精品解析：安徽省淮北市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期学校自测评价 九年级数学试题卷 注意事项：本试卷共150分，考试时间120分钟；请将本试卷答案写在答题卷上指定位置，否则不计分． 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分．每道题只有一个正确答案．） 1. 下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C， 故选：C． 2. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的识别．解题的关键是掌握：形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中是自变量，、、分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．据此解答即可． 【详解】解：A．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； B．该函数是二次函数，故此选项符合题意； C．若，则该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； D．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 如果，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等式的性质，等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故选：A． 4. 下列命题中是真命题的是(　　) A. 有一个角相等的直角三角形都相似 B. 有一个角相等的等腰三角形都相似 C. 有一个角是的等腰三角形都相似 D. 两边成比例且有一角相等的三角形都相似 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟练的运用相似三角形的判定方法证明三角形相似是解本题的关键．根据有两个角分别相等的两个三角形相似逐一分析即可． 【详解】解：A． 有一个角（直角除外）相等的直角三角形都相似，故原命题错误； B． 顶角相等的等腰三角形都相似，故原命题错误； C． 有一个角是的等腰三角形都相似，正确； D． 两边成比例且夹角相等三角形都相似，故原命题错误． 故选C． 5. 如图，已知，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，先由勾股定理解得AC的长，再根据锐角三角函数的定义逐项分析解题即可． 【详解】在中，由勾股定理得， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理、正弦、余弦、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6. 如图，在中，，于点，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，先利用勾股定理求出，再证明，利用三角形相似的性质即可求出的长． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 7. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次函数的对称轴为，，则的对称点为，当时，y随x的增大而增大，根据，即可得． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为，， ∴的对称点为，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 8. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，当水面上升时，水面的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，然后求出函数的解析式，然后令求出相应的x的值，则水面的宽就是此时两个x的差的绝对值．本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，根据函数值求出相应的x的值． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为：， ∵函数图象过点， ∴， 得a， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， 解得，，， ∴水面的宽度是：． 故选：C． 9. 如图，正比例函数y=kx与反比例函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：若k>0时， 此时k−1>−1， 正比例函数图象必定过一、三象限， 当−1<k−1<0时， ∴反比例函数必定经过二、四象限，故C的图象有可能， 当k−1>0时， ∴反比例函数y=k−1x必定经过一、三象限，故B的图象有可能， 若k<0时， 此时k−1<−1， 正比例函数图象必定过二、四象限， ∴反比例函数必定经过二、四象限，故A的图象有可能， 故选D. 10. 如图所示是二次函数的部分图像，该函数图像的对称轴是直线，图像与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③；④方程一定有两个不相等的实数根；其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据对称轴即可判断①，根据函数图像可知，方程一定有一个根在和之间，根据二次函数的对称性即可判断②；由图像可知，时，，再由图像与轴交点求出即可判段③；抛物线与直线有两个交点，即可判断④． 【详解】解：该函数图象的对称轴是直线，故， ， 故①正确； 根据函数图像可知，方程一定有一个根在和之间， 根据二次函数的对称性可知，和对称，和对称， 故方程一定有一个根在和之间； 故②错误； 由图像可知，时，， 即， 由图像与轴交点得到， 故 ； 故③错误； 抛物线与直线有两个交点， 故方程一定有两个不相等的实数根； 故④正确； 故选：C 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 点B把线段分成两部分，如果，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，公式法解一元二次方程．设，由题意得，，由得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设， ∵，且， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ， ∴(负值舍去)， ∴， 故答案为：． 12. 若角是直角三角形的两个锐角，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，利用一个角的正弦等于它余角的余弦是解题关键，还要熟记特殊角三角函数值．根据一个角的正弦等于它余角的余弦，特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为： 13. 已知点，分别在反比例函数，的图像上，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，根据题意，过点作轴于点，过点作轴于点，根据相似三角形的判定和性质，可得，推出，根据，得到，根据反比例函数的几何意义，可得，解出，即可． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点，分别在反比例函数，的图像上， ∴，， ∴， ∴， ∵点在第一象限， ∴． 故答案为：． 14. 如图，菱形的边长为，，点是边上的动点，，交边于点，过点作的平行线交于点． （）若，则______． （）设，则的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）由菱形的性质可得为等边三角形，进而可证明，得到，得到，过点作于，利用三角函数可得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解； （）证明，得到，即得，过点作于，利用三角函数可得，再证明是等边三角形，得到，进而得到，最后根据二次函数的性质解答即可求解． 【详解】解：（）∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵菱形的边长为， ∴， ∴， 过点作于，则， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作于，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，二次函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，含特殊角的三角函数的混合运算，先通分再运算除法，化简得，因为，所以，代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 则 ， 原式． 16. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长． 【答案】10寸 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合为的直径，弦于E，寸，则，根据勾股定理得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：设直径的长为寸， 则半径寸， 为的直径，弦于E，寸， （寸）， 连接OA，则寸， 根据勾股定理得， ∴， 解得， （寸）． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）． （1）画出向左平移3个单位后得到的，并写出点的坐标； （2）以点O为位似中心，在第三象限画出，使与位似，且位似比为，直接写出的面积． 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的平移作图和位似变换作图．正确得出对应点位置是解题关键． （1）将的三个顶点A、B、C依次向左平移3个单位，即可得、、，再顺次连接即可得，写出点的坐标即可； （2）将三个顶点A、B、C 的横纵坐标分别乘以 即可得到、、，再顺次连接即可得，利用割补法解即可求出的面积． 【小问1详解】 解：平移后图形如下： ； 【小问2详解】 如下图： ． 18. 如图，已知反比例函数与一次函数的图像交于点和点． （1）分别求出两个函数的解析式； （2）结合图形，直接写出满足不等式的x的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式、反比例函数和一次函数的综合、一次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据题意先将点代入求出反比例函数解析式，再将代入求出的反比例函数解析式中求出m，然后利用待定系数法求解即可； （2）通过观察图象即可解答． 【小问1详解】 解：把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，解得，则， 把代入得，解得， ∴直线解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 根据函数图象可得不等式的解集为：或， ∴不等式的x的取值范围为或． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．当，时，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意证明，得到，即可求出答案． 【详解】解：四边形为菱形 ， ． 20. 如图，某考察船在某海域进行科考活动，在点A测得小岛C在它东北方向上，它沿南偏东方向航行了4海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东方向上． （1）求的度数； （2）求点B与小岛C之间的距离．（精确到0.1海里） （参考数据：） 【答案】（1） （2）海里 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、方向角、三角形内角和定理等知识点，作垂线构造直角三角形、利用直角三角形的边角间关系求解是解决本题的关键． （1）由方位角结合平行线的性质、角的和差关系及三角形的内角和定理可得的度数即可． （2）如图，过点A作，垂足为M，构造和，利用直角三角形的边角关系，可求出线段的长，再利用线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：如图， 由题意知：海里，， ， ， ， ∴． ， ． ． 小问2详解】 解：如图，过点A作，垂足为M． 在中， 海里，， ∴， 海里，海里． 在中，， （海里）， （海里）． 答：考察船在点B处与小岛C之间的距离为10.7海里． 六、（本题满分12分） 21. 超市购进一批某商品，成本为6元/件，根据市场调研发现，这种商品在未来10天的日售价t（元/件）与时间第x天之间满足函数关系式（，x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量y（件）与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值． 时间第x天 … 3 5 7 … 销售量y/件 … 32 30 28 … （1）求y与x的函数表达式； （2）在这10天中，哪一天销售这种商品的利润最大，最大销售利润为多少元？ 【答案】（1）（，x为整数） （2）第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用，熟练掌握待定系数法求一次逊解析式，二次函数的性质，是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设销售这种水果的日利润为w元，得出，再结合，x为整数，利用二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设每天销售量y与时间第x天之间满足的一次函数关系式为， 根据题意，得：， 解得， （，x为整数）； 【小问2详解】 设销售这种水果的日利润为w元， 则 ， ，x为整数， 当或时，w取得最大值，最大值为378， 答：在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元 七、（本题满分12分） 22. （1）基础知识：如图，在矩形中，，点E、F、G、H分别在矩形的边上，且，求证：． （2）类比探究：如图，在四边形中，，点E、F分别在边上，且，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）过点D作交于点M，过点A作交于点N，则四边形为平行四边形，则，同理，再证明，利用对应边成比例求解即可； （2）过点D作交的延长线于点G，过点C作于点H．则四边形为矩形，由（1）得：，可得，那么，由勾股定理得，，设，同理可得：，则，解得，即可求解． 