精品解析：湖北省武汉市武昌区2025届高三上学期期末质量检测数学试题

湖北省武汉市武昌区2025届高三上学期期末质量检测数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，根据集合的交集运算求解. 【详解】集合 ，， 则. 故选：A. 2. 若复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. 2i D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算及共轭复数的定义计算即可. 【详解】解：因， 所以， 所以 所以 故选： 3. 已知双曲线C的渐近线方程为，则C的离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用双曲线焦点位置设出方程，借助渐近线方程求出离心率. 【详解】当双曲线方程为  时，其渐近线为，  ，则离心率  ； 当双曲线方程为  时，其渐近线为，  ，则离心率  ， 所以双曲线离心率为  或 . 故选：C 4. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 13 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式以及等差数列的性质可求得的值. 【详解】因为公差不为零的等差数列的前项和为，且， 因为， 整理可得，故，所以，. 故选：C. 5. 中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一个表面积为 cm2的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭浇铸过程体积无变化，该铁锭的上、下底面的边长分别为 cm和 cm，则该铁锭的高为（ ） A. 30 cm B. C. 36 cm D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用球的表面积、体积公式及棱台的体积公式列式计算得解. 【详解】解：设实心铁球的半径为R，则 ，解得， 则实心铁球的体积为 ， 设正四棱台实心铁锭的高为h， 因为实心铁球的体积和正四棱台的实心铁锭体积相等， 则 ，解得  故选： 6. 已知函数在与上的最小值均为，最大值也相同，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干的定义域，求出的定义域，再得到值域，列不等式，得到答案. 【详解】解：由题，， 当时，； 当时，； 要使在与上的最小值均为，最大值也相同， 显然，且， 则有，解得， 故实数a的取值范围是， 故选： 7. 已知平面向量，，，满足，则的最小值是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】不妨设，计算 ，当时， 【详解】解：向量满足， 则不妨设， 则， 则，且， 则 ， 当时， 故选：D. 8. 已知函数在定义域上单调递减，，均有，则函数的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】记，由，利用函数单调性知，结合，首先求出的解析式，可得函数，再利用配方法求最值即可求解. 【详解】记， 用y替换 中的x得，且， ， 因为函数在定义域上单调递减，所以， 因为， 所以 ， 或，又函数在定义域上单调递减 所以有满足题设条件. 所以，， 当即时，函数的最小值是 故选：A 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是用y替换 中的x，然后利用函数的单调性求出函数的解析式. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某射击运动员在一次训练中一共进行了10次射击，成绩依次为6，5，7，8，6，7，9，7，9，单位：环，则下列说法中正确的是（ ） A. 这组数的众数为7 B. 这组数的第80百分位数为8 C. 若每个数都减去2，则这组数的均值也会减去2 D. 若每个数都乘以2，则这组数的方差也会乘以2 【答案】AC 【解析】 【分析】分别求出运动员成绩的众数，均值，方差、以及第80百分位，再用均值，方差性质，判断四个选项即可． 【详解】解：将成绩从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，7，8，9，9， 对于A、这组数的众数为7，故A正确； 对于B、因为，则这组数的第80百分位数为，故B错误； 对于C、若每个数都减去2，则这组数的均值也会减去2，故C正确； 对于D、若每个数都乘以2，则这组数的方差会乘以4，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 若函数单调递增，则 C. 当时，函数的图象关于点中心对称 D. 若存在，使得，则a的最大值是1 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用配方法判断A；利用导数判断B；利用中心对称的性质判断C；分类讨论判断 【详解】解：因为， 所以，A错误； 求导数，， 所以，所以，B正确； 当时，， 所以， 所以函数的图象关于点中心对称，C正确； 当时，，满足题意； 当时，若, 则， 故在上无解，故，所以a的最大值是1，D正确. 故选: 11. 已知非常数数列，其前n项和为，若， ，，使得，则称为包容数列．下列说法错误的是（ ） A. 数列0，0，1，1，，是包容数列 B. 任何包容数列的前三项中一定存在两项互为相反数 C. 若一个包容数列从第k项开始连续三项可以构成一个各项均为正数的等差数列，则k的最小值为5 D. 由，0，1三个数生成的包容数列中，如果去掉一项后依然是包容数列，这项一定是0 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据包容数列的定义和性质可判断ABD的正误，利用枚举法可判断C的正误. 【详解】对于A，当时，不存在使， 所以数列0，0，1，1，，不是包容数列，故A错误； 对于B，当为包容数列， 则或或， 即或或，故B正确； 对于D，，0，1去掉后，得到0，1仍是包容数列，故D错误； 对于C，可任意数， 考虑前2项，或，得或， 所以包容数列的前2项中必有1个数为0， 设包容数列的前2项为m，0或0，m， 考虑前3项，由B项知的前3项中必有2项互为相反数， 则的前3项为m，0，0或0，m，0或m，0，或0，m， 同理可知的前n项中必有项之和为0， 的前4项为m，0，0，0①或m，0，0，②或0，m，0，0③或0，m，0，④或m，0，，n⑤或0，m，，n⑥， 从第5项开始： 对于①， 对于②， 对于③，； 对于④，； 对于⑤， 对于⑥， 综上所述，中要么会有一个0，要么会有一组相反数， 所以不可能全为正，故C错误. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：对于数列新定义问题，注意根据数列新定义展开计算与讨论，对于新定义下数列的性质的探究，可以从具体中找到一般的性质. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中只有第7项的系数最大，则__________. 【答案】12 【解析】 【分析】由题意利用二项式定理，二项式系数的性质，得出结论． 【详解】解：的展开式中，只有第七项的系数即二项式系数最大， 故展开式共有13项，则， 故答案为： 13. 已知随机变量X，Y均服从伯努利分布，且X，Y的取值为0或1.若，且，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及全概率公式、互斥事件和对立事件概率求法，分别求出、的概率，即可得. 【详解】因为随机变量X，Y均服从分布，且， 所以①， ②， 由，即， 则有③， 将③代入①可得：， 将③代入②可得：， 由， 则， 所以. 故答案为： 14. 设圆与抛物线交于点，为圆的直径，过点的直线与抛物线交于不同于点的两个点D，E，则直线AD与AE的斜率之积为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意得出，，设，，由B，D，E三点共线可得，结合，，化简得，代入即可求. 【详解】将代入圆的方程中， 得，故， 又因为为圆与抛物线的交点， 所以，代入得，即抛物线， 由AB为圆的直径可得，A，B关于O对称， 则， 设，， 则由B，D，E三点共线可得， 整理得， 又因为，， 所以， 整理得， 由题意， 所以， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 （1）求B； （2）若的面积为，，求中线BD的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将已知的正弦关系转化为边的关系，再利用余弦定理求出角。 （2）先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，最后利用向量关系求出中线BD的长。 【小问1详解】 因为，所以， 又因为 所以，，得， 所以，由余弦定理得， 又B为三角形内角， 所以， 【小问2详解】 因为的面积为，，， 所以，，所以，又， 因为BD为的中线，所以，， 所以，， 所以 16. 如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，， （1）已知G为AF的中点，求证：平面DCF； （2）若直线BF与平面ABCD所成的角为，二面角的余弦值为，求点B到平面DCF的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取DF的中点K，可证明四边形KGBC为平行四边形，即可证明平面； （2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出平面DCF的法向量为，应用公式即可求点B到平面DCF的距离. 【小问1详解】 取DF的中点K，连接GK、KC，因为G为AF中点，所以，， 因为，，所以，，所以四边形KGBC为平行四边形， 所以，因为平面DCF，平面DCF，故平面DCF； 【小问2详解】 因为平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，所以FA，AD，AB两两垂直， 以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 直线BF与平面ABCD所成的角为，有，设， ， 则，，，，所以，，， 设平面DCF的法向量为，所以，即， 令，则，，所以， 所以，所以，即， 因为，所以点B到平面DCF的距离 17. 已知函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，，求实数a的取值范围． 【答案】（1）在，单调递增，在，单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）先将代入函数，然后对求导，根据导数的正负来确定函数的单调区间. （2）当时，通过移项参变分离变形，构造新函数，利用导数研究新函数的性质来确定实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则， 令，解得或， 当或时， 当或时， 所以在，单调递增，在，单调递减. 【小问2详解】 因为时，， 所以，得， 即， 令， 则， 令，且在上单调递增，且， 所以，当时，，即当时，，即 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，故 18. 已知椭圆C：的长轴长是短轴长的2倍，焦距为，点A，B分别为C的左、右顶点，点P，Q为C上的两个动点，且分别位于x轴上、下两侧，和的面积分别为，，记 （1）求椭圆C的方程； （2）若，求证直线PQ过定点，并求出该点的坐标； （3）若，设直线AP和直线BQ的斜率分别为，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析，定点坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆方程； （2）由图形对称性可知定点在x轴上，设，由题意得，求解即可. （3）设直线PQ的方程为，，，并表示 联立由韦达定理得，，代入化简并结合即可得所求. 【小问1详解】 由题意知，，，又，，， 所以椭圆C的方程为： 【小问2详解】 证明：由知，，由图形对称性可知，定点Mx轴上， 设直线PQ方程为：，，，， ，解得， 即定点坐标为 【小问3详解】 设直线PQ的方程为，， 联立可得， 则，，且 于是 ， ，，即的范围是 19. 有五张背面完全相同的数字卡片，正面分别写着，将它们背面朝上随机放在桌子上（不叠放），翻开这些卡片时，要求按照从小到大的数字顺序依次翻开，如果翻开了一张卡片其顺序不符合要求，应该立刻将它翻回至背面朝上（翻回不计入次数）并记住此卡片出现的数字，以保证翻卡片的次数尽可能少，直到所有卡片正面朝上为止． （1）求第三次恰好翻开数字为的卡片且不再翻回的概率； （2）记为需要翻开的次数，求的分布列及数学期望； （3）将卡片数量改为张，并依次写上数字，记为翻开这些卡片需要的平均次数，求证：. 附：数学期望具有线性可加性，即 【答案】（1） （2）分布列见解析，次 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论如果第一张翻出了和第二张翻出了，利用互斥事件的概率公式即可求解； （2）根据题设可得次数可取，再分别求出相应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式，即可求解； （3）记为需要翻开写有点数的纸卡片的次数，根据题设有，从而得到，即可求解. 【小问1详解】 由题知，前两次一定会翻到，否则第三次翻到也会被翻回， 故分两种情况：如果第一张翻出了，那么第二次一定不能翻， 因此， 如果第二张翻出了，那么有两种情况，第一种情况第一张翻出了并翻回， 另一种情况是第一张没有翻出2，第三张恰好翻到2， 因此， 所以. 【小问2详解】 根据题意可以推断出下面两点： 首先，错误翻开的卡片即使被翻回至背面朝上，也会知道这张卡片的点数， 因此第二次翻开它时并非随机事件； 其次，如果在翻一张卡片时，点数比它小的所有卡片没有被翻开，那么这张卡片就需要被翻两次， 可以看作是考虑随机对翻开五张卡片的进行排列， 从左往右依次翻开卡片，遇到不符合顺序的进行调整， 因此需要翻开的次数可取， ①当时，恰好按照从小到大的顺序翻开了所有卡片， 因此，； ②当时，点数为到的扑克卡片恰好全部在1之前翻开， 因此，； ③当时，只有一张卡片没有在所有比它小的卡片翻开时翻开了， 因此，； ④当时，有三张卡片错误地翻开了， 因此，； ⑤当时，易知， 列出分布列有 因此（次）. 【小问3详解】 基于第二问的思考，这实际上是对知晓卡片点数的顺序进行排列， 当有张卡片时，值得注意的是写有数字的卡片如果是最后一个知晓，那么它就只需要被翻开一次， 如果它不是最后一个知晓，那么它就一定需要被翻开两次， 记为需要翻开写有点数的纸卡片的次数， 因此，， 所以， 于是， 而，于是， 故， 当，时上式等号成立，于是，故命题得证. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（3）：根据题设知写有数字的卡片如果是最后一个知晓，那么它就只需要被翻开一次，如果它不是最后一个知晓，那么它就一定需要被翻开两次，从而可得，其中为需要翻开写有点数的纸卡片的次数，再利用，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省武汉市武昌区2025届高三上学期期末质量检测数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. 2i D. 3. 已知双曲线C的渐近线方程为，则C的离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定 4. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，则（ ） A B. C. 13 D. 5. 中国冶炼铸铁技术比欧洲早2000年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一个表面积为 cm2的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭浇铸过程体积无变化，该铁锭的上、下底面的边长分别为 cm和 cm，则该铁锭的高为（ ） A. 30 cm B. C. 36 cm D. 6. 已知函数在与上的最小值均为，最大值也相同，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量，，，满足，则最小值是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 2 8. 已知函数在定义域上单调递减，，均有，则函数的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某射击运动员在一次训练中一共进行了10次射击，成绩依次为6，5，7，8，6，7，9，7，9，单位：环，则下列说法中正确的是（ ） A. 这组数的众数为7 B. 这组数的第80百分位数为8 C. 若每个数都减去2，则这组数的均值也会减去2 D. 若每个数都乘以2，则这组数的方差也会乘以2 10 已知函数，则（ ） A. B. 若函数单调递增，则 C. 当时，函数的图象关于点中心对称 D. 若存在，使得，则a的最大值是1 11. 已知非常数数列，其前n项和为，若， ，，使得，则称为包容数列．下列说法错误的是（ ） A. 数列0，0，1，1，，是包容数列 B. 任何包容数列的前三项中一定存在两项互为相反数 C. 若一个包容数列从第k项开始连续三项可以构成一个各项均为正数的等差数列，则k的最小值为5 D. 由，0，1三个数生成的包容数列中，如果去掉一项后依然是包容数列，这项一定是0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中只有第7项的系数最大，则__________. 13. 已知随机变量X，Y均服从伯努利分布，且X，Y的取值为0或1.若，且，则_______. 14. 设圆与抛物线交于点，为圆的直径，过点的直线与抛物线交于不同于点的两个点D，E，则直线AD与AE的斜率之积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 （1）求B； （2）若的面积为，，求中线BD的长． 16. 如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，， （1）已知G为AF的中点，求证：平面DCF； （2）若直线BF与平面ABCD所成的角为，二面角的余弦值为，求点B到平面DCF的距离． 17. 已知函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，，求实数a的取值范围． 18. 已知椭圆C：的长轴长是短轴长的2倍，焦距为，点A，B分别为C的左、右顶点，点P，Q为C上的两个动点，且分别位于x轴上、下两侧，和的面积分别为，，记 （1）求椭圆C的方程； （2）若，求证直线PQ过定点，并求出该点的坐标； （3）若，设直线AP和直线BQ的斜率分别为，，求的取值范围． 19. 有五张背面完全相同的数字卡片，正面分别写着，将它们背面朝上随机放在桌子上（不叠放），翻开这些卡片时，要求按照从小到大的数字顺序依次翻开，如果翻开了一张卡片其顺序不符合要求，应该立刻将它翻回至背面朝上（翻回不计入次数）并记住此卡片出现的数字，以保证翻卡片的次数尽可能少，直到所有卡片正面朝上为止． （1）求第三次恰好翻开数字为的卡片且不再翻回的概率； （2）记为需要翻开的次数，求的分布列及数学期望； （3）将卡片数量改为张，并依次写上数字，记为翻开这些卡片需要的平均次数，求证：. 附：数学期望具有线性可加性，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $