精品解析：广东省东莞市2024-2025学年高一上学期期末教学质量检查数学试题

2024-2025学年广东省东莞市高一上学期期末教学质量检查数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式即可求解. 详解】 故选： 2. 设集合，，满足，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】利用集合包含关系得不等关系，从而求解． 【解答】，  ， ， 由题意如图：     ，解得a  故选：C． 3. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 单调递增且是偶函数 B. 单调递增且是奇函数 C. 单调递减且是偶函数 D. 单调递减且是奇函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数定义结合指数运算判断奇偶性，应用指数函数及复合函数的单调性判断单调性即可判断. 【详解】由，其定义域为R，关于原点对称， ，所以是奇函数. 又， 因为指数函数在R上单调递增，且，那么在R上单调递增，且， 所以在R上单调递减，则在R上单调递增， 那么在R上单调递增. 故单调递增且是奇函数. 故选： 4. 设a，，则“”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】求出的等价条件为，再根据推出关系，结合充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】， 是的充分不必要条件， 故选：D. 5. 如图，单位圆O内接一个圆心角为的扇形，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，结合单位圆的半径为1，求得，由三角形为等边三角形可得扇形的半径，利用扇形的面积公式可得答案. 【详解】由单位圆O内接一个圆心角为的扇形， 则，故， 又，所以三角形为等边三角形， 故 由扇形的面积公式可得： 故选：A. 【点睛】 6. 已知函数，若方程有三个不同的实数解，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系 ,把方程看作两个函数：和，在同一个坐标系中画出图象分析即可． 【详解】根据题意，画出函数和的图象如下图： 当 时，，，， 由图象可知当时，方程有三个解． 故选：C 7. 为了得到函数的图象，只需要把函数上所有的点（ ） A. 向右平移个单位，横坐标变为原来的倍 B. 向左平移个单位，横坐标变为原来的2倍 C. 横坐标变为原来的倍，向左平移个单位 D. 横坐标变为原来的2倍，向左平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】由，依据函数 的图象平移伸缩变换的规则逐一判定即可. 【详解】，向右平移个单位，，横坐标变为原来的倍， 可得 故选：A 8. 设函数在上的零点为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，令，可得或分别求出方程在上的解即可得答案. 【详解】由， 令，即， 则或 当时，， 对于，，在上， 时，时， 时，时， 时，时， 时， 对于，，在上， 时，，舍去 时，，时，， 时，，舍去 所以这些零点之和为： 故选： 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，根据判断；对B，根据判断；对C，根据，，结合换底公式判断即可；对D，根据对数的运算判断即可. 【详解】对于A，由，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由指对互换可知，因为，，那么，， 由换底公式可得：，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D错误. 故选：ABC 10. 若a，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最大值为6 B. 的最小值为6 C. ab的最大值为9 D. ab的最小值为9 【答案】BD 【解析】 【分析】正数a，b满足，可得，解出即可得出ab的最小值，正数a，b满足，可得，解出即可得出的最小值. 【详解】正数a，b满足，   ，即   ， 解得  ，即ab ，当且仅当时取等号，   ，即ab的最小值为9， 正数a，b满足，   ，即  ， 解得 ，当且仅当时取等号，   ，即的最小值为 故选：BD. 11. 我们知道：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，类比以上结论也可得到函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件.已知函数的定义域为R，其图象关于直线成轴对称图形，且为奇函数，当时，，则下列说法中正确的是（ ） A. 的图象关于点成中心对称图形 B. 为偶函数 C. 的最小正周期为12 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性结合函数的对称性新定义得出函数的对称中心，对称轴及周期判断A，B，C，再根据函数周期性得出函数解析式判断D. 【详解】对于A，由为奇函数，所以关于中心对称， 又函数关于直线对称， 所以不能得到函数关于中心对称，故A错误; 对于B，类比题目所给条件，函数关于直线对称， 那么关于对称， 由偶函数的定义可知为偶函数，故B正确; 对于C，由关于中心对称，所以，即， 又函数关于直线对称，则，即， 所以，故， 所以， 则的最小正周期为12，故C正确; 对于D，当时，， 所以， 由C选项所得结论：， 所以，故D正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题：，的否定是____________. 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称命题否定即可求解. 【详解】由题意得命题：，的否定是：，. 故答案为：，. 13. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两角和与差的三角函数公式及同角基本关系式化简即可求解结论． 【详解】 故答案： 14. 设，用表示不超过x最大整数，称为取整函数.例如：，，已知函数，则__________的值域为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将代入函数解析式，利用取整函数的定义即可求解函数值；根据三角函数的有界性分类讨论，利用取整函数的定义分别求出函数值即可求出函数的值域. 【详解】因为， 所以； ，或，时，； ，或，时，； ，时， ，或，时，， ，时，， 所以的值域为 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合 （1）在下面的直角坐标系中画出函数的图象，求 （2）若全集，，求集合 【答案】（1）答案见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）描点可画得的图象，再根据指数函数的值域与对数函数的定义域求解即可； （2）由（1）可得，再假设，推出矛盾可得，进而同理可得 【小问1详解】 集合， 集合或. 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得 因为，所以2，3，6，且2，3，6， 再由， 假设，则由可得， 故，显然矛盾，所以 同理，， 所以 16. 已知函数， （1）求， （2）求的值; （3）已知实数a满足，求的值. 【答案】（1）， （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数对数转换计算求解即可； （2）根据指数的运算法则代入计算即可求解； （3）根据指数的运算法则代入计算即可求解. 【小问1详解】 由题意得 由题意得 【小问2详解】 由题意得 小问3详解】 由题意得， 方法一由，得， 所以 方法二由，得， 因为， 所以， 所以 方法三由，得， 所以， 因为， 所以 17. 用水清洗一件衣服上的污渍，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉衣服上污渍的，用水越多洗掉的污渍也越多，但总有污渍残留在衣服上.设用x单位量的水清洗一次以后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数 （1）求的解析式，写出应该满足的条件或具有的性质至少写2条，不需要证明 （2）现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次.哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少?请说明理由. 【答案】（1），答案见解析. （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将点代入确定解析式，再得其性质； （2）利用作差法比较大小. 【小问1详解】 因为 所以，即 函数的定义域为，值域为，在区间内单调递减. 【小问2详解】 ， ， ， ①当时，，此时清洗一次或两次残留污渍一样， ②当时，，此时清洗一次残留的污渍更少， ③当时，，此时清洗两次残留的污清更少， 综上，时，清洗一次残留的污渍更少; 时，清洗一次或两次残留的一样; 时，清洗两次残留的污渍量更少. 18. 已知 （1）若，，且，求 （2）若在上单调，且在上恰有3个最值点，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，由求出，再根据平方关系可求的值； （2）根据在上单调求得，由可得当，，再利用可求的取值范围 【小问1详解】 由题意可得： 当时，，， 所以， 因为，所以， 所以； 【小问2详解】 当，， 因为在上单调，所以，所以， 当，，在上恰有3个最值点， 即在恰有3个最值点，分别是，，， 所以，解得，因为，所以 19. 对于任意两正数u，，记区间上曲线下的曲边梯形由直线，，和曲线所围成的封闭图形面积为，并约定和，已知 （1）求，， （2）对正数k和任意两个正数u，v，猜想与的大小关系，并证明; （3）（i）试应用曲边梯形的面积说明：对任意正数x，恒有 （ii）若，试说明：当时，. 【答案】（1），， （2），证明见解析 （3）（i）答案见解析；（ii）答案见解析 【解析】 【分析】（1）（2）由新定义可直接计算判断； （3）（i）设， 由小于高为底为1的长方形面积、大于高为，底为1的长方形面积，可得答案；（ii）利用（i）可得答案. 【小问1详解】 由题意得， ， ； 【小问2详解】 对正数k和任意两个正数u，v，， 由题知， ， 故； 【小问3详解】 （i）设，由题意得， 由小于高为，底为1的长方形面积，得， 由大于高为，底为1的长方形面积，得， 所以对任意正数x，恒有 （ii）由（i）得 ， 显然，当时，，所以. 【点睛】关键点点睛：第三额解题关键点是利用阴影部分的面积与相应梯形矩形的面积大小，可推出不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年广东省东莞市高一上学期期末教学质量检查数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，满足，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 单调递增且是偶函数 B. 单调递增且是奇函数 C. 单调递减且是偶函数 D. 单调递减且是奇函数 4. 设a，，则“”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 5. 如图，单位圆O内接一个圆心角为的扇形，则扇形的面积为（ ） A B. C. D. 6. 已知函数，若方程有三个不同的实数解，则k的取值范围为（ ） A B. C. D. 7. 为了得到函数的图象，只需要把函数上所有的点（ ） A. 向右平移个单位，横坐标变为原来倍 B. 向左平移个单位，横坐标变为原来的2倍 C. 横坐标变为原来倍，向左平移个单位 D. 横坐标变为原来的2倍，向左平移个单位 8. 设函数在上的零点为，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若a，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最大值为6 B. 的最小值为6 C. ab的最大值为9 D. ab的最小值为9 11. 我们知道：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，类比以上结论也可得到函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件.已知函数的定义域为R，其图象关于直线成轴对称图形，且为奇函数，当时，，则下列说法中正确的是（ ） A. 的图象关于点成中心对称图形 B. 为偶函数 C. 的最小正周期为12 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题：，的否定是____________. 13. 已知，则__________. 14. 设，用表示不超过x的最大整数，称为取整函数.例如：，，已知函数，则__________的值域为__________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合 （1）在下面的直角坐标系中画出函数的图象，求 （2）若全集，，求集合 16. 已知函数， （1）求， （2）求值; （3）已知实数a满足，求的值. 17. 用水清洗一件衣服上的污渍，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉衣服上污渍的，用水越多洗掉的污渍也越多，但总有污渍残留在衣服上.设用x单位量的水清洗一次以后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数 （1）求的解析式，写出应该满足的条件或具有的性质至少写2条，不需要证明 （2）现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次.哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少?请说明理由. 18. 已知 （1）若，，且，求 （2）若在上单调，且在上恰有3个最值点，求的取值范围. 19. 对于任意两正数u，，记区间上曲线下的曲边梯形由直线，，和曲线所围成的封闭图形面积为，并约定和，已知 （1）求，， （2）对正数k和任意两个正数u，v，猜想与的大小关系，并证明; （3）（i）试应用曲边梯形的面积说明：对任意正数x，恒有 （ii）若，试说明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$