【详解】（1）证明：过点D作交于点M，过点A作交于点N， ∵四边形为矩形， ∴， ， 四边形为平行四边形， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ； （2）解：过点D作交的延长线于点G，过点C作于点H． ， ， 又， ∴， 四边形为矩形， ∴ 由（1）得： ， ， ， ∵， ∴， ∴, ， ， ∴由勾股定理得，， 设 同理可得： 解得， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点，正确构造相似三角形是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 已知，如图抛物线（）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．且． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段下方抛物线上的动点，求三角形面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴l上，是否存在一个动点M，使得将线段绕点M旋转后，点C仍落在抛物线上？若有，请直接写出M点坐标；若没有，简要说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，M点坐标是或，， 【解析】 【分析】（1）对于二次函数，令，则，得到，，进而求得，，，，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式． （2）过点D作轴，交于点E，求出直线的解析式为，设，，则，根据表示出的面积，根据二次函数的性质即可解答． （3）抛物线的对称轴为，设点M的坐标为．分两种情况讨论：①线段绕点M逆时针旋转后，点C落在抛物线上点处，过点C作于点P，过点作于点Q，证明，得到，，求出点坐标为，根据点在抛物线上，即可求解．②线段绕点M顺时针旋转后，点C落在抛物线上点处，同①方法求解即可． 【小问1详解】 解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：过点D作轴，交于点E， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，为． 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为． ∴设点M的坐标为 ①若线段绕点M逆时针旋转后，点C落在抛物线上点处， 过点C作于点P，过点作于点Q，则， 由旋转可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ∴，， ∴点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得，， ∴点M的坐标为或． ②若线段绕点M顺时针旋转后，点C落在抛物线上点处， 过点C作于点G，过点作于点H， 由①同理可得， ∴，． ∵，， ∴，， ∴，， ∴点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得，， ∴点M的坐标为或． 综上所述，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，坐标与图形，三角形全等的判定及性质，旋转的性质等，综合运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期学校自测评价 九年级数学试题卷 注意事项：本试卷共150分，考试时间120分钟；请将本试卷答案写在答题卷上指定位置，否则不计分． 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分．每道题只有一个正确答案．） 1. 下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中是真命题的是(　　) A. 有一个角相等的直角三角形都相似 B. 有一个角相等的等腰三角形都相似 C. 有一个角是等腰三角形都相似 D. 两边成比例且有一角相等的三角形都相似 5. 如图，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，于点，，，则的长为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，当水面上升时，水面的宽度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正比例函数y=kx与反比例函数图象不可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示是二次函数的部分图像，该函数图像的对称轴是直线，图像与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③；④方程一定有两个不相等的实数根；其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④ 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 点B把线段分成两部分，如果，那么_________． 12. 若角是直角三角形的两个锐角，则的值为________． 13. 已知点，分别在反比例函数，的图像上，，若，则________． 14. 如图，菱形的边长为，，点是边上的动点，，交边于点，过点作的平行线交于点． （）若，则______． （）设，则的最大值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）． （1）画出向左平移3个单位后得到的，并写出点的坐标； （2）以点O为位似中心，在第三象限画出，使与位似，且位似比为，直接写出的面积． 18. 如图，已知反比例函数与一次函数的图像交于点和点． （1）分别求出两个函数的解析式； （2）结合图形，直接写出满足不等式的x的取值范围． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．当，时，求的长． 20. 如图，某考察船在某海域进行科考活动，在点A测得小岛C在它东北方向上，它沿南偏东方向航行了4海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东方向上． （1）求的度数； （2）求点B与小岛C之间的距离．（精确到0.1海里） （参考数据：） 六、（本题满分12分） 21. 超市购进一批某商品，成本为6元/件，根据市场调研发现，这种商品在未来10天的日售价t（元/件）与时间第x天之间满足函数关系式（，x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量y（件）与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值． 时间第x天 … 3 5 7 … 销售量y/件 … 32 30 28 … （1）求y与x的函数表达式； （2）在这10天中，哪一天销售这种商品的利润最大，最大销售利润为多少元？ 七、（本题满分12分） 22. （1）基础知识：如图，在矩形中，，点E、F、G、H分别在矩形的边上，且，求证：． （2）类比探究：如图，在四边形中，，点E、F分别在边上，且，求长． 八、（本题满分14分） 23. 已知，如图抛物线（）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．且． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段下方抛物线上的动点，求三角形面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴l上，是否存在一个动点M，使得将线段绕点M旋转后，点C仍落在抛物线上？若有，请直接写出M点坐标；若没有，简要说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$