精品解析：山东省烟台市2024-2025学年高一上学期期末学业水平诊断数学试题

2024-2025学年山东省烟台市高一上学期期末学业水平诊断数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在角终边上，则下列角中与终边相同的是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.若胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升，则胃酸的pH为（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 为偶函数 D. 是其定义域上的减函数 6. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数，且在上单调递增 B. 为偶函数，且在上单调递减 C. 为奇函数，且在上单调递增 D. 为奇函数，且在上单调递减 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 8. 已知函数，且，则（ ） A. 的定义域为 B. 为偶函数 C. 在上单调递减 D. 的最大值为0 9. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 若在上有3个零点，则 10. 若定义在上函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数是“函数”，则下列说法正确的有（ ） A. 是“函数” B. 是“函数” C. 若“函数”，则 D. 若是“函数”，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 函数的定义域为__________. 12. 某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为__________单位： 13. 已知函数，且下列四个结论：①是的零点，②是的零点，③的零点之积为3，④方程只有一个实根，只有一个结论错误，则错误结论的序号为__________；若方程有三个不等的实根，则实数a的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 化简求值： （1） （2）若，求的值. 15. 已知函数的部分图象如图所示. （1）若，求的值; （2）求方程解. 16. 某企业为了解每月广告投入费用单位：万元与月利润单位：万元关系，统计了前三个月每月广告投入费用x与月利润y的数据，如下表所示： 月份 第一个月 第二个月 第三个月 每月广告投入费用单位：万元 2 4 8 月利润单位：万元 4 8 31 （1）当每月广告投入费用不超过12万元时，x与y之间的关系有两个函数模型与可供选择，利用表中前两个月的数据分别求出两个函数模型的解析式，并根据第三个月的数据，选出更符合实际的函数模型 （2）已知每月广告投入费用超过12万元时，x与y满足关系结合第（1）问的结果，求该企业每月广告投入费用x在什么范围时月利润不少于64万元? 17. 已知函数图象上两条相邻的对称轴之间的距离为 （1）求的单调递增区间; （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，设，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围. 18. 已知函数的定义域为. （1）求a的取值范围; （2）讨论函数的单调性; （3）给定函数，，若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“不动点”;若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“次不动点”.若函数在上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省烟台市高一上学期期末学业水平诊断数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式即可求解. 【详解】， 故选：C. 2. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项. 【详解】，， 且函数的定义域是，定义域内是增函数，也是增函数，所以是增函数，且， 所以函数的零点所在的区间为. 故选：B 【点睛】方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断. 3. 已知点在角终边上，则下列角中与终边相同的是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的定义和诱导公式即可判断. 【详解】由题意，得，， 则与终边相同的是. 故选：B 4. 溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.若胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升，则胃酸的pH为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数运算性质即可求解. 【详解】由题意，得若胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升，则胃酸的pH为： 故选：C. 5. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 为偶函数 D. 是其定义域上的减函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出解析式，然后对选项逐个判断即可. 【详解】设，则，解得，故， 则的定义域为，故A错误； 的值域为，故B错误； ，则为偶函数，故C正确； 在上单调递增，在上单调递减，故D错误. 故选：C. 6. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的图象与性质比较大小和利用幂函数的图象与性质比较大小. 【详解】因为在上为增函数，且， 所以，即，因此 因为，，所以， 而函数在是增函数，因此 因为在上为增函数，且， 所以，即，因此 综上所述， 故选：A. 7. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数，且在上单调递增 B. 为偶函数，且在上单调递减 C. 为奇函数，且在上单调递增 D. 为奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】首先明确函数的定义域，并且利用诱导公式化简解析式，然后利用奇偶性的概念验证奇偶性；再利用函数单调性的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性和不等式的性质即可判断在上的单调性. 【详解】因为的定义域为，并且 ， 又， 所以为偶函数； 设、，并且，则，， 所以，，， 于是， 即，所以在上单调递增，所以A正确，BCD错误. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 8. 已知函数，且，则（ ） A. 的定义域为 B. 为偶函数 C. 在上单调递减 D. 的最大值为0 【答案】AB 【解析】 【分析】选项A根据对数有意义的条件可得；选项B根据偶函数的定义可得；选项C根据复合函数的单调性判断可得；选项D因单调性不确定，故不确定最值情况. 【详解】函数，且， 解得， 故函数的定义域为， 又， 为偶函数. ， 不知道还是，故不能判断的单调性和最值情况， 综上，AB正确，CD错误. 故选：AB 9. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 若在上有3个零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】因为函数的图象关于直线对称，可求得，对于，故选项A正确；再根据正弦型函数的图像及性质逐一判断B、C、D选项即可. 【详解】因为的图象关于直线对称，所以，解得， 又，所以，所以，所以的最小正周期，故选项A正确; 因为，所以的图象关于点对称，故选项B正确; 当时，，所以在区间上不单调，故选项C错误; 当时，，因为在上有3个零点，所以，解得，故选项D正确， 故选: 10. 若定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数是“函数”，则下列说法正确的有（ ） A. 是“函数” B. 是“函数” C. 若是“函数”，则 D. 若是“函数”，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题中“函数”的定义，得到函数在上的值域与函数在的值域的关系，且两个值域交集对应区间上函数是单调的.然后利用函数的单调性求值域，对各个选项逐一分析即可. 【详解】设在上的值域为集合S，在上的值域为集合T， 因为对任意，都存在唯一的，使得， 则必须满足 对于A，在上的值域为，即， 在上的值域为即 满足， 且由的图像可得对任意的，都存在唯一的，使得， 故是“函数”，故A正确； 对于B，在上的值域为即 在上的值域为，即， 不满足，故不是“函数”，故B错误； 对于C，，其图像关于对称， 当时， 在上的值域为即 在上的值域为，即 若是“函数”， 由，所以，解得，与矛盾. 当时， 在上的值域为，即， 在上的值域为即 若是“函数”， 由，所以，即，解得 且由的图像可知对任意的，都存在唯一的，使得， 故满足题意. 综上所述，若是“函数”，则，故C正确； 对于D，若， 在上单调递增， 所以在上的值域为，即， 在单调递减，在上单调递增， 所以在上的值域为即 则，所以，解得， 又，所以 要满足对任意的，都存在唯一的，使得， 则需，解得，所以 当时，此时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的值域为，即， 在上的值域为，即 由的图像可得，对任意的，都存在唯一的，使得， 故符合题意. 当时， 在上单调递减， 在单调递减，在上单调递增， 所以在上的值域为即 在上的值域为，即 此时，即， 不满足任意的，都存在唯一的，使得， 综上所述，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛，本题对函数进行了新的定义，所以充分理解定义，然后根据定义分别判断各个选项即可.对于含参的函数，需要对参数进行分类讨论，在分别求出对应区间的值域，由定义进行判断即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，，解不等式得出结论. 【详解】由题意，，所以，， 所以，， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 12. 某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为__________单位： 【答案】40 【解析】 【分析】以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，把吊箱B离地面的高度h表示为时间t的三角函数，令即可求出答案. 【详解】以O为坐标原点，如图建立平面直角坐标系， 设吊箱B离地面的高度为h，则 ， 令，得， 或，， 或，， 因为第4次达到158m， 所以时，吊箱B第4次距离地面158m， 故答案为： 13. 已知函数，且下列四个结论：①是的零点，②是的零点，③的零点之积为3，④方程只有一个实根，只有一个结论错误，则错误结论的序号为__________；若方程有三个不等的实根，则实数a的取值范围为__________. 【答案】 ①. ② ②. 【解析】 【分析】首先解得函数的零点，判断零点的范围，推出①和②③均矛盾，故求得，然后验证即可得出错误结论的序号; 把分段代入方程，有三个不等的实根求得的取值范围. 【详解】函数， 因为在上单调递增，在上单调递减， 若时，令，解得， 所以若函数有零点，只能在上存在唯一一个零点， 由题可知，四个结论中，①和②③均矛盾，故， 若函数满足方程只有一个实根，需，矛盾； 若时，令，解得， 所以函数在上有一个零点，且， 由题可知①和②矛盾， 若①是正确结论，则，因为的零点之积为3，所以，解得， 此时，在上有，在上有，满足题意； 若②是正确结论，则，因为的零点之积为3，所以，解得， 此时，在上有，在上有，不满足题意， 故②结论错误； 因为， 若，即，因为，结合韦达定理可知， 方程必有两个异号实根， 故在上只有一个根，所以在上有两个不同实根， 根据图像可得所以，解得 故 故答案为：②； 【点睛】分段函数零点问题的处理方法： (1)画出函数图像找出图像的交点; (2)分段函数的零点,分段解方程可求得每段上的函数零点. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 化简求值： （1） （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）利用指数运算性质和对数运算性质计算即可； （2）运用同角三角函数的基本关系及诱导公式求解即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为， 所以 15. 已知函数的部分图象如图所示. （1）若，求的值; （2）求方程的解. 【答案】（1） （2）或， 【解析】 【分析】（1）由图象得到结合求解； （2）运用正弦型函数性质求解即可. 【小问1详解】 由图象可知， 所以，于是，，解得， 又，所以， 所以 因，所以， 所以 【小问2详解】 因为，所以或 解得或， 16. 某企业为了解每月广告投入费用单位：万元与月利润单位：万元的关系，统计了前三个月每月广告投入费用x与月利润y的数据，如下表所示： 月份 第一个月 第二个月 第三个月 每月广告投入费用单位：万元 2 4 8 月利润单位：万元 4 8 31 （1）当每月广告投入费用不超过12万元时，x与y之间的关系有两个函数模型与可供选择，利用表中前两个月的数据分别求出两个函数模型的解析式，并根据第三个月的数据，选出更符合实际的函数模型 （2）已知每月广告投入费用超过12万元时，x与y满足关系结合第（1）问的结果，求该企业每月广告投入费用x在什么范围时月利润不少于64万元? 【答案】（1）更符合实际的函数模型为 （2） 【解析】 【分析】分别求解若选用函数若选用函数，判定即可； 分类讨论，解不等式求解即可. 【小问1详解】 若选用函数 将点，代入可得 解得，，所以 当时，得 若选用函数，将点，代入可得，解得，，所以 当时，得， 因为，即模型与实际数据差距更小，所以更符合实际的函数模型为 【小问2详解】 当时，令，即， 所以 当时，由，解得，所以 所以该企业每月广告投入费用 x在时月利润不少于64万元. 17. 已知函数图象上两条相邻的对称轴之间的距离为 （1）求的单调递增区间; （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，设，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意得到，结合正弦型函数性质求解； 由题意，结合单调性求解即可 【小问1详解】 由题意，周期， 所以， 令，，解得，， 所以的单调递增区间为 【小问2详解】 由题意， 因为对任意，存在，使得成立，所以 当时，，所以 当时，，，即 令，则，， 若，在上单调递增， 因为，所以，解得， 若，在上单减，在上单增， 因为，所以，解得， 若，在上单减， 因为，所以，解得 综上，a的取值范围为或 18. 已知函数的定义域为. （1）求a的取值范围; （2）讨论函数的单调性; （3）给定函数，，若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“不动点”;若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“次不动点”.若函数在上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）先将问题转化为在上恒成立，分离参数后得到在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值即可； （2）根据复合函数的单调性，设，，分类讨论求解即可； （3）设函数在上的“不动点”为m，则，令，，则，将函数在上仅有一个“不动点”转化为与的图象在上仅有一个交点；设函数在上的“次不动点”为n，则，令，，则，将函数在上仅有一个“次不动点”转化为与的图象在上仅有一个交点，结合单调性求解即可. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又因为，当且仅当时，等号成立. 所以a的取值范围为 【小问2详解】 令，则为上的增函数，且 设 当时，函数在上单调递增， 又为增函数，由复合函数单调性，在上单增; 当时，在上单减，在上单增， 又为增函数， 由复合函数单调性，在单减，在单调递增. 综上，当，函数在上单调递增; 当时，函数单调递减，在单调递增. 【小问3详解】 设函数在上的“不动点”为m，则， 即，整理得，， 令，，则， 则在上单减，上单增， 因当时，，，， 所以若与图象在上仅有一个交点，则或， 又由（1）知，，所以或 设函数在上的“次不动点”为n，则， 即，，所以， 即， 令，，则，则，， 任取，且， 则 因为，且，所以，，， 所以，即，所以在上单增， 因为与的图象在上仅有一个交点，且 所以，又因为，故 综上，若函数在上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，a的取值范围为或 【点睛】思路点睛:本题涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，然后进行转化、抽象为相应的数学问题进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $