精品解析：四川省达州市普通高中2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试卷

达州市2024年普通高中一年级秋季学期教学质量监测 数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应题框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.考试结束以后，将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式得集合，再由交集定义求解. 【详解】根据题意，， 所以. 故选：A 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】全称命题的否定是特称命题，改量词否结论即可. 【详解】命题“，”的否定是：，； 故选：B 3. 在下列区间中，函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在定理和函数的单调性可判断零点所在区间. 【详解】由题意，函数的定义域为. 因为函数和在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增. 又，， 所以，根据零点存在定理和函数的单调性可知： 函数的零点所在区间为. 故选：B. 4. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域和对应关系是否都相同，逐项判断即可. 【详解】对于A，的定义域为的定义域为， 由于定义域不同，则不是同一函数，故A错误； 对于B，， 由于对应关系不同，则不是同一函数，故B错误； 对于C，和的定义域都是， 且对应关系相同，则是同一函数，故C正确； 对于D，的定义域为的定义域为， 由于定义域不同，则不是同一函数，故D错误； 故选：C. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数、对数和幂函数的性质分别求的范围即可. 【详解】根据题意，，所以， ，所以， ，所以， 故. 故选：A 6. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义可排除A，根据常见函数的单调性可排除C、D. 【详解】对于A，的定义域为， ，则不是偶函数，故A错误； 对于B，的定义域为， 当时，单调递增，故B错误； 对于C，的定义域为， 当时，单调递增，故C错误； 对于D，的定义域为， 又，所以是偶函数， 当时，单调递减，故D正确. 故选：D. 7. 国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示药品的治愈效果，系数越大表示效果越好.某研究机构元旦时在实验用小白鼠体内注射某种实验药品，二月底测得普姆克系数为24 pmk，三月底测得普姆克系数为36 pmk，已知该药品在当年第x月月底测得的普姆克系数y与月份x（单位：月）的关系是.则普姆克系数是一月底的普姆克系数5倍以上的最小月份是（ ）（参考数据：，.） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数模型，并用待定系数法求解出解析式，再进一步计算即可. 【详解】根据题意可知时，；时，， ∴，解得． 故该函数模型的解析式为一月底，，； 当时，，一月底普姆克系数是， 令，得， 所以， 所以普姆克系数是一月底的普姆克系数5倍以上的最小月份是5月. 故选：C 8. 两人共同参加一个游戏，游戏规则如下：其中一人在集合（，且）中任取2个元素并求和，剩下2个元素给另一个人并求和，和大者为胜.则先取者取下列哪2个元素能够保证先取者必胜（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法逐项判断. 【详解】若先取者取和， 则， 根据，且，不能确定大小关系，A错误； 若先取者取和， 则， 根据，且，不能确定大小关系，B错误； 若先取者取和， 则 ， 根据，且，所以上式大于0，C正确，D错误. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用不等式性质验证AC；特殊值验证BD. 【详解】对于A，若，所以， 又因为，所以，所以，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为且，所以， 所以，故，故C正确； 对于D，当，时，，故D错误. 故选：BD 10. 函数的图象可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分底数和两种情况讨论，再根据的大小关系分类讨论，即可判断. 【详解】由题意，函数的定义域为. ①当时，函数单调递增，且， 又，故A可以，B不可以； ②当时，函数单调递减，且， 又， 当时，，则C可以； 当时，，则D可以. 故选：ACD. 11. 已知a，b为正实数，，则下列叙述正确的是（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为12 C. 的最小值为 D. 的最小值为20 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，直接应用基本不等式即可判断；对于B，由得，由，借助基本不等式判断；对于C，由于，直接应用基本不等式即可，对于D，特殊值验证即可. 【详解】对于A，因为a，b为正实数，所以， 解得，当且仅当，即时，取到最小值8，故A正确； 对于B，由得， 所以， 当且仅当即时，取到最小值，故B错误； 对于C，因为a，b为正实数，，所以， 所以，,所以， 当且仅当即时，取到最小值，故C正确； 对于D，当时，成立，此时，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个关于x的一元二次不等式的解集为，则该不等式可以为______. 【答案】（答案不唯一，或均可） 【解析】 【分析】由不等式解集写出符合条件的不等式. 【详解】由于一元二次不等式的解集为， 所以和1是相应一元二次方程的解， 所以一元二次不等式为或. 所以一元二次不等式可以为. 故答案为： 13. 计算______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用指对数运算性质计算即可. 【详解】 . 故答案为： 14. 已知函数的图象关于点对称，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，，先判断函数的图象关于点对称；假设的图象也关于点对称，可得符合题意，由此判断出函数的图象关于点对称，求出，再结合基本不等式，即可求出最小值. 【详解】令，， 则， 所以，则函数的图象关于点对称； 若的图象也关于点对称， 则有， 即，所以或， 所以或，（显然也满足） 即时，函数的图象关于点对称； 因为, 所以， 因此函数的图象关于点对称， 所以,； 又，，所以，则， 因此， 当且仅当，即时，等号成立； 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于先判断函数的图象关于点对称，如果的图象也关于点对称，则函数的图象关于点对称，从而可求出，，结合基本不等式求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，函数的定义域为，函数的值域为. （1）求，； （2）求. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式，化简集合；求函数定义域，得到集合；根据交、并、补的概念，即可求出结果； （2）利用基本不等式求出函数的值域，得到集合；结合（1），根据交集和并集的概念，即可求出结果. 【小问1详解】 由题意， 由得，则集合； 因此；；所以； 【小问2详解】 因为时，，当且仅当，即时，取等号， 所以集合； 因此，所以. 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示（小正方形的边长为1个单位长度）. （1）试将上图补充完整并指出的单调递减区间； （2）若函数有2个零点，求a的取值范围； （3）求的解析式. 【答案】（1）；和； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据偶函数图象的对称性，直接画出图象，由图象观察可知图象单调递减区间； （2）由图象可求出a的取值范围； （3）待定系数法求出时的解析式，利用偶函数性质求出的解析式. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的偶函数， 所以函数图象关于轴对称，图象如下： 由图象可知，的单调递减区间为和. 【小问2详解】 若函数有2个零点， 则函数与的图象有2个交点， 由（1）中图象可知或， 所以a的取值范围为 【小问3详解】 当时，由图象可知过，，， 所以，解得， 所以， 当时，， 所以， 因为函数是偶函数，所以， 所以， 所以. 17. 已知指数函数（且），在上的最大值与最小值之积为5，与互为反函数. （1）求函数，的解析式； （2）已知，，判断p是q的什么条件（请用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”回答），并说明理由. 【答案】（1）； （2）p是q的必要不充分条件，理由见详解. 【解析】 【分析】（1）由指数函数定义及性质求出，由反函数定义求出； （2）由对数函数性质化简命题，根据充分条件和必要条件定义判断p是q的什么条件. 【小问1详解】 因为为指数函数， 所以，所以， 由题意，在上的最大值与最小值之积为5， 由于函数在上单调，所以，即， 所以， 又因为与互为反函数， 所以. 【小问2详解】 p是q的必要不充分条件，理由如下： 由得， 因为函数在上单调递增， 所以，解得或， 所以推出，推不出， 所以p是q的必要不充分条件. 18. 定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y，，当时，. （1）写出一个函数，使其满足（只写结果，无需证明）； （2）判断的单调性并证明； （3）若对任意的，，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递增，令，则，解得或， 若，当时，矛盾，所以， 令，则， 当时，，所以， 即，， ，则，而当时，，于是， 则， 即，所以函数在上R单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）直接写出一个指数函数； （2）赋值法先证，，再根据函数单调性的定义可证得结论成立； （3）根据题意，可知恒成立，分和求实数k的取值范围. 【小问1详解】 ；，故成立 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若对任意的，， 根据（2）可知恒成立， 当时，不等式恒成立， 当时，，得， 综上所述，. 19. 集合A是至少有2个元素组成的实数集，且所有元素均不为0，，且. （1）当时，求； （2）若，求中元素个数的最小值； （3）当时，，，求A. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）按的取值分类求解各商值即可； （2）利用不等式性质比较各商值的大小，分析集合中元素个数的可能情况，再从可能相等的商值入手求解构造集合即可； （3）由中各元素符号入手，分类讨论集合中元素的符号情况，利用不等式的性质比较大小，确定各商值的大小，从而建立方程组求解可得. 【小问1详解】 由题意，当时，可取，则； 当时，分别可取，则； 当时，分别可取，则； 故. 【小问2详解】 若， 中所有可能含有的元素为. 由集合中元素的互异性可知，元素互不相等， 故不妨设， 所以为互不相等的正数，且， 故中至少有个元素； 令，则, 则，又， 此时有个元素， 故中元素个数的最小值为. 【小问3详解】 集合，不妨设， 由不等式性质，若，则；若，则； 若，则． 由题意， 可知集合中含有负数，并且其中有且仅有个大于的正数． 故集合中的元素必有负有正，即中所含负数的个数为或或． ①若中恰含有个负数， 又已知所有元素均不为0，则中必负正， 则， 所以中的正数只可能为，且都小于， 这与中有且仅有个大于的正数矛盾，故此时不满足题意； ②若中恰含有个负数， 则可设，则， 且，， 由中恰个负数，且， 则有， 则，则， 所以， 解得，故， 此时，满足题意； ③若中恰含有个负数， 设，则，且， 故三个数中至少有个大于的数， 这与集合中有且仅有个大于的正数矛盾，故此时不满足题意； 综上所述，． 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于从各商的符号入手，以中有且仅有个大于的正数为突破口，分类讨论集合中元素的符号，并利用基本不等式的性质比较各商数的大小，进而构造方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达州市2024年普通高中一年级秋季学期教学质量监测 数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应题框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.考试结束以后，将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 在下列区间中，函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 7. 国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示药品的治愈效果，系数越大表示效果越好.某研究机构元旦时在实验用小白鼠体内注射某种实验药品，二月底测得普姆克系数为24 pmk，三月底测得普姆克系数为36 pmk，已知该药品在当年第x月月底测得的普姆克系数y与月份x（单位：月）的关系是.则普姆克系数是一月底的普姆克系数5倍以上的最小月份是（ ）（参考数据：，.） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 两人共同参加一个游戏，游戏规则如下：其中一人在集合（，且）中任取2个元素并求和，剩下2个元素给另一个人并求和，和大者为胜.则先取者取下列哪2个元素能够保证先取者必胜（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 10. 函数的图象可以为（ ） A. B. C. D. 11. 已知a，b为正实数，，则下列叙述正确的是（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为12 C. 的最小值为 D. 的最小值为20 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个关于x的一元二次不等式的解集为，则该不等式可以为______. 13. 计算______. 14. 已知函数的图象关于点对称，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，函数的定义域为，函数的值域为. （1）求，； （2）求. 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示（小正方形的边长为1个单位长度）. （1）试将上图补充完整并指出的单调递减区间； （2）若函数有2个零点，求a的取值范围； （3）求的解析式. 17. 已知指数函数（且），在上的最大值与最小值之积为5，与互为反函数. （1）求函数，的解析式； （2）已知，，判断p是q的什么条件（请用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”回答），并说明理由. 18. 定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y，，当时，. （1）写出一个函数，使其满足（只写结果，无需证明）； （2）判断的单调性并证明； （3）若对任意的，，求实数k的取值范围. 19. 集合A是至少有2个元素组成的实数集，且所有元素均不为0，，且. （1）当时，求； （2）若，求中元素个数的最小值； （3）当时，，，求A. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $