5.1.2《轴对称》 （课件+教案） 2024--2025学年湘教版七年级数学下册

新湘教版初中数学七年级下册 《轴对称》教学设计 【教学目标】 1.通学生通过观赏多媒体课件,掌握轴对称变换的有关概念,能用变换的思想来理解生活中的相关现象，并能用变换的思想来加以解释。 2.通过学生操作轴对称变换，师生共同总结其性质并应用。 3.培养学生的作图能力及知识的应用能力。 【教学重点】 轴反射和两个图形成轴对称的理解。 【教学难点】 轴反射和两个图形成轴对称的理解。 【教学方法】 观察法、实验操作法、练习法，演示法、合作交流法、分析法，归纳法，讲授法。 【教学过程】 〖温故知新〗 1.你能说出具有什么特征的图形是轴对称图形吗？ 答：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。 2.下列图形是轴对称图形吗？是的画出它的对称轴。 3.什么是关于直线对称？ 答：将图形（Ⅰ）沿着着一条直线翻折，与另一个图形（Ⅱ）重合，我们称这两个图形关于这条直线对称，也称图形（Ⅰ）与（Ⅱ）成轴对称，这条直线叫作对称轴。 4.提问：关于直线对称的两图形有什么特点？ 【设计意图】 通过复习轴对称图形的概念、特征，并辨别轴对称图形、画对称轴，巩固轴对称图形相关知识，为本节课的学习打下基础。同时，复习了关于直线对称的概念，提问出了“关于直线对称的两图形有什么特点？”的问题，引发了学生探究新知的好奇心。 〖新知探究1〗 1.提问：下面每个图案有几个图形？每对图形有什么共同特点? 答：这些图案都由2个图案组成，每对图形都关于直线对称。 2.提问：如下图，△ABC 和 △A/B/C/关于直线l对称，它们的形状和大小发生变化了吗？ 答:△ABC 和 △A/B/C/的形状和大小没有发生变化！ §结论： ∵△ABC 和 △A/B/C/关于直线l 对称 ∴AB=A/B/,BC=B/C/,AC=A/C/；∠A=∠A/,∠B=∠B/,∠C=∠C/。 3.提问：如下图，△ABC 和 △A/B/C/关于直线l 对称，点P的对应点是点P/，线段PP/交直线l 于点D. 线段 PP/与对称轴l 之间有什么关系？ 猜想：l⊥PP/，且l平分PP/。 证明：∵△ABC和△A/B/C/关于直线l 对称，点P的对应点是点P′ ∴在这个轴对称下，点P的对应点是点P/，点D的对应点是点D自身. ∴线段PD与线段P/D重合，∠1与∠2重合， ∴PD=P/D，∠1=∠2= 90°. ∴l⊥PP/，且l平分PP/，即直线l垂直平分线段PP/。 4.归纳总结： 1）轴对称变换不改变图形的形状与大小； 2）轴对称变换的对应点的连线被对称轴垂直且平分。 3）轴对称变换的性质： 4）几何推理语言: ∵△ABC与△A/B/C /关于l 对称。 ∴AB=A/B/,BC=B/C/,AC=A/C/；∠A=∠A/, ∠B=∠B/, ∠C=∠C/；S△ABC=S△ A/B/C /； l⊥PP/，PD=P/D。 【设计意图】 通过对生活中关于直线对称的实例的实验操作，同学的合作交流、讨论，分析归纳出关于直线对称的两图形的特征。既培养学生的实验操作能力、合作交流能力，也培养了分析归纳能力。 〖新知探究2〗 提问：找出你身边的轴对称图形？ 1.若线段PP/被直线l 垂直平分，则点P与点P/关于直线l 对称。 ∵l⊥PP/，PO=P/O,∴点P与点P/关于直线l 对称。 2.若两个图形的任意一组对应点的连线段都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称。 ∵l⊥AA/，AO=A/O,l⊥BB/，BD=B/D,l⊥CC/，CE=C/E, ∴△ABC和△A/B/C/关于直线l 对称. 【设计意图】 通过实例，让学生掌握判定两个图形关于某直线对称的方法和技巧。 〖新知应用1〗 例1. 如图已知直线l 及直线外一点P，画一点P/，使它与点P关于直线l 对称。 解： 可以按以下步骤来画： （1） 过点P作PQ ⊥l ，交l于点O； （2） 在射线OQ上截取 OP/= OP，则点 P/即为点 P关于直线l的对称点。 【设计意图】 通过实例，让学生已知点关于直线对称的对应点的方法和技巧，为画复杂图形的关于直线对称的像打下基础。 〖新知运用2〗 如图 已知线段AB和直线l ，画出线段AB关于直线l 的对称图形。 解： 可以按以下步骤来画： （1）分别作出点A、点B关于直线l对称的对应点A/、B/； （2） 连接点A/、B/，则线段A/B/即为线段AB关于直线l的对称图形. 【设计意图】 由简到繁，学习画关于直线对称的像的方法和技巧，让学生在操作中领会画关于直线对称的像的步骤。培养学生的操作能力、分析归纳能力。 〖新知应用3〗 例 2 如图 ，已知 △ABC 和直线 l ，画出△ABC关于直线l 的对称图形. 分析 要画△ABC关于直线l的对称图形，只要作出三角形的顶点 A，B，C 关于直线 l 的对称点A/，B/，C/，连接这些对称点即可 解 （1） 过点A作直线l 的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA/=OA，点A/就是点A关于直线l 的对称点； （2） 类似地，分别画出点B，C关于直线 l 的对称点B/，C/； （3） 连接 A/B/，B/C/，C/A/，所得 到的△A/B/C/即为△ABC关于直线l的对称图形。 §小结归纳作轴对称的图形步骤： (1) 找关键点；(2) 作垂线；(3) 截取等长；(4) 依次连线。 【设计意图】 由简到繁，由易到难，学习画关于直线对称的图形的像，让学生在操作过程领会画关于直线对称的图形的像的步骤。培养学生的操作能力、分析归纳能力。 〖新知应用4〗 议一议：先过直线 l 外一点分别画直线 l的垂线段与斜线段，再利用轴对称变换说明垂线段最短，并将结果与同学交流. 【设计意图】 通过实验操作，让学生能运用轴对称的相关知识解决实际问题。 〖巩固练习〗 1.已知直线 AB 和直线 l 相交于点 O，画出直线AB关于直线l的对称图形。 解 可以按以下步骤来画： （1）分别作出点A、点B关于直线l对称的对应点A/、B/； （2） 连接点A/、B/，则线段A/B/即为线段AB关于直线l的对称图形。 【设计意图】 通过练习，让学生掌握画关于直线对称的图形的像的方法和技巧。 2.如图，△ABC与△A/B/C/关于直线 MN 成轴对称. 指出它们的对应顶点，并分别找出三对相等的边和相等的角。 解 :点A与点A/是一组对应点；点B与点B/是一组对应点；点C与点C/是一组对应点； AB=A/B/,AC=A/C/,BC=B/C/； ∠A=∠A/, ∠B=∠B/, ∠C=∠C/ 【设计意图】 通过练习，检查学生对关于直线对称的性质的理解和运用。 〖挑战平台〗 1.如图所示，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为 32 。 解:∵正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠, ∴BE=B/E,BC=B/C/,CF=C/F； ∴①②③④四个三角形的周长: B/E+B/O+EO+AO+AH+OH+C/H+HP+C/P+PD+DF+PD =BE+AO+EO+B/O+OH+CH+AH+HP+PD+C/P+PF+FD =AB+B/C/+AD+C/F+FD =AB+BC+AD+CF+FD=AB+BC+AD+CD=32 2.如图，将一长条形纸条EBCF沿AD折叠，如果∠1=520，求∠2的度数。 解：∵四边形AB/C/D是四边形ABCD沿AD折叠形成的， ∴∠DAH=∠1=520 ∴∠BAH=∠1+∠DAH=1040 ∵EA∥FH，∴∠2=∠BAH=1040 【设计意图】 通过练习，让学生运用轴对称的特点解题，培养学生图形分析能力和知识的综合应用能力。 【课后小结】 1.轴对称的特征:①对应线段相等，对应角相等；②对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 2.画轴对称图形的像的步骤：1) 找关键点；(2) 作垂线；(3) 截取等长； (4) 依次连线. 【板书设计】 【课后作业】 课堂作业：P139习题5.1第4题； 课后作业：P139习题5.1第5题，预习P140~143《旋转》。 【教学反思】 1.亮点：通过学生实验操作，理解掌握轴对称变换的特征，并由简到繁，由易到难，学习画轴对称变换的像的方法和技巧，减少了学生的学习难度。既培养了学生的动手操作能力，又培养了学生的合作交流，分析归纳能力。 2.不足：课本对利用轴对称的特征解综合题没有涉及，使得学生对知识点运用欠缺。 3.教学建议：本节课重在对轴对称变换的特征点的掌握和画轴对称图形的方法、技巧的学习，因此，在学习时，需让学生在欣赏轴对称变换图形的过程理解、掌握轴对称变换的特征，在画轴对称变换图形的过程中总结并掌握画轴对称变换图形的方法和技巧。 学科网（北京）股份有限公司 $$新湘教版数学七年级下册 轴对称 本节内容 5.1.2 第五章 轴对称与旋转 1.学生通过观赏多媒体课件,掌握轴对称变换的有关概念,能用变换的思想来理解生活中的相关现象，并能用变换的思想来加以解释。 轴反射和两个图形成轴对称的理解。 学习目标 重 点： 前言 轴反射和两个图形成轴对称的理解。 难 点： 2.通过学生操作轴对称变换，师生共同总结其性质并应用。 3.培养学生的作图能力及知识的应用能力。 2 温 故 知 新 1.你能说出具有什么特征的图形是轴对称图形吗？ 如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴. 2.下列图形是轴对称图形吗？是的画出它的对称轴。 A C B B A 3 温 故 知 新 1.什么是关于直线对称？ 将图形（Ⅰ）沿着着一条直线翻折，与另一个图形（Ⅱ）重合，我们称这两个图形关于这条直线对称，也称图形（Ⅰ）与（Ⅱ）成轴对称，这条直线叫作对称轴。 关于直线对称的两图形有什么特点？ 4 轴 对 称 探究 下面每个图案有几个图形？每对图形有什么共同特点? 5 轴 对 称 探究 如下图，△ABC 和 △A/B/C/关于直线l对称，它们的形状和大小发生变化了吗？ A B C P A/ B/ C/ P/ A/ B/ C/ P/ l △ABC 和 △A/B/C/的形状和大小没有发生变化！/ ∵△ABC 和 △A/B/C/关于直线l 对称 ∴AB=A/B/,BC=B/C/,AC=A/C/; ∠A=∠A/,∠B=∠B/,∠C=∠C/ 6 轴 对 称 探究 如下图，△ABC 和 △A/B/C/关于直线l 对称，点P的对应点是点P′，线段 PP/交直线l 于点D. 线段 PP/与对称轴l 之间有什么关系？ 好像PP/⊥l，且l平分PP/！？ 试一试证明PP/⊥l。 证明：∵△ABC和△A/B/C/关于直线l 对称，点P的对应点是点P′ ∴在这个轴对称下，点P的对应点是点P/，点D的对应点是点D自身. ∴线段PD与线段P/D重合，∠1与∠2重合， ∴PD=P/D，∠1=∠2= 90°. ∴l⊥PP/，且l平分PP/，即直线l垂直平分线段PP/. 7 轴 对 称 的 性 质 小结归纳 轴对称变换不改变图形的形状与大小. 轴对称变换（折叠） 1、对应线段相等 2、对应角相等 3、对应图形面积相等 几何推理语言: ∵△ABC与△A/B/C /关于l 对称。 ∴AB=A/B/,BC=B/C/,AC=A/C/；∠A=∠A/, ∠B=∠B/, ∠C=∠C/；S△ABC=S△ A/B/C / 4、对应点的连线被对称轴垂直且平分 l⊥PP/，PD=P/D 8 关于直线对称的判定 P P/ l O 若线段PP/被直线l 垂直平分，则点P与点P/关于直线l 对称。 若两个图形的任意一组对应点的连线段都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称. 学一学 ∵l⊥PP/，PO=P/O, ∴点P与点P/关于直线l 对称。 l A C A＇ B＇ C＇ O D E B ∵l⊥AA/，AO=A/O,l⊥BB/，BD=B/D,l⊥CC/，CE=C/E, ∴△ABC和△A/B/C/关于直线l 对称. 我们是怎么判定两个图形关于直线对称？ 9 典 例 分 析 例1 如图已知直线l 及直线外一点P，画 一点P/，使它与点P关于直线l 对称. P P/ l O 解： 可以按以下步骤来画： （1） 过点P作PQ ⊥l ，交l于点O； （2） 在射线OQ上截取 OP/= OP，则点 P/即为点 P关于直线l的对称点. 举 例 10 典 例 分 析 做一做 如图 已知线段AB和直线l ，画出线段AB关于直线l 的对称图形. A A/ l 解 可以按以下步骤来画： （1）分别作出点A、点B关于直线l对称的对应点A/、B/； （2） 连接点A/、B/，则线段A/B/即为线段AB关于直线l的对称图形. B O E B/ 11 典 例 分 析 例 2 如图 ，已知 △ABC 和直线 l ，画出△ABC关于直线l 的对称图形. 举 例 A B C l 分析：要作△ABC关于直线l的对称图形，只要作出三角形的顶点A，B，C关于直线l的对应点A/，B/，C/，连接这些对应点，得到的△A/B/C/就是△ABC 关于直线l对称的图形. 解 （1） 过点A作直线l 的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA/=OA，点A/就是点A关于直线l 的对称点； （2） 类似地，分别画出点B，C关于直线 l 的对称点B/，C/； （3） 连接 A/B/，B/C/，C/A/，所得 到的△A/B/C/即为△ABC关于直线l的对称图形. O A/ B/ C/ 12 作轴对称的图形 小结归纳 作轴对称的图形步骤 (1) 找关键点； (2) 作垂线； (3) 截取等长； (4) 依次连线. 13 轴对称变换 先过直线 l 外一点分别画直线 l的垂线段与斜线段，再利用轴对称变换说明垂线段最短，并将结果与同学交流. 议一议 l O P A 14 练 习 1. 已知直线 AB 和直线 l 相交于点 O，画出直线AB关于直线l的对称图形. l A B 解 可以按以下步骤来画： （1）分别作出点A、点B关于直线l对称的对应点A/、B/； （2） 连接点A/、B/，则线段A/B/即为线段AB关于直线l的对称图形. A/ O E B/ 15 练 习 2.如图，△ABC与△A/B/C/关于直线 MN 成轴对称. 指出它们的对应顶点，并分别找出三对相等的边和相等的角. 解 :点A与点A/是一组对应点；点B与点B/是一组对应点；点C与点C/是一组对应点； AB=A/B/,AC=A/C/,BC=B/C/； ∠A=∠A/, ∠B=∠B/, ∠C=∠C/ 16 练 习 挑战平台 1.如图所示，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为 。 32 解:∵正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠, ∴BE=B/E,BC=B/C/,CF=C/F； ∴①②③④四个三角形的周长: B/E+B/O+EO+AO+AH+OH+C/H+HP+C/P+PD+DF+PD =BE+AO+EO+B/O+OH+CH+AH+HP+PD+C/P+PF+FD =AB+B/C/+AD+C/F+FD =AB+BC+AD+CF+FD=AB+BC+AD+CD=32 H 17 练 习 挑战平台 2.如图，将一长条形纸条EBCF沿AD折叠，如果∠1=520，求∠2的度数。 A D B C B/ C/ 1 2 E F H 解：∵四边形AB′C′D是四边形ABCD沿AD折叠形成的 ∴∠DAH=∠1=520 ∴∠BAH=∠1+∠DAH=1040 ∵EA∥FH ∴∠2=∠BAH=1040 18 课堂总结 轴对称的性质 ①对应线段相等，对应角相等 ②对应点所连的线段被对称轴垂直平分 轴对称变换 作图方法 (1) 找关键点； (2) 作垂线； (3) 截取等长； (4) 依次连线. 19 作 业 课堂作业：P139习题5.1第4题； 课后作业：P139习题5.1第5题，P153复习题5第1、2、3题，预习P140~143《旋转》 20 湘教版初中数学七年级下册 课程结束 $$