精品解析：广东省湛江市2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试卷

湛江市2024-2025学年度第一学期期末调研测试 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义列式计算得解. 【详解】抛物线的准线方程为，依题意，， 所以. 故选：A 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式计算得解. 【详解】圆的圆心坐标为， 所以所求距离为. 故选：D 3. 已知直线与直线平行，则（ ） A. B. 或0 C. 1 D. 1或0 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行关系列式求解，并代入检验即可. 【详解】若直线与直线平行， 则，解得或， 若，直线与直线平行，符合题意； 若，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或0 故选：B. 4. 若，，则（ ） A. B. 4 C. D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示、模的坐标表示计算得解. 【详解】向量，，则， 所以. 故选：A 5. 已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由结合切线长定理可得，再借助圆心到直线的距离建立不等式求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 由，得，又，则， 而直线上存在点P，满足，于是点到该直线的距离， 解得，所以的取值范围是. 故选：C 6. 在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算、空间向量基本定理求解即得. 【详解】在平行六面体中，，， 则， 而，因此， 所以. 故选：B 7. 类比椭圆方程我们可以得到一个新的曲线方程，曲线上的点到原点的距离平方最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，结合辅助角公式运算求解即可. 【详解】设曲线上的点为，且， 可得， 其中， 所以曲线上的点到原点的距离平方最大值为. 故选：D. 8. 在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求解求解. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ，由，得， 则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 所以平面与平面夹角的余弦值. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 如图，在直四棱柱中，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直四棱柱的几何性质，结合空间向量的线性运算以及数量积的运算律，可得答案. 【详解】对于A，由为的中点，则， 在直四棱柱中，易知， 所以，故A正确； 对于B，由为的中点，则， 在直四棱柱中，易知， ，故B错误； 对于C，由题意可得与的夹角为，且， 则 ，故C正确； 对于D， ，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知直线与圆，则（ ） A. 直线的方程可转化为，即直线过定点． B. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围为 C. 若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则 D. 若直线与圆相交于，两点，则的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出直线过的定点判断A；利用圆心到直线的距离求解判断B；利用点到直线距离为1求出值判断C；求出的表达式，进而求出判断D. 【详解】对于A，由，可得恒成立，直线过定点，A正确； 圆的圆心，半径， 对于B，点到直线的距离，解得，B正确； 对于C，由圆上恰有3个点到直线的距离为1，得点到直线的距离，解得，C正确； 对于D，，而， 则，D错误. 故选：ABC 11. 已知椭圆的离心率为，双曲线的顶点与椭圆的焦点重合，一条渐近线与椭圆的一个交点为，则（ ） A. 椭圆的方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 过椭圆右顶点且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为 D. 椭圆上到直线（为原点）距离最大的点有2个 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意求出椭圆及双曲线的方程，再由弦长公式判断C项，再由直线与椭圆相切来判断D项． 【详解】解： 如图所示： 由，得， 则椭圆的方程为：，故A项正确； 双曲线的渐近线方程为：， 则，得， 则双曲线的方程为：， 得双曲线的离心率为：，故B项错误； 对于C项，的右顶点为， 由，得， 得被双曲线截得的弦长为：，故C项正确； 对于D项，直线的方程为：， 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为：， 由，消去得，， 由， 得，故D项正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，，函数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两点间的距离及点到直线的距离公式构造点到点，点到直线的距离，由图可得解. 【详解】设点，和直线， ，到的距离分别为，，易知， 如图， 显然. 故答案为： 13. 已知是空间的一组基底，其中，，．若四点共面，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算得解. 【详解】由四点共面，得， 而向量，，， 则，又不共面， 因此，解得， 所以. 故答案为： 14. 由双曲线的光学性质可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，过点作，垂足为，为原点，求________． 【答案】2 【解析】 【分析】由双曲线的光学性质结合，可得垂直平分，利用三角形中位线及双曲线的定义即可求出. 【详解】由双曲线的光学性质知，平分，延长与的延长线交于点E， 由，得为的中点，又是中点， 所以. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设，直线，直线． （1）若直线与的距离为，求的值． （2）若直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为4，求的值． 【答案】（1）或； （2）4. 【解析】 【分析】（1）利用平行线间距离公式列式求出 （2）求出直线的横纵截距，由面积列式求出. 【小问1详解】 当时，直线与直线平行， 则，解得或， 所以或. 【小问2详解】 依题意，，直线交轴于，交轴于， 则，所以. 16. 已知圆C的方程. （1）求m的取值范围； （2）若圆C与直线l：相交于M，N两点，且，求m 的值. 【答案】（1）； （2）4. 【解析】 【分析】（1）将圆方程化为标准形式，列不等式求参数范围. （2）写出圆的圆心和半径，根据弦长、弦心距及半径关系列方程求参数. 【小问1详解】 方程可化为， 因为此方程表示圆，所以，即. 故m取值范围是. 【小问2详解】 因为圆的方程可化为， 所以圆心为，半径， 圆心到直线l:的距离为， 由于，故，又， 所以，解得. 17. 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求的值． （2）求面积最大值． 【答案】（1）4； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，利用直线的点斜式中求出和点坐标即可求出. （2）由（1）中点，利用点到直线距离公式表示出三角形面积，借助三角函数性质求出最大面积. 【小问1详解】 依题意，，设，， 直线方程为：，令，得 直线方程为：，令，得 ， 所以 . 【小问2详解】 依题意，直线的方程为：，且， 到直线距离， 则的面积， 因此当，即，时，， 所以面积最大值为. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点）． （1）若是棱的中点，求过，，的平面截正方体表面所得的截面图形的周长． （2）若与平面所成角为，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）结合面面平行的性质作出截面，再求出其周长. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法列式，借助基本不等式求出范围. 【小问1详解】 令平面交棱于，连接， 则四边形为过的平面截正方体所得的截面图形，    由平面平面，且平面平面,平面平面, 得，而，且方向相同，即， 则，，， ，， 所以四边形的周长为. 【小问2详解】 在棱长为2的正方体中，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，    则, 则, 设平面的法向量，则，令，得， 则， 当时，， 当时，， 当且仅当时等号成立，又， 所以的取值范围是. 19. 已知抛物线的方程，现将抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后得另外三条曲线，四条曲线相交围成如图阴影区域的封闭图形，、分别为曲线在第一象限和第四象限的交点． （1）求的长度． （2）求直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值． （3）求证：阴影区域的面积不大于32． 【答案】（1）8； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）联立抛物线方程，求出点、的坐标，进而求出. （2）分别求出抛物线与抛物线斜率为1的切线方程，再求出它们的距离即可. （3）求出抛物线在点处的切线，求出该切线与轴及直线所围成三角形面积，再结合对称性即可推理得证. 【小问1详解】 抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、所得仍为抛物线， 方程分别为、、， 由，解得或，则，由对称性可得， 所以. 【小问2详解】 设直线与抛物线相切于点， 由消去得，由，得，，切点， 设直线与抛物线相切于点， 由消去得，由，得，，切点， 直线的斜率为，即直线与直线平行或重合， 所以直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值为. 【小问3详解】 抛物线，即，求导得， 则抛物线在点处的切线斜率为， 抛物线在点处的切线方程为，即， 该切线交轴于点，因此在第一象限的半个花瓣的面积必小于， 所以原图中的阴影部分面积必小于，即不大于32. 【点睛】思路点睛：理解题意，结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数的图象单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市2024-2025学年度第一学期期末调研测试 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则（ ） A. 4 B. C. 8 D. 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3 已知直线与直线平行，则（ ） A. B. 或0 C. 1 D. 1或0 4. 若，，则（ ） A. B. 4 C. D. 26 5. 已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（ ） A. B. C D. 6. 在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 类比椭圆的方程我们可以得到一个新的曲线方程，曲线上的点到原点的距离平方最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 如图，在直四棱柱中，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线与圆，则（ ） A. 直线的方程可转化为，即直线过定点． B. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围为 C. 若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则 D. 若直线与圆相交于，两点，则的取值范围为 11. 已知椭圆的离心率为，双曲线的顶点与椭圆的焦点重合，一条渐近线与椭圆的一个交点为，则（ ） A. 椭圆的方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 过椭圆右顶点且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为 D. 椭圆上到直线（为原点）距离最大的点有2个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，，函数的最小值为______. 13. 已知是空间的一组基底，其中，，．若四点共面，则________． 14. 由双曲线光学性质可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，过点作，垂足为，为原点，求________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设，直线，直线． （1）若直线与的距离为，求的值． （2）若直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为4，求的值． 16. 已知圆C的方程. （1）求m的取值范围； （2）若圆C与直线l：相交于M，N两点，且，求m 的值. 17. 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求的值． （2）求面积最大值． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点）． （1）若是棱的中点，求过，，的平面截正方体表面所得的截面图形的周长． （2）若与平面所成的角为，求的取值范围． 19. 已知抛物线方程，现将抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后得另外三条曲线，四条曲线相交围成如图阴影区域的封闭图形，、分别为曲线在第一象限和第四象限的交点． （1）求的长度． （2）求直线被第一象限封闭图形截弦长最大值． （3）求证：阴影区域的面积不大于32． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $