精品解析：江苏省淮安市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年度第一学期期末学业监测 八年级数学试题 注意事项： 1．全卷共6页，满分120分；测试时长为120分钟． 2．请将姓名、考号等认真填涂在答题卡的相应位置上． 3．选择题答案，请使用2B铅笔填涂；非选择题答案，请用0．5毫米黑色钢笔或墨水笔直接写在答题卡上．答案写在本试卷上或答题卡规定区域以外均无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将答案涂到答题卡上） 1. 下列体育运动图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的识别．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意， 选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 2. 下列各数中，无理数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、 是循环小数，属于有理数； B、是整数，属于有理数； C、是分数，属于有理数； D、是无理数； 故选：D． 3. 点关于原点对称的点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标特征．根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标特征“关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数”，即可得到答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故选：A． 4. 如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（ ） A. 三角形内角和定理 B. 勾股定理 C. 三角形全等判定 D. 等腰三角形判定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理即可得出． 【详解】解：“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理． 故选：B． 5. 一次函数的图象不经过(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质可得其经过的象限，进而可得答案． 【详解】解：一次函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，属于基础题型，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 6. 如图，，增加下列条件中一个后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、由，，，根据得到，不符合题意； B、由，，，不能得到，符合题意； C、由，，，根据得到，不符合题意； D、 由，，，根据得到，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在中，是的角平分线，，垂足为，，垂足为，若，，则的面积为（ ） A. 3 B. 2 C. 2.5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键，根据是的角平分线，，，可得到， 由，代入即可得到答案． 详解】解：由题可画图如下： ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 函数的图像记为（为常数），图像上任意不同的两点、都满足：当时，，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质．根据题意得出，再结合时的函数值不小于的函数值得出关于k的不等式组，据此求出k的取值范围即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为当时，恒成立，且函数中y随x的增大而减小， 所以中的y也随x的增大而减小，且时的函数值不小于的函数值， 则， 解得， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分，请将答案写在答题卡上） 9. 的算术平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果． 【详解】解：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 10. 点到轴的距离为______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了点到坐标轴的距离．根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，即可求得点P到x轴的距离． 【详解】解：点到轴的距离是2， 故答案为：2． 11. 等腰三角形的顶角为，底角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴底角为， 故答案为：． 12. 将的图象向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换．直接根据“上加下减”的原则进行解答． 【详解】解：将函数的图象向下平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是：． 故答案为：． 13. 若，，，则______°． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，由三角形内角和定理求出，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：100． 14. 如图，直线与直线（、为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．先利用直线的解析式确定A点坐标，然后结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象得，当时，直线在直线的下方， ∴关于的不等式的解集为， 故答案为：． 15. 如图，已知中的实数与中的实数之间的对应关系是某个正比例函数，则图中的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查求正比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，首先应用待定系数法求出正比例函数解析式，然后把代入求出结果即可． 【详解】解：设该正比例函数解析式为：，把代入得：， ∴该正比例函数解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴的值为． 故答案为：． 16. 某班学生在劳动实践基地用一块正方形试验田种植苹果树，同学们将试验田分成的正方形网格田，每个小正方形网格田的边长为1米，如图所示，为了布局美观及苹果树的健康成长，同学们要把苹果树种植在格点处（每个小正方形的顶点叫格点），且每两棵苹果树之间的距离都要大于2米，则这块试验田最多可种植______棵苹果树． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理和无理数的估算．此题为了最大化种植苹果树的数量，同时满足每两棵苹果树之间的距离都要大于2米的要求，我们采用隔点种植的方法，在横纵方向，每行每列最多能种植3棵苹果树，因两棵树之间的距离最小为3米，而试验田的边长为7米，所以最多可以种植3棵苹果树，满足要求，即可求出答案． 【详解】解：在的正方形网格田中，采用隔点种植的方式，每行每列最多能种植3棵苹果树,小正方形的对角线长度为 ，最小长方形的对角线长度为，均满足大于2米的要求， 如图， 因此，这块试验田最多可种植棵苹果树， 故答案为： 三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式先根据算术平方根、立方根和零指数幂运算法则化简各项后再进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 求下列各式中的： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根和立方根应用，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义． （1）根据平方根定义，解方程即可； （2）根据立方根定义，解方程即可． 【小问1详解】 解：， 开平方得：； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 19. 已知的平方根是，的立方根是，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根和平方根的综合问题，根据题意可得，据此即可求解． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，点B、C、E、F在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可．此题考查全等三角形的判定与性质，关键是根据等式的性质得出解答． 【详解】证明：， ， 即， 在与中， ， ∴ ． 21. 如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使得．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用．根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】证明：是等边三角形，是中线， ，（等腰三角形三线合一）， 又， ， 又， ， ， ． 22. 如图，有一张三角形纸片，，，． （1）折叠该纸片，使点与点重合．请在图中用圆规和无刻度的直尺作出折痕，其中点在边上，点在边上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求出的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作一条线段垂直平分线的做法，作出线段的垂直平分线即可； （2）连接，根据勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得出，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，尺规作垂线，求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握勾股定理，数形结合． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图像交点为． （1）点的坐标为______； （2）求的面积； （3）在轴上求一点，使是以为腰的等腰三角形．请直接写出所有符合条件的点的坐标______． 【答案】（1） （2）3 （3）或或 【解析】 【分析】（1）把代入求出y的值，即可得出答案； （2）先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）分两种情况：当时，当时，分别根据等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：联立， 解得：， ∴点C的坐标为， ∵， ∴； 小问3详解】 解：∵点C坐标为， ∴， 当时， ∵点P在y轴上， ∴点P的坐标为或； 当时，过点C作轴，如图所示： ∵点， ∴， ∵，， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，当点P的坐标为或或时，三角形是为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，直线交点坐标，等腰三角形的定义和性质，综合性较强，正确把握并能熟练运用相关知识是解题的关键．注意分类思想的运用． 24. 学校综合实践小组为了解本地区新能源汽车的充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量（单位：度）与充电时间（单位：小时）之间的函数图像，其中折线表示用公共直流快充桩充电时与的函数关系；线段表示用家用交流充电桩充电时与的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： （1）用公共直流快充桩充电时，汽车电池电量从10度充到100度需______小时； （2）求关于的函数表达式； （3）该品牌汽车电池电量从10度充到80度，公共直流快充桩比家用交流充电桩节省多少小时？ 【答案】（1）1 （2） （3）小时 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，数形结合． （1）根据函数图象直接得出答案即可； （2）用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分别求出电池电量从10度充到80度，公共直流快充桩和家用交流充电桩所用的时间，然后再进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据图象可知：用公共直流快充桩充电时，汽车电池电量从10度充到100度需1小时； 【小问2详解】 解：设关于的函数表达式为：，把代入得： ， 解得：， ∴关于的函数表达式为：； 【小问3详解】 解：电池电量从10度充到80度，公共直流快充桩需要的时间为小时， 把代入得：， 解得：， 家用交流充电桩需要的时间为7小时， ∴公共直流快充桩比家用交流充电桩节省的时间为： （小时）． 25 综合与探究 【问题背景】如图1，在中，是中线，，，．求的长． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线， ∴． 在和中， ∴（______） ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴______． ∴． ∴． ∴______． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，运用转化思想，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形之中． 【类比分析】 （2）如图3，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，点为中点，点在边上且，将沿折叠到，若射线恰好经过的中点，请你参照小明的思路；求出的长度． 【答案】（1），，10；（2）．理由见解析；（3）的长度为． 【解析】 【分析】（1）延长中线至点，使得，连接．证明，利用勾股定理的逆定理求得，再利用勾股定理求解即可； （2）延长，交于点F，证明，推出，再证明即可解决问题； （3）设，过点作交的延长线于点，连接，证明，推出，，再证明，推出，得到，求得，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴； （2）解：．理由如下， 理由：如图中，延长，交于点F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：设，如图，过点作交的延长线于点，连接， ∵将沿折叠到， ∴，，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得， ∴的长度为． 【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 26. 定义：在平面直角坐标系中，任意两点，，如果，那么称点是点的和差点． 【概念理解】 （1）已知点，，且点是点的和差点，那么根据定义可得：，即．由此可知：点的和差点在一次函数的图像上． 