函数为幂函数. （1）判断函数的单调性，并加以证明； （2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数为幂函数，则，即， 因为，所以，得，则函数在上单调递增， 下面证明： 任取、且， 则， 因为，所以，而， 得，即，故函数在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义可得出关于的等式，结合可得出函数的解析式，判断出函数在上单调递增，然后利用函数单调性的定义证明即可； （2）由不等式得，，令，由，得，当时，直接验证即可；当时，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由不等式得，， 令，由，得， 不等式变为：，得， 当时，上式恒成立， 当时，则，而， 当且仅当时，即当时，等号成立，则， 故实数的取值范围为. 17. 近年来，中国新能源汽车持续领跑全球，引领着全球汽车产业的转型发展浪潮，年中国新能源汽车产销突破万辆.现有某种型号的新能源汽车经多次实验得到每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示. 为了描述该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择，，. （1）当时，选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，请说明理由;并求出相应的函数解析式； （2）当时，该型号新能源汽车应以多少速度行驶时百公里耗电量（单位：）最小?并计算出该最小值. 【答案】（1）对于，当时，它无意义，所以不符合题意； 对于，它显然是个减函数，所以不符合题意， 故选． （2）当，该电动汽车的电池所需的最小容量为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到 ，结合提供的数据，列出方程组，求得、的值 ，即可求解； （2）设车速为 ，得到 ，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 对于 ，当 时，它无意义，所以不符合题意； 对于 ，它显然是个减函数，所以不符合题意， 故选 ． 根据提供的数据，则有 ，解得 ， 当 时， ． 【小问2详解】 设车速为 ，行驶时百公里所用时间为 ， 所耗电量， 要使耗电量达到最小，即 ． 该电动汽车的电池所需的最小容量为. 18. 赣州市是我国当今保存最完好的北宋城，有“江南宋城”之誉，是客家先民中原南迁的第一站，世称“客家摇篮”，被命名为“国家历史文化名城”、“中国优秀旅游城市”.目前，赣州市形成了“红色故都、客家摇篮、江南宋城、生态家园、世界橙乡、堪舆圣地”六大旅游品牌年国庆假期，赣州旅游再次火爆“出圈”.据统计，10月1日至7日，全市共接待游客万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，并将收集到的游客满意度分值数据满分100分分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的中位数结果保留整数 （2）用分层随机抽样的方法从中抽取5个人，再从这5个人中随机抽两人进行深入访谈，求2人满意度分值在同一区间的概率; （3）已知满意度分值在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差 【答案】（1） （2）； （3）， 【解析】 【分析】（1）频率分布直方图，所有组距对应的频率之和为，利用这个性质可求出的值.中位数是将数据从小到大排序后，位于中间位置的数（如果数据个数为奇数）或中间两个数的平均值（如果数据个数为偶数），根据频率分布直方图求中位数需要通过计算累计频率来确定. （2）先根据分层随机抽样的原理确定从和中抽取的人数，然后利用组合数计算从个人中随机抽两人且在同一区间的概率. （3）求的平均数和方差，可根据平均数和方差的计算公式，结合已知区间的平均数和方差进行计算. 【小问1详解】 由，解得 满意度分值在的频率为， 在的频率为， 所以中位数落在区间内， 所以中位数为 【小问2详解】 从中抽取2人，记为A，B， 从中抽取3人，记为a，b，c 所以5个人中随机抽取两人，所以抽取的结果有：，共有10种情况， 取到2人满意度分值在同一区间有有4种情况，所以概率为， 人满意度分值在同一区间的概率为； 【小问3详解】 满意度分值在的频率为，人数为 在的频率为，人数为30， 满意度分值在的平均数，方差， 在的平均数，方差， 所以满意度分值在的平均数， 满意度分值在的方差为s22-2] 19. 函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.可以将其推广为：函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数 （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形; （2）判断函数的单调性不需要证明，若，求实数x的取值范围. （3）若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）由题意得：函数的定义域为，  又，令， 可知：， 从而，所以是奇函数，即是奇函数，  故函数图象关于成中心对称图形. （2）增函数， （3） 【解析】 【分析】（1）根据为奇函数，结合奇函数的定义即可求解， （2）根据函数的单调性和奇偶性，即可根据得求解即可； （3）根据函数的值域列出方程组，再利用方程根的分布列出不等式组求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，且， 所以 因为， 又，所以， 所以函数在上是增函数， 由可得， 即， 所以，又函数在上是增函数， 所以，即，解得， 所以实数x的取值范围是 【小问3详解】 由在上是增函数可得， 函数在区间上的值域为， 即， 所以a，b是方程的两个不相等实根， 令，则方程变为， 也就是需要方程有两不等正根， 所以，解得， 所以实数的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $