精品解析：新疆博尔塔拉蒙古自治州博乐市高级中学（华中师大一附中博乐分校）等校2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题

高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4，本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若数列为等差数列，且，则（ ） A 66 B. 22 C. 11 D. 33 2. 已知直线l过点，且与直线平行，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（ ） A. 26 B. 10 C. 4 D. 14 4. 已知圆关于直线对称，则（ ） A B. 3 C. 1 D. 5. 如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 6. 若双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（ ） A 8 B. 12 C. 10 D. 16 8. 由曲线围成图形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，下列结论正确的有（ ） A. 直线l恒过点 B. 当时，直线l的倾斜角为 C. 直线l与直线垂直 D. 当时，直线l在两坐标轴上的截距相等 10. 如图，在四棱台中，上底面为边长为2的正方形，下底面为边长为4的正方形，分别为上、下底面的中心，平面，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 若点F在平面内，且，则点F到平面的距离为 11. 已知数列的首项，且满足，则下列命题正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 设，则数列的前n项和小于 D. 若，则满足条件的最大整数n的值为100 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，则_________，_________． 13. 一支车队有辆车，某天下午车队依次出发执行运输任务，第一辆车于时出发，以后每间隔分钟发出一辆车.假设所有的司机都连续开车，并都在时停下来休息，则截止到时，最后一辆车行驶了______小时. 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点A在y轴上，为等边三角形，的延长线与双曲线C交于点B.若，则双曲线C的离心率为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的焦点坐标为． （1）求抛物线C的方程； （2）若斜率为1且过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求． 16. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，F为BC的中点． （1）证明：平面PAF． （2）求平面PAF与平面PBC夹角的余弦值． 17. 已知圆C的圆心在直线上，且经过点和点． （1）求圆C的标准方程； （2）一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆C相切，求反射后的光线所在直线的方程． 18. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 19. 若椭圆，，，为椭圆上异于点，的任一点，且恒成立，则称椭圆为“内含椭圆”.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，四边形的面积为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆为“内含椭圆”，求椭圆的标准方程； （3）若椭圆为“内含椭圆”，为椭圆上一点，，且存在实数，使得，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4，本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若数列为等差数列，且，则（ ） A. 66 B. 22 C. 11 D. 33 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知及等差数列的通项公式有，即可求值. 【详解】若数列的公差为，则，得. 故选：D 2. 已知直线l过点，且与直线平行，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法可求直线l的方程. 【详解】因直线l与直线平行，可设直线l的方程为， 又直线l过点，所以，解得， 所以直线l的方程为. 故选：C. 3. 如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（ ） A. 26 B. 10 C. 4 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再根据椭圆的定义计算求解即可. 【详解】根据题意可得， 椭圆的长轴长为，根据，得. 故选：D. 4. 已知圆关于直线对称，则（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得直线过圆心，求解即可. 【详解】由圆，可得圆心， 因为圆关于直线对称，所以直线过圆心， 所以，解得. 故选：A. 5. 如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，计算可求数量积. 【详解】 . 故选：B. 6. 若双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设有得出参数关系，进而写出双曲线的渐近线方程. 【详解】由题设，则渐近线为. 故选：B 7. 已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 12 C. 10 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出抛物线的准线方程，过点作垂直于准线，交准线于点，根据抛物线的定义得到，从而求出的最小值. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点作垂直于准线，交准线于点，则， 所以，当且仅当、、三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 8. 由曲线围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】讨论分别取正数或负数，得到曲线方程，即可得到曲线所围成的图形，求出其中一种情况的图形的面积，由对称性即可求出整体图形的面积. 【详解】当时，曲线方程为， 即是圆心为，半径的圆，如图， 同理可得，当时，曲线方程为， 即是圆心为，半径的圆， 当时，曲线方程为， 即是圆心为，半径的圆， 当时，曲线方程为， 即是圆心为，半径的圆， 所以曲线围成的图形如图： 所以图象的面积为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分类讨论的正负情况，从而分析得曲线所表示图形，由此得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，下列结论正确的有（ ） A. 直线l恒过点 B. 当时，直线l的倾斜角为 C. 直线l与直线垂直 D. 当时，直线l在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线方程确定所过定点，结合给定参数确定倾斜角、截距判断A、B、D，由直线垂直的判定判断C. 【详解】由，显然直线恒过定点，A对， 当，则直线的斜率为，结合倾斜角的范围，易知倾斜角为，B错， 由与，则，即两直线垂直，C对， 当，则直线可化，易知在轴上截距分别为，D错. 故选：AC 10. 如图，在四棱台中，上底面为边长为2的正方形，下底面为边长为4的正方形，分别为上、下底面的中心，平面，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若点F在平面内，且，则点F到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】过分别作于，可求得判断A；进而可求得坐标判断BC；设，利用，可求得，利用向量法可求点F到平面的距离判断D. 【详解】过分别作于， 因为平面，平面，所以，， 由已知可得四棱台为正四棱台， 又上底面为边长为2的正方形，下底面为边长为4的正方形，， 所以可得，所以，所以，故A正确； 所以，故B正确；，故C错误； 可得，所以，设，所以， 因为，所以，解得， 由题意可知平面，所以平面的一个法向量为， 又， 所以点F到平面的距离为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知数列的首项，且满足，则下列命题正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 设，则数列的前n项和小于 D. 若，则满足条件的最大整数n的值为100 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AB，由已知可得，结合等比数列的定义，即可求解判断；对于C，利用，放缩法可判断；对天D，求根据等比数列的求和公式和常数列的求和公式，求得，根据，即可求解判断. 【详解】对于AB，由题意，数列满足，可得， 可得，即， 又由，所以，所以数列表示首项为，公比为的等比数列. 所以，所以，所以，故AB正确； 对于C，由，可得，所以， 因，所以（等号成立）， 所以，故C正确； 设数列的前项和为，则 ，若，即， 因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数的值为，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：关键在于把已知式取倒数变形为，可得数列是等比数列. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，则_________，_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算法则可求，利用向量线性运算的坐标运算法则求得的坐标，进而求模即可. 【详解】因为，则， 所以， 所以. 故答案为：①；②. 13. 一支车队有辆车，某天下午车队依次出发执行运输任务，第一辆车于时出发，以后每间隔分钟发出一辆车.假设所有的司机都连续开车，并都在时停下来休息，则截止到时，最后一辆车行驶了______小时. 【答案】 【解析】 【分析】计算出最后一辆车出发的时间，即可计算出最后一辆车共行驶的时长. 【详解】因为每间隔分钟小时发出一辆车， 则最后一辆车出发的时间为时， 故最后一辆车行驶了小时. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点A在y轴上，为等边三角形，的延长线与双曲线C交于点B.若，则双曲线C的离心率为__________ 【答案】 【解析】 【分析】写出焦点坐标，从而知道点坐标，由线段关系，借助向量得到点坐标，将点坐标代入双曲线方程，化简后通过解方程求得离心率. 【详解】，， 在等边中，，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以 故答案为： 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，进而转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的焦点坐标为． （1）求抛物线C的方程； （2）若斜率为1且过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据焦点确定抛物线参数，即可得方程； （2）由题意直线，联立抛物线，应用韦达定理及弦长公式求. 【小问1详解】 由题设，则抛物线方程为； 【小问2详解】 由题设，直线，联立抛物线得， 所以，，则. 16. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，F为BC的中点． （1）证明：平面PAF． （2）求平面PAF与平面PBC夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法证明，再由线面垂直的判定定理证结论； （2）应用向量法求面面角的余弦值即可. 【小问1详解】 由平面ABCD，，可构建如下空间直角坐标系， 由，则， 所以，显然， 所以且都在面内，故平面PAF． 【小问2详解】 由（1）知，，则， 若是面面PBC的一个法向量，则， 令，则，又面PAF的一个法向量为， 所以平面PAF与平面PBC夹角的余弦值. 17. 已知圆C的圆心在直线上，且经过点和点． （1）求圆C的标准方程； （2）一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆C相切，求反射后的光线所在直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标，由圆的半径建立方程，解出圆心坐标即圆的半径，写出圆C的标准方程； （2）求出点关于的对称点坐标，设对称后的直线方程，因为直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，解得斜率，从而得到直线方程. 【小问1详解】 设圆心为， 则， 即，解得， ∴， ∴圆C的标准方程：. 【小问2详解】 如图：是点关于的对称点. 显然，当反射后的直线斜率不存在时，反射后的直线与圆不相切， 所以反射后的直线的斜率一定存在， ∴设，即， ∵反射后的直线与圆相切，∴圆心到直线的距离， ∴，整理得， ∴，即，， ∴反射后光线所在直线的方程：或. 18. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式变形为，利用累加法可求得的通项公式； （2）由，利用错位相减法可求. 【小问1详解】 由，可得， 所以，，，， 左右两边分别相加可得，又因为，所以， 又适合上式，所以的通项公式为； 【小问2详解】 数列前前n项和： ， 左右两边同乘以，可得， 两式相减可得 ， 所以. 19. 若椭圆，，，为椭圆上异于点，的任一点，且恒成立，则称椭圆为“内含椭圆”.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，四边形的面积为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆为“内含椭圆”，求椭圆的标准方程； （3）若椭圆为“内含椭圆”，为椭圆上一点，，且存在实数，使得，求的取值范围. 【答案】（1）或. （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据，四边形的面积为4.，列出，求解即可； (2)由(1)可分别讨论两个方程是否符合“内含椭圆”，即是否恒成立； (3)由(2)得：，由题意可知，求函数在上的最值，整理即可得出的取值范围. 【小问1详解】 根据题意可得，即. 因为四边形的面积为，所以. 由，解得或， 所以椭圆的标准方程为或. 【小问2详解】 若椭圆的标准方程为，则，，设椭圆的左顶点为， 则，，，不符合题意，舍去. 若椭圆的标准方程为，则，，设， 则，符合题意. 故椭圆的标准方程为. 【小问3详解】 由(2)得椭圆的方程为.设，则. 若存在实数，使得，则， 得， . 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 则，故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $