精品解析：辽宁省锦州市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

锦州市2024~2025学年度九年级（上）期末质量检测 数学试卷 考试时间120分钟 试卷满分120分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1. 葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图与俯视图都相同 2. 如图，矩形中，交于点O，若，，则长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 3. 如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”，数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 996 1503 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为（ ） A B. C. D. 4. 已知是一元二次方程一个根，则（ ） A. 9 B. C. 3 D. 5. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳可测量零件的内孔直径，若，且测得，则零件的厚度为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，是对角线上的点，且，为的中点，连接，．若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，轴表示糖水质量，轴表示含糖浓度（瓶中糖固体质量与糖水质量的比值），其中乙、丁两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含糖固体质量最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10. 一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 12. 木箱中装有14个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同，随机从木箱里摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在附近，估计木箱中篮球的个数为_____________． 13. 如图，在正方形中，对角线，相交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，连接，交于点．若，则的长为_____________． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，点在轴的负半轴上，交轴于点，且满足，轴于点，点在轴正半轴上，交于点，若，，则_____________． 15. 如图，在菱形中，，，是上一点，将沿折叠得到，平分交于点，当，，三点在同一条直线上时，的长为_____________． 三、解答题（本题共8道题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）以原点位似中心，在轴上方作，使与位似，且相似比为； （2）在（1）的条件下， ①写出点对称点的坐标； ②写出边上任意一点的对应点的坐标． 18. 在“趣味化学实验室”课上，黄老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液： （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是 ； （2）张老师从四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 19. 体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球垫球是体育中考中学生选择较多的两个考试项目，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为35元，销售价为58元．经统计，4月份的销售量为256套，6月份的销售量为400套． （1）求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，商店为了减少库存，采用降价促销方式调查发现，每套的销售价每降低1元时，月销售量就会增加20套，该商店要想使月销售利润达到8400元，这种跳绳和排球套装每套的销售价应为多少元？ 20. 图1为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升13，加热到100，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至60时，饮水机处于恒温保温状态，若要再次加热，启动加热开关即可，当前水温为22，接通电源开始加热，水温（）与通电时间（）之间的关系如图2所示． （1）求反比例函数表达式； （2）若沏茶的最佳水温不低于80，求从当前水温22开始加热，到饮水机处于恒温保温状态的过程中，最佳沏茶的时间有多久？ 21. 如图，在中，对角线，相交于点，的垂直平分线分别交，，于点，，，且为的中点，交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 22. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，是边上一点，连接，于点，交于点．求证：； 【延伸应用】 （2）如图2，在菱形中，是边上一点，连接，是上一点，的延长线交于点，且，（1）中结论是否仍然成立，请说明理由； 【类比迁移】 （3）如图3，在矩形中，，，是的中点，是上一点，交于点，交于点，连接，交于点．若，求． 23. 定义：对于平面直角坐标系内的点和反比例函数，若，则称点是反比例函数的“双曲点”． 已知点和反比例函数． （1）判断点是否为反比例函数的“双曲点”，并说明理由； （2）如图1，过点作轴，轴，分别与反比例函数的图象交于点和，将直线右侧的图象沿翻折，交轴于点，将直线下方的图象沿翻折，翻折后的曲线相交于点． ①求点到轴和轴距离比； ②如图2，若点位于点上方，过点作轴，交轴左侧曲线于点，交轴右侧曲线（实线部分）于点．若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 锦州市2024~2025学年度九年级（上）期末质量检测 数学试卷 考试时间120分钟 试卷满分120分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1. 葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图与俯视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得到答案． 【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和左视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段， 故选：A． 2. 如图，矩形中，交于点O，若，，则长（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质可得出，再结合题意可知为等边三角形，即得出，从而可求出． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质．证明为等边三角形是解题关键． 3. 如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”，数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 996 1503 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率是解题的关键，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率即可得到答案． 【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在附近， 则估计随机投放一个点落在“心形线”内部的概率为． 故选B． 4. 已知是一元二次方程的一个根，则（ ） A. 9 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义、代数式求值等知识点．由是一元二次方程的一个解，将代入原方程可得，即． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴，即， 故选：B． 5. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象的性质，掌握反比例函数的性质成为解题的关键． 根据反比例函数的图象性质列出不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴，解得：. 故选D． 6. 如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳可测量零件的内孔直径，若，且测得，则零件的厚度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意可得，进而可得，据此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用，理解题意，利用勾股定理列出方程是解题的关键．由题意得，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形，设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形： 设相遇时，甲、乙行走了个单位时间， 则，， 由勾股定理得，， ． 故选：A． 8. 如图，在菱形中，是对角线上的点，且，为的中点，连接，．若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等腰三角形的性质等知识知识点，掌握菱形的对角线平分对角成为解题的关键． 由菱形的性质可得、，即，在根据三角形的性质可得、，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵菱形， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴． 故选B． 9. 固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，轴表示糖水质量，轴表示含糖浓度（瓶中糖固体质量与糖水质量的比值），其中乙、丁两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含糖固体质量最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，发现的值即为糖水中含糖固体质量成为解题的关键． 根据题意可知，的值即为糖水中含糖固体质量，再根据图象即可确定甲瓶糖水中含糖固体质量最少，丙瓶糖水中含糖固体质量最多，乙、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同解题即可． 【详解】解：根据题意，可知的值即为糖水中含糖固体质量， ∵描述乙、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同， ∵点甲在反比例函数图象下面，点丙在反比例函数图象上面， ∴甲瓶的的值最小，即糖水中含糖固体质量最少，丙瓶的的值最大，即糖水中含糖固体质量最多． 故选∶C． 10. 一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图：延长交于Q，连接，由题意可知：，则，根据平行线等分线段定理可得；设，则，再通过证明、解答即可． 【详解】解∶如图：延长交于Q，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 故选D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根． 根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：9． 12. 木箱中装有14个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同，随机从木箱里摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在附近，估计木箱中篮球的个数为_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、已知概率求数量、分式方程的应用等知识点，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键． 设袋子中蓝球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为，再根据概率公式分式方程求解即可． 【详解】解：设袋子中蓝球约有x个， ∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近， ∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为， ∴，解得：， 经检验，是原方程的解， ∴袋子中蓝球约有6个， 故答案为：6． 13. 如图，在正方形中，对角线，相交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，连接，交于点．若，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出正方形的对角线，由证，根据相似三角形对边成比例，得出，最后求得即可． 【详解】解：在正方形中，， ， 依题意可知，垂直平分，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形有的性质，尺规作图，线段的垂直平分线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确理解尺规作图是解本题的关键． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，点在轴的负半轴上，交轴于点，且满足，轴于点，点在轴正半轴上，交于点，若，，则_____________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图：连接，设，则，易证可得，再根据和等高可得，最后根据反比例函数k的几何意义即可解答． 【详解】解：如图：连接，设，则， ∵， ∴， ∴，即，则， ∵和等高， ∴，即，解得：， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵函数图象在第一象限， ∴． 故答案为：16． 15. 如图，在菱形中，，，是上一点，将沿折叠得到，平分交于点，当，，三点在同一条直线上时，的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作交延长线于点，由菱形的性质可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，由折叠可知，，，，由、、三点共线可得，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，进而可得，即为中点，则，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，则，利用勾股定理可得，由可得，结合，可证得，于是可得，进而可得，于是得解． 【详解】解：如图，连接，过点作交延长线于点， ， 四边形是菱形， ∴，， ， 由折叠可知，，，，， ，，三点共线， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠问题，两直线平行同旁内角互补，角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，线段中点的有关计算，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理，线段的和与差，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（本题共8道题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）变形后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：这里，，， ∵． 即， 【小问2详解】 解：， ， 或． ， 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）以原点位似中心，在轴上方作，使与位似，且相似比为； （2）在（1）的条件下， ①写出点的对称点的坐标； ②写出边上任意一点的对应点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）①点；②点 【解析】 【分析】本题主要考查作图—位似变换，熟练掌握位似的性质是解题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）由图可得点的坐标，根据位似的性质得到点的坐标． 【小问1详解】 解：如图1，即为所求 图1 【小问2详解】 解：①由图可得，点， ②由题意得，点． 18. 在“趣味化学实验室”课上，黄老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液： （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是 ； （2）张老师从四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下， 共有12种等可能结果，其中混合后的溶液变红色的结果有：，共2种， ∴混合后的溶液变红色的概率为． 19. 体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球垫球是体育中考中学生选择较多的两个考试项目，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为35元，销售价为58元．经统计，4月份的销售量为256套，6月份的销售量为400套． （1）求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，商店为了减少库存，采用降价促销方式调查发现，每套的销售价每降低1元时，月销售量就会增加20套，该商店要想使月销售利润达到8400元，这种跳绳和排球套装每套的销售价应为多少元？ 【答案】（1） （2）跳绳和排球套装售价为50元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为，拿4月份的销售量乘以等于6月份的销售量建立方程求解； （2）设该款跳绳和排球套装售价为元，则每件的销售利润为元，根据每件利润乘以数量得到总利润建立方程求解． 【小问1详解】 解：设该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该款跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该款跳绳和排球套装售价为元，则每件的销售利润为元． 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去） 答：该款跳绳和排球套装售价为50元时，月销售利润达8400元． 20. 图1为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升13，加热到100，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至60时，饮水机处于恒温保温状态，若要再次加热，启动加热开关即可，当前水温为22，接通电源开始加热，水温（）与通电时间（）之间的关系如图2所示． （1）求反比例函数表达式； （2）若沏茶的最佳水温不低于80，求从当前水温22开始加热，到饮水机处于恒温保温状态的过程中，最佳沏茶的时间有多久？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键． （1）先求出加热到需要的时间，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出所需要的时间，代入反比例函数即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题意得（）， 当时，， 设反比例函数表达式为，将，代入，即， ， 反比例函数的表达式为； 小问2详解】 解：由题意得（）， 将代入，即， ， 最佳沏茶的时间为（）， 答：最佳沏茶的时间为． 21. 如图，在中，对角线，相交于点，的垂直平分线分别交，，于点，，，且为的中点，交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，推出，再证明四边形是平行四边形，由，可证明四边形是矩形； （2）证明，求得，得到，在中，由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，， ，， 为中点， ， ， ， 垂直平分于点， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 22. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，是边上一点，连接，于点，交于点．求证：； 【延伸应用】 （2）如图2，在菱形中，是边上一点，连接，是上一点，的延长线交于点，且，（1）中结论是否仍然成立，请说明理由； 类比迁移】 （3）如图3，在矩形中，，，是的中点，是上一点，交于点，交于点，连接，交于点．若，求． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，利用等积法求得，再证明，即可证明； （3）过点作交于点，连接，，证明，推出，设，则，，在中，利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】证明：（1）如图，四边形正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）成立 如图，过点作于点，过点作交延长线于点． ． 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，过点作交于点，连接，， 四边形是矩形， ，． ， ． ． ， ． ． ． 是中点， ． ，， ． ． 设，则，， 在中，， ． ． ， ，，． ，， ． ，即． ， ， ，， 即． ． ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 23. 定义：对于平面直角坐标系内的点和反比例函数，若，则称点是反比例函数的“双曲点”． 已知点和反比例函数． （1）判断点是否为反比例函数的“双曲点”，并说明理由； （2）如图1，过点作轴，轴，分别与反比例函数的图象交于点和，将直线右侧的图象沿翻折，交轴于点，将直线下方的图象沿翻折，翻折后的曲线相交于点． ①求点到轴和轴的距离比； ②如图2，若点位于点上方，过点作轴，交轴左侧曲线于点，交轴右侧曲线（实线部分）于点．若，求的值． 【答案】（1）点是反比例函数的“双曲点”，见解析 （2）①；②或4 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，“双曲点”的定义，关于直线对称的点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键． （1）将计算出，即可进行判断； （2）①设点的坐标为，设点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为．得到，，将，代入反比例函数中，得到，即可求出答案； ②设点关于直线的对称点为，分另种情况进行讨论，当点在点下方时，设点关于直线的对称点为，根据反比例函数的图像和性质得到，，列出式子进行求解；当点在点上方时，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：，， 点是反比例函数的“双曲点”； 【小问2详解】 解：①设点的坐标为， 如图1，设点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为． ， 依题可知点，都在反比例函数图象上， ． ，即点到轴和轴的距离比为； 　　　　　 ②轴，， ． 设点关于直线的对称点为， 如图2，当点在点下方时， 设点关于直线的对称点为， ，， 将和代入得，，． ． ，． ， ． 解得，（舍） 如图3，当点在点上方时， ， ，． ， 综上，的值为或4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$