6.2　二元一次方程组的解法 课件 2024-2025学年华东师大版七年级数学下册

第4课时　 二元一次方程组的简单应用 1.列二元一次方程(组)解应用题 关键:将实际问题转化为数学问题,利用未知数,把问题中的等量关系用方程(组)表达出来. 过程:问题 方程(组) 解答 2.列二元一次方程(组)解应用题的一般步骤 (1)审题:弄清题意,找出问题中基本量之间的等量关系; (2)设未知数:设出合适的未知数; (3)列方程(组):把等量关系转化为方程; (4)解方程(组):求出所设的未知数; (5)检验作答:判断所求值是否符合题意,得出结论. 用“代入法”解二元一次方程的简单应用题 (2024·安徽)乡村振兴战略实施以来,很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承包了一些田地.采用新技术种植A、B两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表: 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需 投入资金(万元) A 4 8 B 3 9 已知农作物种植人员共24位,且每人只参与一种农作物种植,投入资金共60万元.问A、B这两种农作物的种植面积各多少公顷? 解:设A农作物的种植面积为x公顷,B农作物的种植面积为y公顷, 根据题意,得解得 答:A农作物的种植面积为3公顷,B农作物的种植面积为4公顷. 1.小强(递上10元钱):爷爷,我买一支钢笔和一个笔记本.售货员(爷爷):今天是“六一”儿童节,钢笔九折优惠,笔记本按标价卖给你,但如果你钢笔和笔记本都买,钱可不够了.小军:小强,钢笔的标价是笔记本的3倍,我借给你1.1元钱,就可以买这两样东西了.根据上述对话内容,钢笔的标价为　 　,笔记本的标价为　 　. 9元 3元 2.(2024·山西)当下电子产品更新换代速度加快,废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机,既可减少环境污染,还可回收其中的可利用资源.据研究,从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金,与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克. 解:设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克,白银y克, 根据题意,得解得 答:从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克,白银1 000克. 用“加减法”解二元一次方程的简单应用题 为建设节约型环境、友好型社会,克服因干旱而造成的电力紧张困难,切实做好节能减排工作,某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”,电力公司规定:居民家庭月用电量在80千瓦时以下(含80千瓦时,1千瓦时俗称1度)时,实行“基本电价”;当居民家庭月用电量超过80千瓦时时,超过部分实行“提高电价”. (1)小张家4月份用电100千瓦时,缴纳电费68元;5月份用电120千瓦时,缴纳电费88元.求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元每千瓦时; 解:(1)设“基本电价”为x元/千瓦时,“提高电价”为y元/千瓦时.根据题意,得 解得 答:“基本电价”为0.6元/千瓦时,“提高电价”为1元/千瓦时. (2)若6月份小张家预计用电130千瓦时,请预计小张家6月份应缴纳的电费. (2)80×0.6+(130-80)×1=98(元). 答:预计小张家6月份应缴纳的电费为98元. 3.下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体,则第三个天平右盘中砝码的质量为　 　. 10 4.为推进“书香社区”建设,某社区计划购进一批图书.已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元,购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元. (1)科技类图书与文学类图书的单价分别是多少元? 解:(1)设科技类图书的单价为x元,文学类图书的单价为y元, 根据题意,得解得 答:科技类图书的单价为38元,文学类图书的单价为26元. (2)为支持“书香社区”建设,助推科技发展,商家对科技类图书推出销售优惠活动(文学类图书售价不变):购买科技类图书超过40本但少于50本时,每本单价降低2元;不少于50本时,每本单价降低3元.社区购进两种图书共100本,总费用为3 050元.求科技类图书与文学类图书各购买了多少本? (2)设科技类图书买了m本,文学类图书买了n本. ①当购买科技类图书不超过40本时, 则有解得 ∵m、n不是整数,故不符合要求. ②当购买科技类图书超过40本但少于50本时, 则有解得 符合要求. ③当购买科技类图书不少于50本时, 则有解得 符合要求. 答:科技类图书买了45本,文学类图书买了55本或科技类图书买了50本,文学类图书买了50本. $$第3课时　 二元一次方程组解法的综合应用 选择恰当的方法解二元一次方程组 (1)代入消元法和加减消元法是解方程组的基本方法,是最常用的消元手段.当方程组中某个方程的某一未知数的系数为±1或常数项为0时,可考虑用代入消元法解方程组;当方程组中某个未知数的系数相同、相反或成整数倍时,可考虑用加减消元法;当方程组中x、y的系数和相等(或相差一个定值)时,可以考虑两式直接相加减, 用整体思想求解; (2)解方程组时,还可以采用其他的消元方法,如方程组中两个方程存在相同数式时,可用换元法;当两个方程组的常数项相同时,可考虑同解法. 选择恰当的方法解二元一次方程组 解下列方程组: (1) 解:用代入法:由①,得x=-3y-2.③，将③代入②,得7(-3y-2)-6y=40.解得y=-2. 将y=-2代入③,得x=-3×(-2)-2=4.所以方程组的解为 用加减法:①×2,得2x+6y=-4.，④②+④,得9x=36.解得x=4. 将x=4代入①,得4+3y+2=0,解得y=-2.所以方程组的解为 (2) 解:把①代入②,得4(y-1)+(y-1)=5. 解得y-1=1,即y=2. 把y-1=1代入①,得x-2=2×1. 解得x=4. 所以方程组的解为 (3) 解:整理,得 ①×2,得8x-2y=10.③ ②+③,得11x=22.解得x=2. 把x=2代入①,得8-y=5,解得y=3. 所以方程组的解为 1.已知二元一次方程组:①② ③④解以上方程组比较适合选用的方法是 (　 　) A.①②用代入法,③④用加减法 B.①③用代入法,②④用加减法 C.②③用代入法,①④用加减法 D.②④用代入法,①③用加减法 B 2.用适当的方法解下列方程组: (1) 解:①+②,得5x=25.解得x=5. 把x=5代入①,得15+4y=15,解得y=0. 所以方程组的解为 (2) 解:①-②×2,得5t=15.解得t=3. 把t=3代入①,得4s+9=5,解得s=-1. 所以方程组的解为 (3) 解:把②代入①,得3x-4=5.解得x=3. 把x=3代入②,得3-2y=1,解得y=1. 所以方程组的解为 (4) 解:方程组整理,得 ①×3+②,得52x=156.解得x=3. 把x=3代入②,得30+9y=48,解得y=2. 所以方程组的解为 换元法解二元一次方程组 用换元法解下列二元一次方程组: (1) 解:设x+y=a,x-y=b, 得方程组整理,得 解得即解该方程组,得 (2) 解:设x+3y=m,3x+y=n,得方程组 整理②,得3m=78-2n.③ 将③代入①,得(78-2n)-2n=6.解得n=18. 将n=18代入②,得m=14,即解该方程组,得 3.用换元法解下列二元一次方程组: (1) 解: (2) 解: $$第2课时　加减消元法 1.加减法解二元一次方程组 利用等式的性质,通过将两个方程的两边分别相加(或相减)消去一个未知数,将方程组转化为一元一次方程求解二元一次方程组的方法就是加减消元法,简称加减法. 2.用加减法解二元一次方程组的基本步骤 (1)观察系数的特点,若两个方程中,有一个未知数系数的绝对值相等,可直接相加或相减消元;若两个方程中,同一个未知数系数的绝对值都不相等,则应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数,然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于最小公倍数); (2)把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程; (3)解这个一元一次方程,将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解. 用加减法解二元一次方程组 解下列方程组: (1) 解:①+②,得4x=8.解得x=2. 把x=2代入①,得2-y=3,解得y=-1. 所以方程组的解是 (2) 解:②-①×2,得y=2. 把y=2代入①,得2x+8=8,解得x=0. 所以方程组的解为 (3) 解:整理方程组,得 ①×3,得9x+6y=-3.③ ②×2,得8x+6y=-4.④ ③-④,得x=1. 把x=1代入①,得3×1+2y=-1,解得y=-2. 所以方程组的解为 [方法归纳] 当方程组中两个未知数的系数既不相同,也不互为相反数时,观察未知数的系数是否成倍数,哪个未知数的系数成倍数,就先消哪个未知数;否则就观察未知数的系数的最小公倍数,哪个未知数的系数的最小公倍数最小,就先消哪个未知数. (1)已知方程组则(4x+4y)·(2x-2y)的值为 (　 　) A.16 B.-16 C.8 D.-8 (2)若关于x、y的二元一次方程组的解满足x-y=1,则k的值是 (　 　) A.1 B.2 C.3 D.4 B A 1.用加减消元法解方程组时,下列结果正确的是 (　 　) A.要消去x,可以将①×3-②×5 B.要消去y,可以将①×5+②×2 C.要消去x,可以将①×5-②×2 D.要消去y,可以将①×3+②×2 C 2.(2024·重庆巴蜀)已知关于x、y的方程组的解满足x+y=3,则m的值为　　. 2 3.解下列方程组: (1) 解:②×2-①,得5y=15.解得y=3. 把y=3代入②,得2x+3=13,解得x=5. 所以原方程组的解为 (2) 解:整理,得 ①×4-②,得37y=74.解得y=2. 把y=2代入①,得2x+14=20,解得x=3. 所以原方程组的解为 (3) 解:整理,得 ①-②,得2x=-6.解得x=-3. 把x=-3代入②,得-6-3y=1,解得y=-. 所以原方程组的解为 含参数的二元一次方程组 (1)如果方程组与方程组有相同的解,则m-n=　 　. 1 (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时,甲看错了方程①中的a,解得乙看错了方程②中的b,解得求原方程组的正确解. 解:(2)把代入5x=by-7中,得5=12b-7,解得b=1. 把代入ax+3y=4中,得-3a+10=4,解得a=2. ∴原方程组为则原方程组的解为 4.已知方程组中,x、y的系数部分已经模糊不清,但知道其中□表示同一个数,△也表示同一个数,是这个方程组的解,求原方程组. 解:把代入原方程组,得解得 所以原方程组为 5.已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x-y=m-1,求m的值. 解:令 由②-①,得3x-3y=-14. 又∵x-y=m-1,∴3(m-1)=-14, 解得m=-. ∴m的值为-. $$第1课时　代入消元法 1.消元思想 将未知数的个数　 　、逐一解决的思想叫做消元思想. 解二元一次方程组的基本思路是　 　,也就是把　 　一次方程组化为　 　一次方程. 2.代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做　 　,简称代入法. 由多化少 消元 二元 一元 代入消元法 3.用代入法解二元一次方程组的一般步骤 (1)变形:将方程组中的一个方程变形,用含有一个未知数的一次式表示另一个未知数; (2)代入:用这个一次式代替另一个方程中相应的未知数,得到一个一元一次方程,求得一个未知数的值; (3)回代:把这个未知数的值代入一次式,求得另一个未知数的值; (4)写原解:写出原方程组的解. 温馨提示: (1)用代入法解二元一次方程组时,应先观察各项系数的特点,尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形. (2)变形后的方程不能再代入原方程,只能代入原方程组中的另一个方程. (3)要善于分析方程的特点,寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示,代入另一个方程,或直接将某一方程代入另一个方程,这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一,它的运用可使运算简便,提高运算速度及准确率. 用代入法解二元一次方程组 (1)(2024·河北)用代入法解方程组时,将方程①代入②中,所得的方程正确的是 (　 　) A.3x+4x-3=8 B.3x+4x-6=8 C.3x-2x-3=0 D.3x+2x-6=8 B (2)(2024·重庆育才)用代入法解方程组时,有以下过程,其中错误的一步是 (　 　) 由①得x=③ 第一步 把③代入②,得3×-5y=5 第二步 去分母,得24-9y-10y=5 第三步 解得y=1,再由③得x=2.5 第四步 A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步 C 解下列方程组: (1) 解:将①代入②,得2(y+1)+y=8.解得y=2. 将y=2代入①,得x=3. 所以方程组的解为 (2) 解:由①,得x=-1-3y.③ 将③代入②,得3(-1-3y)-2y=8.解得y=-1. 将y=-1代入③,得x=2. 所以方程组的解为 (3) 解:整理,得 由④,得x=5y-3.⑤ 将⑤代入③,得5(5y-3)-11y=-1.解得y=1. 将y=1代入⑤,得x=2. 所以方程组的解为 1.用代入法解方程组时,下列代入正确的是(　 ) A.x-2-x=4 B.x-2-2x=4 C.x-2+2x=4 D.x-2+x=4 C 2.解下列方程组: (1) 解:将①代入②,得2y-3(y-1)=1.解得y=2. 将y=2代入①,得x=1. 所以方程组的解为 (2) 解:由①,得y=10-x.③ 将③代入②,得2x+10-x=16.解得x=6. 将x=6代入③,得y=4. 所以方程组的解是 (3) 解:整理,得 由①,得y=3x-8.③ 将③代入②,得3x-5(3x-8)=-20.解得x=5. 将x=5代入③,得y=7. 所以方程组的解为 (4) 解:由①,得y=.③ 将③代入②,得3x+2(25-5x)=15,解得x=5. 将x=5代入③,得y=0. 所以方程组的解为 含参数的二元一次方程组 (1)已知是二元一次方程组的解,求m、n及2m-5n的值; 解:(1)将代入方程组, 得解得 ∴2m-5n=2×3-5×2=-4. (2)若关于x、y的二元一次方程组的解中x与y的值互为相反数,求a的值. (2)∵x与y的值互为相反数, ∴y=-x. 将y=-x代入原方程组, 得解得 即a的值是8. [方法总结](1)运用解二元一次方程组求待定字母的值的关键是将所给的值代入,构造新的二元一次方程组;(2)含有参数的二元一次方程组通常题目中会给方程组的解加以限制条件.如x、y的值相等,互为相反数等.此时,根据方程组及x、y的关系灵活选择方法去求解. 3.已知关于x、y的方程组的解为则m、n的值是 (　 　)  A.　B.　C.　D. A 4.若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x-3y=12的解,则k=　 　. 2 5.甲、乙两位同学在解关于x、y的方程组时,甲不小心看错了方程①,解得乙看错了方程②,解得求a、b的值. 解:把代入方程②,得a-b=7.③ 把代入方程①,得-4a-3b=-2.④ 联立方程③④,可得方程组 解得 $$