精品解析：辽宁省锦州市太和区第二初级中学2023-2024学年上学期九年级期末数学考试模拟题

2023-2024辽宁省锦州市太和二中九上期末数学模拟题1 一．选择题 1. 从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图．根据观察方向即可求解． 【详解】解：从正面看，下方长方体看到的是长方形，上方圆柱看到的也是长方形 且两个长方形在左侧位置对齐 故选：A 2. 在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（ ） A. 12个 B. 15个 C. 18个 D. 20个 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率公式计算即可． 【详解】解：设袋子中黄球有x个， 根据题意，得：， 解得：x＝12， 则白球有个； 故选：C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 3. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角线互相垂直 C. 邻边垂直 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形和菱形的性质逐项排查即可． 【详解】解：A. 对角相等是平行四边形的性质，矩形和菱形都具有，故该选项不符合题意； B. 对角线互相垂直是菱形的性质，矩形不具有，故该选项不符合题意； C. 邻边垂直是矩形具有，菱形不具有的性质，故该选项符合题意； D. 对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，故该选项不正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形和菱形性质,掌握矩形和菱形的性质的区别与联系是解答本题的关键． 4. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：m＜9， m的值可能是：8． 故选：A. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则，是解题的关键． 5. 古代“矩”是指包含直角的作图工具，如图1，用“矩”测量远处两点间距离的方法是：把矩按图2平放在地面上，人眼从矩的一端A望点B，使视线刚好通过点E，量出长，即可算得之间的距离．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和图形，可以得到，，然后根据相似三角形的性质，可以得到． 【详解】解：由图2可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6. 如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（ ） A. 图形的平移 B. 图形的轴对称 C. 图形的相似 D. 图形的旋转 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图形的相似，根据把图形进行放大或缩小可判断出是图形的相似即可. 【详解】解：将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的图形的相似. 故选：C. 7. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图像位于第二、四象限 B. 图像与坐标轴有公共点 C. 图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D. 图像经过点，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质逐项排查即可解答． 【详解】解：A．的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意； B． 的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意； C． 的图像所在的每一个象限内，随的增大而减小，故该选项符合题意； D． 由的图像经过点，则，计算得或，故该选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，明确题意、正确利用反比例函数的性质是解答本题的关键． 8. 若，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与反比例函数的图象特征逐项判断即可得． 【详解】解：A、由一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，则此项不符合题意； B、由一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，则此项不符合题意； C、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，则，不满足，则此项不符合题意； D、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，满足，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象和反比例函数的图象特征是解题关键． 9. 如图，已知，点A在边上，点B在边上，且，点E在边上，小明，小红分别在图1，图2中作了矩形，平行四边形，并连接了对角线，两条对角线交于点C，小明，小红都认为射线是的角平分线，你认为他们说法正确的是（ ） A. 小明，小红都对 B. 小明，小红都错 C. 小明错误，小红正确 D. 小明正确，小红错误 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质、平行四边形的性质都可以得到，即可证得，即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， 射线是的角平分线， 故小明的说法正确； 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ， ， 射线是的角平分线， 故小红的说法正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和平行四边形的性质． 10. 如图，在正方形中，F为上一点，E是延长线上一点，且，连接是的中点，连接，设与和分别相交于点G和N，则4个结论：①；②若，则；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据证明得到，再证明是等腰直角三角形，可得，由是正方形的对角线可得，得又,故可得，故①正确；连接过点M作于点H，证明是的中位线，求出根据直角三角形的性质得到，根据证明，得到，得出，故②错误；根据三角形内角和定理可得③正确；证明可判断④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形中， ∴ ∴ 又 ∴， ∴， ∴即 又 ∴ 又是正方形的对角线， ∴ ∴ 又 ∴,故①正确； 连接过点M作于点H，如图， ∴ ∴ ∵M是的中点， ∴ ∴即 ∴H是的中点， ∴是中位线， ∴； ∵M是的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴ ∴ 由于无法判断，故②说法错误； ∵ 又 ∴，故③正确； ∵ ∴， ∴ ∴，故④正确， 综上，正确的是①③④， 故选：B 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理并作辅助线是解题的关键． 二．填空题 11. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变．掌握这个性质是解答本题的关键． 将已知分式中分子和分母同时除以，将分式整理成只含的等式，由此计算出的值． 【详解】解：由已知， 分子和分母同时除以，得， ，即． 故答案为． 12. 已知关于的一元二次方程的一个根是2，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将x=2代入，然后求解关于m的方程即可． 【详解】把代入，得： ， ∴． 故答案为：-14． 【点睛】本题主要考查了方程的解以及解一元一次方程的解，理解方程的解成为解答本题的关键． 13. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，，点E是的中点，连接，则的长度为 ___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了菱形性质，直角三角形斜边的中线性质，勾股定理，掌握菱形的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质和直角三角形的性质求出的长，再根据勾股定理求出的长，最后利用直角三角形的性质求的长． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O，， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 故答案为：5． 14. 如图，点A在反比例函数（x＜0）的图像上，点B在y轴负半轴上，AB交x轴于点C，若，，则k的值为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作轴于D，则，即可求得，利用相似三角形求出，得出，再根据反比例函数的k的几何意义得结果． 【详解】解：如下图，过点A作轴于D， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 根据反比例函数k的几何意义得 ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的k的几何意义的应用，三角形相似的判定及性质，解题的关键是求得的面积． 15. 如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接，若，则的长度为___________    【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，连接，利用等腰三角形的性质和角度转换得到，再证明，则可得，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可解答，正确作辅助线是解题的关键。 【详解】解：如图，连接，    四边形是正方形， ，，， ， ， ， 平分， ， ， 在与， ， ， ， ， O为对角线的中点， ， 故答案为：． 三．解答题 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ，即， ， ； 【小问2详解】 解： ， ， ． 17. 为了激发广大学生的爱国主义情怀，某校9月开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育活动，活动方式有：A．书法，B．手抄报，C．唱响经典红歌，D．爱国主题演讲．各班班长代表班级通过抽签的方式确定本班的活动方式，抽签规则如下：将正面分别写有字母，，，的四张卡片（除了正面字母不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀，先由一位班长随机抽取一张卡片，这张卡片的字母表示的是本班的活动方式，然后将卡片放回，洗匀，再由下一位班长抽取．已知小明和小颖分别是两个班的班长． （1）小明抽到的活动方式是“C．唱响经典红歌”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小颖抽到同一种活动方式的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率计算公式进行求解即可； （2）先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，在找到两人抽到同一活动方式的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有A、B、C、D四张卡片，每张卡片被抽到的概率相同， ∴抽到卡片C的概率为， ∴小明抽到的活动方式是“C．唱响经典红歌”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明与小颖抽到同一种活动方式的结果数有4种， ∴小明与小颖抽到同一种活动方式的概率为． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． 18. 某超市以每箱25元的进价购进一批水果，当该水果售价为40元/箱时，六月销售256箱，七、八月该水果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，八月的销量达到400箱． （1）求七，八两月的月平均增长率； （2）九月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在八月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市九月获利4250元？ 【答案】（1） （2）5元 【解析】 【分析】（1）设七，八两月的月平均增长率为，利用八月的销售量六月的销售量七，八两月的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该水果每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润每箱的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 设七，八两月的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：七，八两月的月平均增长率为． 【小问2详解】 设该水果每箱降价元，则每箱盈利元，月销售量为箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当该水果每箱降价5元时，超市九月获利4250元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19. 为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DEBC．经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度． 【答案】桥AF长度为80米． 【解析】 【分析】过E作EG⊥BC于G，依据△ABC∽△ADE，即可得出，依据△ACF∽△ECG，即可得到，进而得出AF的长． 【详解】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G， ∵DEBC， ∴△ABC∽△ADE， ∴＝， ∴， ∵AF⊥BC，EG⊥BC， ∴AFEG， ∴△ACF∽△ECG， ∴，即， 解得AF=80， ∴桥AF的长度为80米． 【点睛】本题主要考查了利用相似测量河的宽度（测量距离）．测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．方法是通过测量易于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 20. 如图，AE平分，D为AE上一点，． （1）求证：； （2）若D为AE中点，，求CD的长． 【答案】（1）证明见详解；（2）CD的长为2． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义可得，根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）由中点的定义可得，再由（1）中结论相似三角形的性质即可得． 【详解】解：（1）证明∵AE平分， ∴， 在与中， ∵， ， ∴； （2）∵D为AE中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴CD的长为2． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，角平分线和线段中点的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 21. 如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF． （1）求证四边形AECF是正方形； （2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）25． 【解析】 【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质即可证明四边形AECF是正方形； （2）根据菱形ABCD的性质和BD＝4，BE＝3，DF＝BE，可得EF=10，OA=5，进而可得菱形ABCD的面积． 【详解】证明：（1）如图，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF， ∵BE=DF， ∴OB+BE=OD+DF， 即OE=OF， ∵OA=OC，OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形； ∵∠AED＝45°， ∴∠OAE=90°-45°=45°=∠AED， ∴OA=OE， ∴AC=EF， ∴四边形AECF是正方形； （2）∵四边形ABCD是菱形，BD＝4，BE＝3， DF＝BE， ∴EF=BE+BD+DF=2BE+BD=10， ∴OE=EF=5， ∵∠AED＝45°，AC⊥EF， ∴OA=·OE=·5=5， ∴AC=10， ∴菱形ABCD的面积=AC•BD=×10×5=25． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识． 22. 【定义】 平面直角坐标系内的直角三角形如果满足以下两个条件：①两直角边平行于坐标轴；②斜边的两个顶点在同一反比例函数图象上．那么我们把这个直角三角形称为该反比例函数的“伴随直角三角形”． 例如，在下图中，的边轴，轴，且点A，B在反比例函数的图象上，则是反比例函数的“伴随直角三角形”． 【理解】 （1）在中，，点A，B，C的坐标分别为 ①，，； ②，，； ③，，． 其中可能是某反比例函数的“伴随直角三角形”的是________．（填序号） 【应用】 （2）已知点是反比例函数的“伴随直角三角形”的直角顶点，求直线的函数表达式． 【提升】 （3）是反比例函数的“伴随直角三角形”，且点的坐标为，点的坐标为．若平移后得到的，且是反比例函数的“伴随直角三角形”，分别求点，的坐标． 【答案】（1）①③ （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标的特征可得答案； （2）求得，．利用待定系数法即可求解； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，利用待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：①，，，则轴，轴， 点，，在反比例函数的图象上， 则是反比例函数的“伴随直角三角形”； ②，，，则轴，轴， ，则点，不在同一反比例函数的图象上， 则不是某反比例函数的“伴随直角三角形”； ③，，，则轴，轴， 点，，在反比例函数的图象上， 则是反比例函数的“伴随直角三角形”； 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：如图， 把代入，得， 把代入，得， ∴，． 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 则点的坐标为． ∵是反比例函数的“伴随直角三角形”， ∴点，在反比例函数的图象上， ∴， ∴（舍去）或， ∴点，． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法求函数解析式等知识，理解“伴随直角三角形”满足的两个条件是解题的关键． 23. 在全等三角形章节学习时，我们曾解决过这样一个问题：“如图，在正方形中，E为边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得线段，连接，求证：．”（无需证明） 解题思路：在上取点G，使得，证，则，从而可证得：，得证． 【问题提出】（1）如图1，在等边中，D为边上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得线段，连接，求证：． 【问题探究】（2）如图2，在等腰中，底角度数为α，腰长与底边长的比．D为边上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转α得线段l，在线段l上取点E，使，连接，求证：． 【解决问题】（3）如图3，在等腰中，底角度数为α，．点D为延长线上的一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转α得射线l，在射线l上取点E，使，连接交于F，求的长度． 【答案】（）证明见解析；（）证明见解析；（）． 【解析】 【分析】（）在上截取，利用证明，得，即可证明结论； （）在上截取，使得 ，根据，得，进而解决问题； （）延长至点，使得 ，根据，得， 再证明，得，设，则，，过点作于点，过点作于点，求出的长，进而解决问题； 【详解】（）证明：在上截取， ∴ ， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （）证明：在上截取，使得， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由同（）理得，， ∴， ∴ ， ∴，， ∴， ∴； （）延长至点，使得 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴, ∴， ∴， ∴， 设，则，，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线及熟练掌握以上知识点的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024辽宁省锦州市太和二中九上期末数学模拟题1 一．选择题 1. 从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是（　　） A. B. C. D. 2. 在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有（ ） A. 12个 B. 15个 C. 18个 D. 20个 3. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角线互相垂直 C. 邻边垂直 D. 对角线互相平分 4. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 古代的“矩”是指包含直角的作图工具，如图1，用“矩”测量远处两点间距离的方法是：把矩按图2平放在地面上，人眼从矩的一端A望点B，使视线刚好通过点E，量出长，即可算得之间的距离．若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（ ） A. 图形的平移 B. 图形的轴对称 C. 图形的相似 D. 图形的旋转 7. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图像位于第二、四象限 B. 图像与坐标轴有公共点 C. 图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D. 图像经过点，则 8. 若，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知，点A在边上，点B在边上，且，点E在边上，小明，小红分别在图1，图2中作了矩形，平行四边形，并连接了对角线，两条对角线交于点C，小明，小红都认为射线是的角平分线，你认为他们说法正确的是（ ） A. 小明，小红都对 B. 小明，小红都错 C. 小明错误，小红正确 D. 小明正确，小红错误 10. 如图，在正方形中，F为上一点，E是延长线上一点，且，连接是的中点，连接，设与和分别相交于点G和N，则4个结论：①；②若，则；③；④，其中正确的是（ ） A ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 二．填空题 11. 若，则________． 12. 已知关于的一元二次方程的一个根是2，则___________． 13. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，，点E是的中点，连接，则的长度为 ___________． 14. 如图，点A在反比例函数（x＜0）图像上，点B在y轴负半轴上，AB交x轴于点C，若，，则k的值为 _________． 15. 如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，连接并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接，若，则的长度为___________    三．解答题 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 为了激发广大学生的爱国主义情怀，某校9月开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育活动，活动方式有：A．书法，B．手抄报，C．唱响经典红歌，D．爱国主题演讲．各班班长代表班级通过抽签的方式确定本班的活动方式，抽签规则如下：将正面分别写有字母，，，的四张卡片（除了正面字母不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀，先由一位班长随机抽取一张卡片，这张卡片的字母表示的是本班的活动方式，然后将卡片放回，洗匀，再由下一位班长抽取．已知小明和小颖分别是两个班的班长． （1）小明抽到的活动方式是“C．唱响经典红歌”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小颖抽到同一种活动方式的概率． 18. 某超市以每箱25元的进价购进一批水果，当该水果售价为40元/箱时，六月销售256箱，七、八月该水果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，八月的销量达到400箱． （1）求七，八两月的月平均增长率； （2）九月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在八月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市九月获利4250元？ 19. 为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DEBC．经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度． 20. 如图，AE平分，D为AE上一点，． （1）求证：； （2）若D为AE中点，，求CD的长． 21. 如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF． （1）求证四边形AECF是正方形； （2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积． 22. 【定义】 平面直角坐标系内的直角三角形如果满足以下两个条件：①两直角边平行于坐标轴；②斜边的两个顶点在同一反比例函数图象上．那么我们把这个直角三角形称为该反比例函数的“伴随直角三角形”． 例如，在下图中，边轴，轴，且点A，B在反比例函数的图象上，则是反比例函数的“伴随直角三角形”． 【理解】 （1）在中，，点A，B，C的坐标分别为 ①，，； ②，，； ③，，． 其中可能是某反比例函数的“伴随直角三角形”的是________．（填序号） 【应用】 （2）已知点是反比例函数的“伴随直角三角形”的直角顶点，求直线的函数表达式． 【提升】 （3）是反比例函数的“伴随直角三角形”，且点的坐标为，点的坐标为．若平移后得到的，且是反比例函数的“伴随直角三角形”，分别求点，的坐标． 23. 在全等三角形章节学习时，我们曾解决过这样一个问题：“如图，在正方形中，E边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得线段，连接，求证：．”（无需证明） 解题思路：在上取点G，使得，证，则，从而可证得：，得证． 【问题提出】（1）如图1，在等边中，D为边上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得线段，连接，求证：． 【问题探究】（2）如图2，在等腰中，底角度数为α，腰长与底边长的比．D为边上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转α得线段l，在线段l上取点E，使，连接，求证：． 【解决问题】（3）如图3，在等腰中，底角度数为α，．点D为延长线上的一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转α得射线l，在射线l上取点E，使，连接交于F，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$