请判断：在点，，中，点的和差点为______； 【初步应用】 （2）若点是点的一个和差点，且点在直线上，求出点的坐标； 【拓展提升】 （3）如图，已知的顶点坐标分别为，，，点为三条边上的任意一点．请用阴影标注所有点的和差点组成的区域，只需标注网格内（含边界）的部分． 【答案】（1）、；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，直线的交点坐标，解题的关键是数形结合，理解题意． （1）点，，的坐标适合关系式的，即为点的和差点； （2）设，根据新定义得出点Q在直线上，联立，解方程组即可； （3）设点的和差点Q的坐标为，分三种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，当点P在边上时，分别求出点Q所在的范围即可得出答案． 【详解】解：（1）把代入得：， ∴在直线上， 把代入得：， ∴不在直线上， 把代入得：， ∴在直线上， ∴点的和差点为、； （2）设， ∵点是点的一个和差点， ∴， 整理得：， ∴点Q在直线上， 又∵点在直线， ∴联立， 解得：， ∴点的坐标为； （3）设点的和差点Q的坐标为， 当点P在边上时，设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线直线的解析式为：， 设此时点P的坐标为：，根据题意得： ， 整理得：， ∴此时点的和差点Q在直线上； 当点P在边上时，设此时点P的坐标为：，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴， ∴此时点的和差点Q在直线和之间； 当点P在边上时，设此时点P的坐标为：，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴， ∴此时点和差点Q在直线和之间； 综上分析可知：点的和差点Q在直线和之间，如图所示： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末学业监测 八年级数学试题 注意事项： 1．全卷共6页，满分120分；测试时长为120分钟． 2．请将姓名、考号等认真填涂在答题卡的相应位置上． 3．选择题答案，请使用2B铅笔填涂；非选择题答案，请用0．5毫米黑色钢笔或墨水笔直接写在答题卡上．答案写在本试卷上或答题卡规定区域以外均无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将答案涂到答题卡上） 1. 下列体育运动图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数中，无理数为（ ） A. B. C. D. 3. 点关于原点对称的点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（ ） A. 三角形内角和定理 B. 勾股定理 C. 三角形全等判定 D. 等腰三角形判定 5. 一次函数的图象不经过(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，，增加下列条件中的一个后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是的角平分线，，垂足为，，垂足为，若，，则的面积为（ ） A. 3 B. 2 C. 2.5 D. 5 8. 函数的图像记为（为常数），图像上任意不同的两点、都满足：当时，，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 1 第Ⅱ卷（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分，请将答案写在答题卡上） 9. 的算术平方根是______． 10. 点到轴的距离为______． 11. 等腰三角形的顶角为，底角的度数为______． 12. 将的图象向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______． 13. 若，，，则______°． 14. 如图，直线与直线（、为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为______． 15. 如图，已知中的实数与中的实数之间的对应关系是某个正比例函数，则图中的值为______． 16. 某班学生在劳动实践基地用一块正方形试验田种植苹果树，同学们将试验田分成的正方形网格田，每个小正方形网格田的边长为1米，如图所示，为了布局美观及苹果树的健康成长，同学们要把苹果树种植在格点处（每个小正方形的顶点叫格点），且每两棵苹果树之间的距离都要大于2米，则这块试验田最多可种植______棵苹果树． 三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 求下列各式中的： （1）； （2）． 19. 已知的平方根是，的立方根是，求的值． 20. 如图，点B、C、E、F在同一直线上，，，．求证：． 21. 如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使得．求的度数． 22. 如图，有一张三角形纸片，，，． （1）折叠该纸片，使点与点重合．请在图中用圆规和无刻度的直尺作出折痕，其中点在边上，点在边上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求出的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图像交点为． （1）点的坐标为______； （2）求的面积； （3）在轴上求一点，使是以为腰等腰三角形．请直接写出所有符合条件的点的坐标______． 24. 学校综合实践小组为了解本地区新能源汽车充电情况，对某品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量（单位：度）与充电时间（单位：小时）之间的函数图像，其中折线表示用公共直流快充桩充电时与的函数关系；线段表示用家用交流充电桩充电时与的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： （1）用公共直流快充桩充电时，汽车电池电量从10度充到100度需______小时； （2）求关于的函数表达式； （3）该品牌汽车电池电量从10度充到80度，公共直流快充桩比家用交流充电桩节省多少小时？ 25. 综合与探究 【问题背景】如图1，在中，是中线，，，．求长． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线， ∴． 在和中， ∴（______） ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴______． ∴． ∴． ∴______． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，运用转化思想，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形之中． 【类比分析】 （2）如图3，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，点为中点，点在边上且，将沿折叠到，若射线恰好经过的中点，请你参照小明的思路；求出的长度． 26. 定义：在平面直角坐标系中，任意两点，，如果，那么称点是点的和差点． 概念理解】 （1）已知点，，且点是点的和差点，那么根据定义可得：，即．由此可知：点的和差点在一次函数的图像上． 请判断：在点，，中，点的和差点为______； 【初步应用】 （2）若点是点的一个和差点，且点在直线上，求出点的坐标； 【拓展提升】 （3）如图，已知顶点坐标分别为，，，点为三条边上的任意一点．请用阴影标注所有点的和差点组成的区域，只需标注网格内（含边界）的部分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$