专题1 第4讲 圆周运动 天体的运动-【步步高】2024年高考物理大二轮专题复习与增分策略（新高考，苏京）

第4讲　圆周运动　天体的运动 目标要求　1.会分析常见圆周运动的向心力来源，并会处理圆周运动的问题。2.知道开普勒定律，会分析天体的运动规律，会比较卫星的参量。 考点一　圆周运动 1．圆周运动的三种临界情况 (1)接触面滑动临界：Ff＝Fmax。 (2)接触面分离临界：FN＝0。 (3)绳恰好绷紧：FT＝0；绳恰好断裂：FT达到绳子可承受的最大拉力。 2．常见的圆周运动及临界条件 (1)水平面内的圆周运动 水平面内 动力学方程 临界情况示例 水平转盘上的物体 Ff＝mω2r 恰好发生滑动 圆锥摆模型 mgtan θ＝mrω2 恰好离开接触面 (2)竖直面及倾斜面内的圆周运动 轻绳模型 最高点：FT＋mg＝m 恰好通过最高点，绳的拉力恰好为0 轻杆模型 最高点：mg±F＝m 恰好通过最高点，杆对小球的力等于小球的重力 带电小球在叠加场中的圆周运动 等效法 关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置 恰好通过等效最高点，恰好做完整的圆周运动 倾斜转盘上的物体 最高点：mgsin θ±Ff＝mω2r 最低点Ff－mgsin θ＝mω2r 恰好通过最低点 例1　(2023·北京卷·10)在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量。如图所示，不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一待测小球，使其绕O做匀速圆周运动，用力传感器测得绳上的拉力为F，用停表测得小球转过n圈所用的时间为t，用刻度尺测得O点到球心的距离为圆周运动的半径R。下列说法正确的是(　　) A．圆周运动轨道可处于任意平面内 B．小球的质量为 C．若误将n－1圈记作n圈，则所得质量偏大 D．若测R时未计入小球半径，则所得质量偏小 答案　A 解析　空间站内的物体都处于完全失重状态，可知圆周运动的轨道可处于任意平面内，故A正确；根据F＝mω2R，ω＝，解得小球质量m＝，故B错误；若误将n－1圈记作n圈，则得到的质量偏小，故C错误；若测R时未计入小球的半径，则R偏小，所得质量偏大，故D错误。 例2　(2023·江苏省南京市南京师大附中一模)如图所示，压缩机通过活塞在汽缸内做往复运动来压缩和输送气体，活塞的中心A与圆盘在同一平面内，O为圆盘圆心，B为圆盘上一点，A、B处通过铰链连接在轻杆两端，圆盘绕过O点的轴做角速度为ω的匀速圆周运动。已知O、B间距离为r，AB杆长为L，则(　　) A．L越大，活塞运动的范围越大 B．圆盘半径越大，活塞运动的范围越大 C．当OB垂直于AB时，活塞速度为ωr D．当OB垂直于AO时，活塞速度为ωr 答案　D 解析　当B点在圆心左侧水平位置时，活塞运动到最左位置，距离O点s1＝L＋r 当B点在圆心右侧水平位置时，活塞运动到最右位置，距离O点s2＝L－r 所以活塞运动范围为s1－s2＝2r 此距离与L无关，与r成正比，与圆盘半径无关，故A、B错误； 圆盘B点速度vB＝rω 当OB垂直于AB时，如图甲所示 此时B点的速度方向一定沿杆，则vA≠vB，故C错误； 当OB垂直于AO时，如图乙所示 此时活塞速度方向与圆盘上B点速度方向相同，速度方向与杆的夹角θ相同，沿杆速度 vBcos θ＝vAcos θ 此时有vA＝vB＝rω，故D正确。 例3　很多青少年在山地自行车上安装了气门嘴灯，夜间骑车时犹如踏着风火轮，格外亮眼。如图甲是某种自行车气门嘴灯，气门嘴灯内部开关结构如图乙所示：弹簧一端固定，另一端与质量为m的小滑块(含触点a)连接，当触点a、b接触，电路接通使气门嘴灯发光，触点b位于车轮边缘。车轮静止且气门嘴灯在最低点时触点a、b距离为L，弹簧劲度系数为，重力加速度大小为g，自行车轮胎半径为R，不计开关中的一切摩擦，滑块和触点a、b均可视为质点。 (1)若自行车匀速行驶过程中气门嘴灯可以一直亮，求自行车行驶的最小速度； (2)若自行车以的速度匀速行驶，求车轮每转一圈，气门嘴灯的发光时间。 答案　(1)　(2) 解析　(1)只要气门嘴灯位于最高点时a、b接触即可保证全程灯亮，弹簧原长时a、b间的距离为 ＋L＝2L 气门嘴灯位于最高点时恰好可以亮，则有 ＝mg＋2kL＝3mg 解得满足要求的最小速度为v＝ (2)速度为时轮子滚动的周期为 T＝＝ 此速度下气门嘴灯所需的向心力为 F＝m＝2mg， 此力恰好等于a、b接触时弹簧的弹力，即无重力参与向心力，对应与圆心等高的点，故当气门嘴灯位于下半圆周时灯亮，即t＝＝。 解决圆周运动问题的基本思路 →→ 考点二　天体的运动 1．开普勒定律理解 (1)根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上运动时，相等时间内扫过的面积相等，则v1r1＝v2r2； (2)根据开普勒第三定律，＝k，若为椭圆轨道，则r为半长轴，若为圆轨道，则r＝R； (3)运行过程中行星的机械能守恒，即Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。 2．卫星的发射、运行及变轨 在地面附近静止 忽略自转：G＝mg，故GM＝gR2(黄金代换式) 考虑自转： 两极：G＝mg 赤道：G＝mg0＋mω2R 卫星的发射 地球的第一宇宙速度：v＝＝＝7.9 km/s是最小的发射速度和最大的环绕速度 (天体)卫星在圆轨道上运行 G＝Fn＝ 轨高速低周期大 变轨 (1)由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度较小、动能较小、机械能较大；由高轨变低轨，反之 (2)卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度 (3)根据开普勒第三定律，半径(或半长轴)越大，周期越长 3.天体质量和密度的计算 例4　(2023·北京卷·12)2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720 km，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是(　　) A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1° B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9 km/s C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度 D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离 答案　A 解析　因为“夸父一号”轨道要始终保持“夸父一号”被太阳光照射到，则在一年之内转动360°角，即轨道平面平均每天约转动1°，故A正确；第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9 km/s，故B错误；根据G＝ma，可知“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误；“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题中信息不能求解地球与太阳的距离，故D错误。 例5　(2023·江苏南京市三模)2022年10月31日，搭载梦天实验舱的长征五号B遥四运载火箭发射取得圆满成功。实验舱发射可简化为三个轨道，如图所示，先由近地圆轨道1进入椭圆轨道2，再调整至圆轨道3。轨道上A、B、C三点与地球中心在同一直线上，A、C两点分别为轨道2的远地点与近地点。下列说法正确的是(　　) A．实验舱在轨道2上C点的速度大于第一宇宙速度 B．实验舱在轨道2上运行的周期小于在轨道1上运行的周期 C．实验舱在轨道2上的A点和在轨道3上的B点受到的万有引力相同 D．实验舱在轨道2上C点的速度小于在轨道3上B点的速度 答案　A 解析　轨道1为近地圆轨道，实验舱运行的速度为第一宇宙速度，实验舱由轨道1变为轨道2，要做离心运动，因此在C点应该加速，所以在轨道2上C点的速度大于在轨道1上C点的速度，即实验舱在轨道2上C点的速度大于第一宇宙速度，故A正确；根据开普勒第三定律＝k可知轨道半径越大，周期越大，所以实验舱在轨道2上运行的周期大于在轨道1上运行的周期，故B错误；根据万有引力公式F＝G，可知实验舱在轨道2上的A点和在轨道3上的B点受到的万有引力大小相同，方向不同，故C错误；根据万有引力提供向心力有G＝m，解得v＝可知实验舱在轨道1上运行的速度大于在轨道3上的速度，而实验舱在轨道2上C点的速度大于实验舱在轨道1上C点的速度，所以实验舱在轨道2上C点的速度大于在轨道3上B点的速度，故D错误。 例6　(2023·湖北卷·2)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出(　　) A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8 B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4 D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前 答案　B 解析　火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定律有＝，可得＝＝，故A错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确；在星球表面根据万有引力定律有G＝mg，由于不知道火星和地球的质量比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度，故C错误；火星和地球绕太阳匀速圆周运动，有ω火＝，ω地＝，要发生下一次火星冲日则有(－)t＝2π，得t＝> T地，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故D错误。 例7　(2022·福建卷·4)2021年美国“星链”卫星曾近距离接近我国运行在距地390 km近圆轨道上的天宫空间站。为避免发生危险，天宫空间站实施了发动机点火变轨的紧急避碰措施。已知质量为m的物体从距地心r处运动到无穷远处克服地球引力所做的功为G，式中M为地球质量，G为引力常量；现将空间站的质量记为m0，变轨前后稳定运行的轨道半径分别记为r1、r2，如图所示。空间站紧急避碰过程发动机做的功至少为(　　) A.GMm0(－) B．GMm0(－) C.GMm0(－) D．2GMm0(－) 答案　A 解析　空间站紧急避碰的过程可简化为加速、变轨、再加速的三个阶段；空间站从轨道半径r1变轨到半径r2的过程， 根据动能定理有W＋W引力＝ΔEk 依题意可得引力做功W引力＝G－G 万有引力提供空间站在圆形轨道上做匀速圆周运动的向心力， 由牛顿第二定律有G＝m0 空间站在轨道上运动的动能为Ek＝G 动能的变化量ΔEk＝G－G 联立解得W＝(－)，故选A。 1.(2023·江苏连云港市模拟)如图所示，螺旋测微器旋钮转动一周，旋钮同时沿着轴线方向前进或后退一个螺距的距离。旋钮上“0”刻线处A点的旋转半径约为5.0 mm，内部螺纹的螺距x＝0.5 mm。若匀速转动旋钮，则A点绕轴线转动的线速度和沿轴线移动的速度大小之比约为(　　) A．10∶1 B．10π∶1 C．20π∶1 D．20∶1 答案　C 解析　旋动旋钮一圈，测微螺杆便沿着旋转轴线方向前进或后退一个螺距的距离，A点做圆周运动的线速度为vA1＝，A点水平移动的速度为vA2＝，代入数据得＝，故选C。 2.(2023·江苏省南京师范大学附属中学一模)已知在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的卫星A，对地球赤道覆盖的最大张角α＝60°，赤道上有一个卫星监测站B(图中未画出)。设地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，那么监测站B能连续监测到卫星A的最长时间为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设地球质量为M，卫星A的质量为m，根据万有引力提供向心力，有 G＝mr 由题图可知卫星A的轨道半径为r＝2R 在地球表面根据万有引力等于重力G＝mg 联立解得T′＝4π 如图所示，卫星A的通信信号视为沿直线传播，由于地球遮挡，使卫星A和地面监测站B不能一直保持直接通信，也就监测不到，当卫星A与监测站B的连线与赤道相切时即将离开可监测范围。设无遮挡时间为t，则它们转过的角度之差最多为2θ时就不能通信，根据几何关系可得cos θ＝＝＝ 则有t－t＝2θ 联立以上解得t＝ 故C正确，A、B、D错误。 专题强化练 [保分基础练] 1．(2023·江苏卷·4)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是(　　) A．质量 B．向心力大小 C．向心加速度大小 D．受到地球的万有引力大小 答案　C 解析　根据G＝ma，可得a＝，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度相同；因该卫星的质量与月球质量不同，则向心力大小以及受地球的万有引力大小均不相同，故选C。 2．如图甲所示是古代用牛车灌溉时的场景，其简化图如图乙所示，已知A、B、C三个圆的半径分别为rA、rB、rC，C每转一圈能将8个相同竹筒中的水(每个竹筒中水的质量均为m)灌溉到农田中，已知牛每分钟牵引中柱转动n圈，则一个小时内该牛车对农田灌溉水的质量为(　　) A.m B.m C.m D.m 答案　A 解析　根据题图乙可知，中柱和A的转速相同，有 vA＝＝ A和B边缘的线速度大小相等，有vA＝vB B和C的角速度相同，则有ωB＝ωC 则C的转速为nC＝＝ r/s 则一个小时内牛车对农田灌溉水的质量为 m总＝3 600×8mnC＝m，故选A。 3.如图所示，某同学在绳子的一端拴一个小沙袋，另一端握在手中，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做圆周运动，以感受向心力的大小，则(　　) A．为使感受到的力等于沙袋的向心力，活动中可以使绳子保持水平 B．为使感受到的力近似等于沙袋的向心力，应使沙袋的转速大一些 C．被甩动的绳子越长，沙袋的向心力越大 D．被甩动的绳子越长，沙袋的向心力越小 答案　B 解析　沙袋在水平面内做圆周运动，分析可知，沙袋做圆周运动的向心力由沙袋自身的重力和绳子对沙袋的拉力这两个力的合力提供，受力分析如图所示，始终有绳子拉力在竖直方向的分力大小等于重力，方向相反，因此，活动中绳子不可能保持水平，故A错误；设绳子与水平面的夹角为θ，绳长为l，则有＝mω2lcos θ，而绳子的拉力FT＝，为使感受到的力近似等于沙袋的向心力，则要使tan θ近似等于sin θ，那么绳子与水平方向的夹角就要很小，而由受力分析可得mg＝mω2lsin θ，可知，θ减小，lsin θ即减小，实际上lsin θ表示绳子在手部的悬点距小球做圆周运动所在平面的距离，因此必须增大转速才能使感受到的力近似等于沙袋的向心力，故B正确；沙袋的向心力Fn＝＝mω2lcos θ，可知，沙袋的向心力不仅仅只跟甩动的绳子有关，假若增大绳长的同时，减小转动的角速度，则沙袋的向心力可能不变，也可能减小，故C、D错误。 4.(2023·江苏省苏锡常镇四市一模)2021年2月，天问一号火星探测器被火星捕获，经过一系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，为着陆火星做准备。如图所示，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线每秒扫过的面积，下列说法正确的是(　　) A．图中两阴影部分的面积相等 B．探测器从“调相轨道”进入“停泊轨道”周期变大 C．探测器从“调相轨道”进入“停泊轨道”机械能变小 D．探测器在P点的加速度小于在N点的加速度 答案　C 解析　根据开普勒第二定律可知，探测器绕火星运行时在同一轨道上与火星的连线每秒扫过的面积相等，但在不同轨道上与火星的连线每秒扫过的面积不相等，故A错误；根据开普勒第三定律可知，探测器在“停泊轨道”上的运行周期比在“调相轨道”上小，故B错误；探测器从“调相轨道”进入“停泊轨道”需在P点减速，做近心运动，机械能变小，故C正确；根据牛顿第二定律，＝ma，可知探测器在P点的加速度比在N点大，故D错误。 5.(2023·江苏盐城市三模)宇宙中有两颗相距很远的行星A和B，质量分别为mA、mB，半径分别为RA、RB，第一宇宙速度分别为vA、vB，两颗行星周围卫星的轨道半径r的三次方与运行周期T的平方的关系如图所示，T0为卫星环绕行星表面运行的周期。下列关系式正确的是(　　) A．mA<mB B．mA＝mB C．vA＝vB D．vA>vB 答案　D 解析　根据万有引力提供向心力可知G＝m，对于环绕行星A表面运行的卫星，有T02＝，对于环绕行星B表面运行的卫星，有T02＝，联立解得＝，由题图可知RA3>RB3，故mA>mB，A、B错误；行星近地卫星的线速度即第一宇宙速度为v＝，由题图可知RA3>RB3，故vA>vB，C错误，D正确。 6.(2023·辽宁卷·7)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为(　　) A．k3()2 B．k3()2 C.()2 D.()2 答案　D 解析　设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据G＝mr，可得G＝m月r1，G＝m地r2，其中＝＝，ρ＝，联立可得＝()2，故选D。 7.双星系统由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的大小远小于两恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两恒星A、B在相互引力的作用下，围绕其连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。A、B质量分别为m1、m2，下列关于双星系统说法正确的是(　　) A．A、B所受万有引力之比为m1∶m2 B．A、B系统的总动量始终为0 C．A、B做圆周运动的转速之比为m2∶m1 D．A、B做圆周运动的动能之比为m1∶m2 答案　B 解析　A、B所受万有引力大小相等，故A错误；由于双星角速度相同，根据ω＝2πn可知A、B转速相同，故C错误；A、B的角速度相同，根据F＝G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，解得＝，根据v＝ωr可知＝＝，由于A、B的速度方向相反，故A、B系统的总动量为p＝m1v1－m2v2＝0，故B正确；A、B做圆周运动的动能之比为＝＝＝＝，故D错误。 [争分提能练] 8.(2023·江苏镇江高三学情调查考试)如图所示，轻弹簧的一端固定在光滑杆下端的O′点，另一端拴接一可视为质点的小球，现使整个装置环绕竖直轴OO′匀速转动，以角速度ω0稳定转动时，小球位于A点，轻弹簧恰处于原长状态，设弹簧始终处于弹性限度内，则下列说法正确的是(　　) A．选用不同质量的小球，ω0的大小不同 B．角速度由ω0逐渐增大，杆与小球间的作用力大小可能不变 C．角速度由ω0逐渐增大，小球将沿杆向上移动 D．若解除小球与弹簧的拴接，装置以略大于ω0的角速度匀速转动时，小球将在A点上方某位置随杆一起转动 答案　C 解析　设杆与竖直方向夹角为θ，弹簧原长为L0，当角速度为ω0时，轻弹簧处于原长状态；以小球为研究对象，根据牛顿第二定律可得＝mω02L0sin θ，可得ω0＝，可知选用不同质量的小球，ω0的大小相同，故A错误；角速度由ω0逐渐增大，小球原来受到的合力不足以提供所需的向心力，小球做圆周运动的半径逐渐增大，小球将沿杆向上移动，弹簧的伸长量逐渐增大，弹簧弹力逐渐增大，竖直方向根据受力平衡可得F杆sin θ＝mg＋ F弹cos θ，可知杆对小球的作用力逐渐增大，故B错误，C正确；若解除小球与弹簧的拴接，由于小球只受重力和杆的弹力作用，且杆的弹力方向保持不变，则装置以略大于ω0的角速度匀速转动时，重力和杆弹力的合力将不足以提供小球所需的向心力，小球将一直沿杆向上移动，不会在A点上方某位置随杆一起转动，故D错误。 9.如图所示，半径分别为rA、rB的两圆盘水平放置，圆盘的边缘紧密接触，当两圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动时，圆盘的边缘不打滑，质量分别为mA、mB的物块A、B(均视为质点)分别放置在两圆盘的边沿，与圆盘间的动摩擦因数分别为μA、μB，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现让圆盘绕过圆心的竖直轴转动起来，A比B先滑动的条件是(　　) A．μArA<μBrB B．μArB<μBrA C.> D.< 答案　A 解析　由牛顿第二定律与圆周运动规律得，当A刚要相对圆盘滑动时μAmAg＝，解得vA＝，当B刚要相对圆盘滑动时μBmBg＝，解得vB＝，当A比B先滑动时，则有vA<vB，即<，化简可得μArA<μBrB，故选A。 10.2022年我国完成了空间站在轨建造，空间站在轨道上运行时，受到稀薄大气作用，轨道高度会逐渐下降，空间站需要不定期加速以维持轨道高度。若某时刻空间站的轨道高度为h，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，图示为空间站示意图，各个方向均安装有发动机。变轨时可短时间内启动后方发动机向后喷气，该过程空间站速度的变化量为喷气前速度的k倍；也可短时间内启动下方发动机向下喷气。若两次喷气结束后空间站的运动轨道(圆形)相同，则向下喷气过程空间站的速度变化量的大小为(　　) A．R B．kR C．R D．R 答案　C 解析　空间站在轨道上运行时，由万有引力提供向心力，有＝m，在地球表面的物体受到的重力近似等于物体与地球间的万有引力，有＝m0g，可得v＝R，向后喷气后空间站的速度大小为v1＝v＋kv＝(k＋1)v。向下喷气时，空间站的速度变化量向上，设变化后的速度为v2，有v22＝v2＋(Δv)2，又两次喷气结束后空间站的运动轨道相同，结合变轨知识可知，两种变轨方式变轨后空间站的速度相同，解得Δv＝v＝R，C正确。 11．(2023·江苏南通市适应性考试)航天员从空间站上释放了一颗质量为m的探测卫星，该卫星通过一条柔软的细轻绳与空间站连接，稳定时卫星始终在空间站的正下方，到空间站的距离为l，已知空间站绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，在高品质的照片上，可以看清地球表面不动物体的线度为曝光时间内空间站相对地球的位移，忽略地球的自转。 (1)忽略卫星拉力对空间站轨道的影响及卫星与空间站的引力，求卫星所受轻绳的拉力大小F； (2)拍照的曝光时间为Δt(很短)，求从空间站上拍的照片可以看清的地球表面不动物体的线度d。 答案　(1)mgR2[－]　(2)Δt 解析　(1)探测卫星随空间站绕地球做匀速圆周运动，具有相同的周期T，则有 －F＝m(r－l) 设空间站的质量为m′，有＝m′r 对地球表面的物体有＝m0g 联立解得F＝mgR2[－] (2)根据万有引力提供向心力有＝m′ 依题意，有d＝Δl＝vΔt 联立可得d＝Δt [尖子生选练] 12.如图所示，内壁光滑、底面半径为R、高度未知的圆筒竖直放置，圆筒下端到地面的距离为R，已知A、A1、P点在同一竖直面内，P、A两点间水平距离为2R、竖直距离为R。A1与A是圆筒两底面与同一竖直线的交点，A1B1在圆筒下底面同一直径的两端。从P点以一定初速度沿水平方向抛出一质量为m的小球，小球恰从圆筒上端A点进入，之后从B1点射出圆筒。不计空气阻力，重力加速度为g。求： (1)小球运动到A点时的速度； (2)小球在圆筒内运动时对筒壁的作用力大小； (3)求小球从B1点射出时水平射程的最大值。 答案　(1)2，与竖直方向成45°角　(2)2mg　(3)[－(2＋π)]R 解析　(1)小球从P点到A点的过程， 在竖直方向有R＝gt12， 在水平方向有2R＝v0t1， 可得v0＝，vA＝＝2，与竖直方向成45°角。 (2)进入圆筒后小球在水平面内做匀速圆周运动，筒壁对小球的作用力提供小球做圆周运动所需的向心力，有FN＝＝2mg，则小球在圆筒内运动时对筒壁的作用力大小为2mg。 (3)小球从A点进入光滑圆筒后， 在竖直方向做匀加速直线运动，在水平方向上做匀速圆周运动 小球在水平面内做匀速圆周运动的周期 T＝＝π， 要使小球从B1点射出， 可知小球在圆筒内运动的时间应满足 t2＝(n＋)T，其中n＝0,1,2,3，… 小球从B1点射出时，水平方向的速度为v0， 竖直方向的速度大小为 vy＝vAy＋gt2＝＋π， 结合匀变速运动规律可知，当n＝0时，小球离开圆筒后在空中运动的时间最长，此时小球离开圆筒时竖直方向的速度大小为vy′＝(1＋π)， 小球从离开圆筒到落到地面的过程， 有R＝vy′t3＋gt32， 小球从B1点射出后的最大水平射程为 x3＝v0t3＝[－(2＋π)]R。 学科网（北京）股份有限公司 $$