精品解析：广东省广州市三校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题

2024-2025学年上学期期末三校联考 高二数学 命题学校：广州大学附属中学 命题人：沈云 审题人：韩六霞 本试卷共4页，共19小题，满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点和复数对应的点关于实轴对称，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对称性确定，结合乘法运算即可求解. 【详解】因为复数对应的点和复数对应的点关于实轴对称， 所以， 所以 故选：C 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦公式，化简求的值，再根据二倍角的余弦公式，并用正切表示，即可求解. 【详解】由条件可知，， 即，得， 所以. 故选：D 3. 已知数列满足，的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果. 【详解】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 4. 设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，结合正切定义以及可得，进一步即可求解. 【详解】如图所示： 为准线与轴的交点， 因为，且，所以， 因为，所以， 而，所以， 所以. 故选：A. 5. 已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，进而根据题意得在上单调递增，且，进而得，再解不等式即可得答案. 【详解】， 因为，所以 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，即. 因为， 所以，函数在上单调增， 等价于或， 所以，解不等式得或，所以，的取值范围是. 故选：C 6. 定义在上的函数满足，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的周期性，再利用性质即可求出函数值. 【详解】当时，，则， 即，于是， 所以. 故选：A. 7. 已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点，即可求出，设的中点为，则，根据数量积的几何意义得到，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 直线，即，令，解得， 所以直线恒过点，又， 所以当时，弦的长度取得最小值，即， 设的中点为，则， 所以.    故选：C 8. 已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式表示，结合基本不等式求出最大值，解方程求出离心率. 【详解】如图，直线与轴交于点，设，则. 因为， 所以, . 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，整理得， 则，解得. 故选：B 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点与点关于点对称.若，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则这组数满足（ ） A. 平均数为 B. 中位数为 C. 方差为 D. 极差为 【答案】AD 【解析】 分析】首先由条件确定，，再结合平均数，中位数，方差，极差公式，即可求解. 【详解】由条件可知，，，， A.由题意可知，数据的平均数为，所以数据的平均数为，故A正确； B.设数据按从小到大排列，中位数，则数据按从小到大排列为，中位数为，故B错误； C.由，且数据的方差为，所以数据的方差为，故C错误； D.由B可知，数据的极差为，故D正确. 故选：AD 10. 在矩形中，，点是边的中点，将沿翻折，直至点落在边上.当翻折到的位置时，连结，，则（ ） A. 四棱锥体积的最大值为 B. 存在某一翻折位置，使得 C. 为的中点，当时，二面角的余弦值为 D. 为的中点，则的长为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】因为梯形面积为定值，只需分析何时高最大，就可求出四棱锥体积的最大值，判断A的真假；反证法可知B不成立；确定二面角的平面角，解三角形确定二面角的三角函数值，判断C的真假；分析折叠过程中的不变量，判断D的真假. 【详解】对于A，当平面平面时，四棱锥的体积最大，此时四棱锥的高为点到的距离，直角梯形的面积为，四棱锥体积的最大值为，所以A正确； 对于B，若，又，则平面，即，矛盾，所以B错误； 对于C，取中点，连接，，如图： 由题意，，，所以为二面角的平面角，在中，，，，所以C正确； 对于D，取中点，连接，，，则，， 且四边形为平行四边形，，，所以，即，，不变，由余弦定理知定值，所以D正确. 故选：ACD 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点的坐标，即得；对于C，将直点线与抛物线方程联立求出的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断. 【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为, 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故A正确； 对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得， 由图象对称性，可得,故，即B正确； 对于C， 如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点, 由解得，由解得，, 即得, 则弦长为：， 由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0， 即在第一象限部分满足，不妨设，则，且， 代入得，，（） 由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即C错误； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值. 如图， 在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行， 由可得切点坐标为,因,则点到直线的距离为， 于是,由图知，半个花瓣的面积必大于， 故原图中的阴影部分面积必大于，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查曲线与方程的联系的应用问题，属于难题. 解题思路是，理解题意，结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数的图象单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 若直线与直线平行，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两条直线平行的系数关系列方程组计算求参即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以， 所以，且且 所以. 故答案为：. 13. 已知用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，则总样本的方差是________. 【答案】148 【解析】 【分析】先分别求出男生及女生的平均数,再应用分层抽样的方差公式计算方差即可. 【详解】设男生成绩样本平均数为，方差为， 女生成绩样本平均数，方差为，总样本的平均数为，方差为， . . 所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148. 故答案为：148. 14. 在直角坐标系中，是椭圆的左焦点，，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出图，连接，则由椭圆的对称性易得，，所以，所以.由相似三角形的性质求解即可. 【详解】 如图，连接，则由椭圆的对称性易得，， 所以，所以 因为，所以， 因为，所以， 从而有， 又因为是线段的中点， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且满足 （1）求数列的通项公式 （2）若，求数列前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系求通项； （2）由（1）得到的通项，列式运算求得. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 当，不成立．所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， . 16. 如图，在平面四边形中，. （1）证明：； （2）记与的面积分别为和，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）14 【解析】 【分析】（1）分别在和中，利用余弦定理表示BD，然后联立求解； （2）结合（1）得到 ，利用二次函数的性质求解. 【小问1详解】 证明：在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， ∴， 所以， 即. 【小问2详解】 ， ， 则 由（1）知：， 代入上式得， ， ， ∴当时，取到最大值14. 17. 已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为CD的中点，． （1）证明：平面平面； （2）若，PC与平面所成的角为，试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得平面PCD？若存在，求出点N到直线PD的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明，结合题目所给已知，由此证得平面，进而证得平面平面. （2）存在.通过（1）的结论，利用面面垂直的性质定理建立空间直角坐标系，假设存在符合题意的点，使平面，利用向量线性运算设出点坐标，结合求得点坐标，由此证得存在一点，使得平面.利用点到直线的向量求法，求得点到直线的距离. 【小问1详解】 由四边形是直角梯形，，，， 可得，，从而是等边三角形，，平分． 为的中点，，， 又，，平面，平面 平面，平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 在平面内作于，连接，平面， 又平面，平面平面． 因为平面平面，平面，平面 为与平面所成的角，则， 由题意得 ，，为的中点，． 以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 假设在侧面内存在点，使得平面成立， 设， 由题意得， ，，， 由，得， 解得，满足题意，，， 取，，， ，， ， 求出点N到直线PD的距离为：. 所以N点直线PD的距离为. 18. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分． ①求的取值范围； ②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）①；②． 【解析】 【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程，方法2，利用定义整理得，再根据条件列式求得椭圆方程；方法3，利用定义进行整理，由为常数，求得系数，得到椭圆方程；（2）①首先由面积比值求得，令，则，利用坐标表示向量，求得，再求范围；②由阿波罗尼斯圆定义知，，，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，由几何关系列式得，求得，再根据，求得，即可计算直线方程. 【详解】（1）方法（1）特殊值法，令，，且，解得 ∴，，椭圆的方程为 方法（2）设，由题意（常数）， 整理得：， 故，又，解得：，． ∴，椭圆的方程为． 方法（3）设，则． 由题意 ∵为常数，∴，又，解得：，，故 ∴椭圆的方程为 （2）①由，又， ∴（或由角平分线定理得） 令，则，设，则有， 又直线的斜率，则，代入得： ，即， ∵，∴． ②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知， ，，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为， 则有，即，解得：． 又，故，∴ 又， ∴， 解得：，， ∴，∴直线的方程为． 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系，以及外接圆，新定义的综合应用，属于难题，本题的关键是读懂题意，并根据几何关系进行消参，转化与化归，是本题的关键也是难点. 19. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数“H函数”． （1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； （2）若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 【答案】（1）是“H函数”， 不是“H函数”，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“H函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“H函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【小问1详解】 对于任意，，， 所以， 即成立， 故是“H函数”； 对于， 取，则，． 因为，故不“H函数” 【小问2详解】 因为函数是“H函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故，则， 则，即，即实数a的取值范围为 【小问3详解】 由函数为“H函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数k与正数s， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上学期期末三校联考 高二数学 命题学校：广州大学附属中学 命题人：沈云 审题人：韩六霞 本试卷共4页，共19小题，满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点和复数对应的点关于实轴对称，则（ ） A. B. C. 5 D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列满足，的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 4. 设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的函数满足，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 已知直线与圆相交于两点，则最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8. 已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点与点关于点对称.若，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则这组数满足（ ） A. 平均数 B. 中位数为 C. 方差为 D. 极差为 10. 在矩形中，，点是边的中点，将沿翻折，直至点落在边上.当翻折到的位置时，连结，，则（ ） A. 四棱锥体积最大值为 B. 存在某一翻折位置，使得 C. 为的中点，当时，二面角的余弦值为 D. 为的中点，则的长为定值 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 若直线与直线平行，则实数__________. 13. 已知用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，则总样本的方差是________. 14. 在直角坐标系中，是椭圆的左焦点，，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且满足 （1）求数列的通项公式 （2）若，求数列前项和 16. 如图，在平面四边形中，. （1）证明：； （2）记与的面积分别为和，求的最大值. 17. 已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为CD的中点，． （1）证明：平面平面； （2）若，PC与平面所成的角为，试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得平面PCD？若存在，求出点N到直线PD的距离；若不存在，请说明理由． 18. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分． ①求取值范围； ②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程． 19. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． （1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； （2）若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$